tus15 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 15.НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯНЕПРЕРЫВНЫМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ СИСТЕМАМИПостановка задачиПусть поведение модели объекта управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнениемx (t )  f (t , x (t ), u(t )) ,(1)где x – вектор состояния системы, x  ( x1 ,  , x n )T  R n ; u – вектор управления,u  (u1 ,..., uq )T  U  R q , U – некоторое заданное множество допустимых значенийуправления; t – время, t  T  [t 0 , t1 ] – промежуток времени функционирования системы; f (t , x, u) – непрерывная вместе со своими частными производными векторфункция, f (t, x, u)  ( f1 (t, x, u),..., f n (t, x, u))T , f (t , x, u ) : T  R n  U  R n ; R n – nмерное евклидово пространство.Момент начала процесса t 0 задан, а момент окончания процесса t1 определяетсяповерхностипервым моментом достижения точкой (t , x (t )) некоторой заданной  R n 1 :  { (t1 , x ) | i (t1 , x )  0, i  1,..., l ; t1  (t 0 ,  ), x  R n } ,(2)т.е.

в момент t1 должны выполняться условияi (t1 , x (t1 ))  0 ,i = 1,  , l ,где 0  l  n  1 , при l  n  1 множество  представлено точкой в пространстве R n 1 ,i (t1 , x )системавекторовфункции–непрерывнодифференцируемы;  i (t1 , x ) i (t1 , x )  i (t1 , x )  , i  1,..., l , линейно независима (t1 , x )  R n 1 .,,, x xn t11Начальное условие x (t 0 )  x 0 задает начальное состояние системы.Предполагается, что при управлении используется информация толькоо времени, т.е. система управления в данном случае является разомкнутой по состоянию и рассматривается так называемое программное управление (рис.

1).Множество допустимых управлений U 0 образуют кусочно-непрерывные функции u() со значениями в множестве U . В точках разрыва значение управления определяется как предел справа.1Определим множество допустимых процессов D (t 0 , x 0 ) как множество троекd  (t1 , x (), u()) , которые включают момент окончания процесса t1 , траекторию x () иуправление u() (где t  T : x (t )  R n , u(t )  U , функции x () непрерывны и кусочнодифференцируемы, а u()  U 0 кусочно-непрерывны), удовлетворяющие уравнению (1) сначальным условием x (t 0 )  x 0 почти всюду на множестве T и условию (2).x (t 0 )  x 0tdx f (t , x (t ), u(t ))dtu(t )x (t )Рис.

1На множестве D (t 0 , x 0 ) определим функционал качества управленияI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F (t1 , x (t1 )) ,(3)t0где f 0 (t , x, u ) , F (t1 , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.Требуется найти такую тройку d   (t1 , x  (), u  ())  D (t 0 , x 0 ) , чтоI (d  ) mind  D (t0 , x0 )I (d ) .(4)Задача (4) с функционалом (3) называется задачей Больца; если в функционале (3)функция F (t1 , x )  0 (отсутствует так называемый терминальный член) – задачей Лагранжа; если f 0 (t , x, u )  0 (отсутствует интегральный член) – задачей Майера.Искомые функции x  () и u  () называются соответственно оптимальной траекторией и оптимальным управлением, а t1 – оптимальным моментом окончанияпроцесса.З а м е ч а н и е. Если любое допустимое управление u()  U 0 порождаетединственную тройку d  D (t 0 , x 0 ) , то задача (4) может быть записана в эквивалентнойформе:I (t 0 , x 0 , u  ())  min I (t 0 , x 0 , u()) .u () U 0Принцип максимумаНеобходимым условием экстремума функционала в задаче (4) является принципмаксимума.2Утверждение.

Пусть на тройке d   (t1 , x  (), u  ())  D (t 0 , x 0 ) достигаетсяминимумфункционала(3).Тогдасуществуеттакаявектор-функцияT(t )  (1 (t),...,  n (t )) , что:1) в каждой точке непрерывности управления u  (t ) функция H (t , (t ), x  (t ), u )достигает максимума по управлению, т. е.max H (t , (t ), x * (t ), u)  H (t , (t ), x * (t ), u * (t )) ,u Uгде H (t , , x, u ) n  j  f j (t, x, u)  f 0 (t, x, u) ;j 12) выполняется условие трансверсальностиF (t1* )  H (t1* )  t1 n  j (t1* )  x j0(5)j 1при любых t1 и x j , удовлетворяющих системеi (t1 , x  (t1 ))  0 , i  1,  , l ,i (t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,  , l ,где H (t1 )  H (t1 , (t1 ), x  (t1 ), u  (t1 )) , F (t1 )  F (t1 , x  (t1 )) , а вариации определяютсяследующим образом:F (t1 )  F (t1 , x  (t1 )) i (t1 , x  (t1 )) F (t1 , x  (t1 )) t1 i (t1 , x  (t1 )) t1t1 t1 nF (t1 , x  (t1 ))j 1xjn i (t1 , x  (t1 ))j 1xjx j ,x j ;3) функции x  (), () удовлетворяют системе уравненийx j (t ) H (t , (t ), x  (t ), u  (t )) f j (t , x  (t ), u  (t )) ,j j (t )  H (t , (t ), x  (t ), u  (t )),xjx j (t 0 )  x 0 j ,j  1,  , n .j  1,  , n ,(6)Используемые в формулировке утверждения функции 1 (t ),  ,  n (t ) называютсявспомогательными переменными, H (t , , x, u ) – гамильтонианом, а система (6) – системой канонических уравнений.З а м е ч а н и я.31.

В частном случае задания множества Г, когда момент времени t1 задан и фиксировано k координат x11 ,  , x k1 вектора x (t1 ) , т.е. t1  T1 , x j (t1 )  x j1 , j  1,  , k ;0  k  n , l  k + 1 , функции  j (t1 , x ) имеют вид j (t1 , x )  x j  x j1  0 ,j  1,  , k ;k 1 (t1 , x )  t1  T1  0 .Здесь при k  n правый конец траектории фиксирован, а при k  0 свободен.Отсюда следует, что x j  0 , j  1,  , k ; t1  0 .Решаемая задача с фиксированным временем окончания записывается в формеI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F ( x (t1 ))  min .t0Решением этой задачи является пара ( x  (), u  ()) : оптимальные траектория иуправление.2.

В случае, когда начальное состояние и момент начала процесса t 0 не заданы, аопределяются вместе с конечными состояниями соотношениямиi (t 0 , x (t 0 ), t1 , x (t1 ))  0 ,i  1,  , l ,терминальныйчленфункционаламожетзадаватьсяввидeF1 (t1 , x (t1 ))  F0 (t 0 , x (t 0 )) . Тогда решаемая задача записывается в формеt1I (d ) разностиf 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F1 (t1 , x (t1 ))  F0 (t 0 , x (t 0 ))  min ,t0а условия трансверсальности имеют видF1 (t1 )  H (t1 ) t1   F0 (t 0 )  H (t 0 ) t 0 1 n  j (t1 )  x j tj 1n  j (t 0 )  x j tj 100(7)при любых t1 , x j t1 , t 0 , x j t0 , удовлетворяющих системеi (t 0 , x  (t 0 ), t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,..., l ;i (t 0 , x  (t 0 ), t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,..., l .Решением задачи в этом случае является четверка (t 0 , t1 , x  (), u  ()) , включающаяоптимальные моменты начала и окончания процесса, траекторию и управление.3.

В общем случае гамильтониан следует записывать в формеH (t , ,  0 , x, u ) 4n  j  f j (t, x, u)   0  f 0 (t, x, u) ,j 1а при решении задачи рассматривать два случая:  0 (t )  0 и  0 (t ) $ 0 . Приведенное утверждение соответствует второму случаю, когда полагают  0 (t )  1 .4. Если на управление нет ограничений, т.е. U  R q , то максимум гамильтонианаищется с помощью необходимых и достаточных условий безусловного экстремума.5.

Если модель объекта управления описывается линейным дифференциальнымуравнением, а функционал квадратичный, принцип максимума является необходимым идостаточным условием оптимальности в задаче (4).АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА1. Составить гамильтониан: H (t , , x, u) njj 1f j (t , x, u)  f 0 (t , x, u ) .2. Найти структуру оптимального управления u  (t )  u  (t , (t ), x (t )) из условиямаксимума гамильтониана по управлению.3. Составить систему канонических уравнений (6) с заданными в задаче условиями.4. Из условий трансверсальности (5) или (7) получить недостающие краевые условия для уравнений составленной системы.5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений, полученную в п.

3, с учетом результатов пп. 2 и 4. В итоге определяется тройка(t1 , x  (), u  ()) , на которой может достигаться экстремум функционала. В соответствиис пп. 1, 2 замечаний к формулировке принципа максимумарешениями задачи в завиили четверкасимости от постановки могут быть также пара ( x (), u  ())(t 0 , t1 , x  (), u  ()) .Пример 1.

Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) , x (0)  0 , x (1) где x  R ; u  R ; t  [0; 1] , и функционал1I 1,2[ u 2 (t )  x 2 (t ) ] dt  min .0Tребуется найти оптимальную пару ( x  (), u  ()) , на которой достигается минимумфункционала. Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f (t , x, u )  u ,1f 0 (t , x, u )  u 2  x 2 , F (t1 , x )  0 , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  1  0 , 2 (t1 , x (t1 ))  x (1)   0 .2Решается задача Лагранжа.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )   u  u 2  x 2 .2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстре(t )H (t , (t ), x (t ), u)  (t )  2u  0 .

Отсюда u  (t ) . Найденное управлениемума2u5H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению, так как удовлетво-обеспечивает максимум функцииряются достаточные условия экстремума2 u23. Выписываем уравнения системы (6):x (t )  u  (t )  (t )  H (t , (t ), x (t ), u )  2  0 .1(t ), x (0)  0 , x (1)  ,22H (t , (t ), x (t ), u(t ))  2 x (t ) .x4. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x )  0 , то F  0 и  H (t1 )  t1  (t1 )  x t1 1 0 . Поскольку t1  1 и x (t1 ) 1заданы,2то t1  0 ,x  0 . Поэтому условия трансверсальности выполняются.5.

Решаем полученную двухточечную краевую задачу:x (t ) 1(t ), x (0)  0 , x (1)  ,22 (t )  2 x (t ) . (t ) x (t ), x (t )  C1 e t  C 2 e t , x (0)  C1  C 2  0 ,2e(t )1, u * (t )  x * (t ) . В результате , C 2   C1 , C1 2222(e  1)Последовательно находим: x(t ) x (1)  C1 e  C 2 e 1находится искомая пара: x (t ) e (e t  e t )2 (e 2  1), u (t ) e (e t  e t )2 (e 2  1).Пример 2. Даны модель объекта управленияx (t )  x (t )  u(t ) , x (0)  0 ,где x  R ; u  R ; t  [0; 1] , и функционал1I u 2 (t ) dt  x (1)  min .0Требуется найти оптимальную пару ( x  (), u  ()) , на которой достигается минимумфункционала.0Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f (t , x, u)  x  u ,2f (t , x, u)  u , F (t1 , x )   x , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  1  0 . Решается задача Больца.1.