tus13 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 13.АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИДля исследования свободного движения автономных систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядкаx(t )  f (x (t ), x (t )) ,(1)где f (x , x ) – кусочно-непрерывная функция, применяется метод фазовой плоскости.Перепишем уравнение (1) в виде системы двух уравнений первого порядка:d x (t ) y (t ) ,dt(2)d y (t ) f ( x (t ), y (t )) .dtПоскольку время t входит неявно в уравнение движения (рассматриваемая система автономна), то его легко исключить, поделив второе уравнение системы (2) на первое.

Получим уравнение фазовых траекторий системы (1):dyf ( x, y ),dxy(3)которое связывает положение x и скорость движения y  x системы (1). Решениеdyy  y ( x ) уравнения (3) называется фазовой траекторией, а производная– фазовойdxскоростью.Заметим, что для нахождения свободного движения x (t ) нужно решать уравнение(1) второго порядка с начальными условиями x (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 . Фазовая траекторияy  y ( x ) определяется как решение уравнения (3) первого порядка при начальном условии y (x 0 )  x 0 .Графики фазовых траекторий строятся на фазовой плоскости в координатах x иy  x . Изменению положения системы (1) с течением времени соответствует движениеизображающей точки (x (t ), x (t )) по фазовой траектории.

Тем самым анализ свободногодвижения сводится к построению фазовых траекторий системы (1), которые показываютее поведение на фазовой плоскости.АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ1. Составить дифференциальное уравнение свободного движения системыx(t )  f (x (t ), x (t )) ,если система управления задана структурной схемой или описана каким-либо другимспособом.2.

Записать уравнение фазовых траекторийdyf ( x, y )dxy1и начальное условие в виде y (x 0 )  x 0 .3. Получить фазовую траекторию y  y ( x ) , решая задачу Коши, поставленную вп.2.4. Построить график зависимости y  y ( x ) на фазовой плоскости (в координатахx и y ). Указать (стрелкой) направление движения по фазовой траектории, которое происходит в сторону увеличения координаты x при y  0 и в сторону уменьшения абсциссы при y  0 . Отметим, что ось абсцисс фазовые траектории пересекают вертикально.З а м е ч а н и е. Если в системе присутствуют нелинейные элементы, имеющиерелейный характер, или элементы с зоной нечувствительности либо с зоной неоднозначности, то фазовую плоскость следует разбить на области и для каждой области записатьсоответствующее уравнение фазовых траекторий.

Затем необходимо построить фазовуютраекторию в области, содержащей начальную точку (x 0 , x 0 ) . Если фазовая траектория,исходящая из точки (x 0 , x 0 ) , достигает границы, отделяющей начальную область от соседней, то следует найти координаты (x1 , x1 ) точки ее пересечения с границей. Эти координаты используются в качестве начальных условий для решения уравнения фазовыхтраекторий, соответствующего соседней области.Таким образом, построение фазовой траектории для рассматриваемых систем начинается с области, содержащей начальную точку (x 0 , x 0 ) и продолжается последовательно, переходя от области к области.

Отметим, что на границе областей фазовая траекdyможет терпеть разрыв.тория непрерывна, а фазовая скоростьdxПример 1. Для системы управления, структурная схема которой изображена нарис. 1, при начальных условиях x (0)  1 , x (0)  0 построить фазовую траекторию.yg1s21x1Рис. 1xРис. 2 1. По структурной схеме (рис.1) составляем дифференциальное уравнение. Сигналы g ,  , x связаны соотношениями x   ,   g  x .

Следовательно, свободноедвижение при ( g (t )  0 ) описывается уравнением x   x .2. Записываем уравнение фазовых траекторий и начальное условиеdyx ,dxy2y (1)  0 .3. Разделяя переменные в уравнении и интегрируя, получаемобщегоинтегралаx2  y2  c2  0уравнениявыделяемy2x 2 c2. Из222частный интегралx 2  y 2  1  0 , удовлетворяющий начальному условию.4. Частный интеграл в неявном виде задает фазовую траекторию, график которойпредставляет собой окружность.

На рис. 2 изображена искомая фазовая траектория и указано направление движения по ней, соответствующее изменению положения x (t ) и скорости x (t ) рассматриваемой системы с течением времени. Как видим, данная системауправления при отсутствии внешних воздействий совершает незатухающие (так как фазовая траектория – замкнутая линия) колебания.Пример 2. Для системы управления, структурная схема которой изображена нарис.3, при начальных условиях x (0)  4 , x (0)  0 построить фазовую траекторию.z z  F (,  )gzF112 1xs2121Рис.

3 По структурной схеме (рис. 3) составляем дифференциальное уравнение свободного движения ( g (t )  0 ):x  z ,z  F (,  ),x  F ( x,  x ) .  x,Так как график нелинейного элемента симметричен относительно начала координат ( F ( x ,  x )   F ( x , x ) ), то уравнение движения можно записать так: x  F (x , x ) .Тогда уравнение фазовых траекторий будет иметь видdyF ( x, y ).dxyДанная система содержит релейный элемент F с зоной нечувствительности и сзоной неоднозначности.

Разделим фазовую плоскость на три области А, Б, В (рис. 4), вкаждой из которых функция F (x , y ) принимает одно из значений:  1 , 0, 1.Запишем уравнения фазовых траекторий:для области А:dy 1 ;dx yдля области Б:dy 0;dxдля области В:dy1 .dxyНачальная точка S (4; 0) лежит в области В, поэтому сначала решаем задачу Кошиdy1  , y (4)  0 для этой области.dxy3yAБMBN2 25211AL2PS46x6KÁBРис. 4Интегрируя уравнение, получаем семейство параболy2  x  c , из которого выбираем2y2, проходящую через начальную точку S (4; 0) . Устанавливаем на2правление движения изображающей точки по данной параболе и отбрасываем одну из ееветвей (ветвь при y  0 ), так как движение по этой ветви могло быть только до начального момента времени.

Оставшаяся ветвь параболы достигает границы ( x  1 ; y  0 ) об-параболу x  4 ласти В в точке K (1;  6 ) и попадает в область Б. Составляем задачу Коши для областиБ:dy 0 , y (1)   6 .dxКак видим, в области Б фазовая скорость не меняется и фазовая траектория является прямой: y ( x )   6 . Границу ( x  2 ; y  0 ) области Б эта прямая пересекает в точкеL(2;  6 ) . Далее последовательно получаем:y2дуга LM : x  5 ; M (  1; 2 2 ) ;2дуга MN : y  2 2 ;N ( 2; 2 2 ) ;y2; P (6; 0) .2Фазовая траектория системы изображена на рис.

4. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВОГО ПОРТРЕТА МЕТОДОМ ИЗОКЛИНдуга NP : x  6 Для получения полного представления о поведении автономной системы второгопорядка, в частности для анализа устойчивости, необходимо изобразить на фазовой плоскости все характерные фазовые траектории системы, т.е.

построить фазовый портрет4системы управления. Для приближенного построения фазового портрета удобно использовать метод изоклин, не требующий интегрирования уравнения (7.13) фазовых траекторий.Метод состоит из двух этапов:1. На фазовой плоскости строим систему изоклин – линий с одинаковым наклономфазовых траекторий. Уравнение изоклин имеет видf ( x, y )c,yгде параметр c равен тангенсу угла наклона фазовой траектории и может принимать любые действительные значения. На каждой изоклине (при конкретном значении c ) штриdyхами наносим направление ( c ) прохождения фазовой траектории.dx2.

По изоклинам строим (приближенно) фазовые траектории.При наличии в системе управления нелинейных элементов с разрывными характеристиками фазовая плоскость разбивается на части, в каждой из которых строится свойпортрет, при этом учитывается, что на границе областей фазовые траектории непрерывны, а фазовые скорости могут иметь разрыв.Пример 3. Для системы управления, структурная схема которой изображена нарис. 5, построить фазовый портрет. Составляем уравнение фазовых траекторий:x  x  F (),  g  x,x   x  F (x )g  0,dyF (x ) 1 .dxyzz  F ()gFz1s1s 1x1111Рис. 5Ayc   0,5c0c 15БB2111xc  2c  1,5ABБРис.

6F (x ) c . Поскольку система управления соyдержит релейный элемент F с зоной нечувствительности, то фазовую плоскость разбиваем на три области А, Б, В (рис. 6), в которых функция F ( x ) принимает постоянные значения:  1 ; 0 ; 1.11.; для области В: y  Запишем уравнения изоклин: для области А: y c 1c 1В области Б уравнение изоклин имеет вид c  1 , что свидетельствует о том, что все фаdyзовые траектории в этой полосе являются прямыми линиями с наклоном 1 . В обdxласти А строим семейство изоклин, выбирая значения параметра “ так, чтобы изоклиныравномерно заполняли эту область. Наносим штрихами направления прохождения фазовых траекторий и затем строим приближенно фазовые траектории, указывая на них направление движения изображающей точки.

В области В картина фазовых траекторийсимметрична построенной в области А . Фазовый портрет системы изображен на рис. 6.Уравнение изоклин имеет вид  1 Для системы построен фазовый портрет, по которому заключаем, что отрезок оси абсцисс 1  x  1 является отрезком покоя, так как любая фазовая траектория системыоканчивается в некоторой точке этого отрезка. Пример 4. Для системы управления, изображенной на рис. 7, где5, построить фазовый портрет.параметры нелинейности b  1 , d 26z z  F (,  )gzF1xs (s  1)dbbdабРис.