tul8 (Лекции по теории управления)

Лекция 8.3.3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ3.3.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания детерминированных сигналов используетсяпреобразование Фурье:G ()  F  g (t )  g (t ) e i t dt ,где g (t ) – сигнал; G () – его изображение по Фурье.В качестве моделей случайных сигналов рассматриваются стационарные одномерные случайные процессы, например G (t ) , которые имеют постоянные математические ожидания mg (t )  const , а их ковариационные функции зависят от разности аргументов t1  t 2   и поэтому являются функциями одной переменной:R g t1 , t 2   R g t1  t 2   R g   .Дисперсия стационарного случайного процесса получается при t1  t 2 , т. е.

при   0 :D g (t )  R g (0)  const .Примером стационарных случайных процессов является стационарныйбелыйшум, имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюR g ( )  S 0 ( ) , где S 0 – интенсивность белого шума.С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить характеристикистационарных случайных процессов, эквивалентные моментным функциям.Спектральной плотностью называется преобразование Фурье ковариационнойфункции стационарного случайного процесса:  R g () e i d .S g ()  F R g () Эта функция частоты  в силу четности функции R g () является четной.

Переход отспектральной плотности к ковариационной функции выполняется с помощью обратногопреобразования Фурье:1R g () S g () e i d .2  При   0 в силу четности S g () получаем формулу для вычисления дисперсии:11D g  R g (0) S g () d 2   S g () d .012. Описание систем.

Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; a0 ,  , an , b0 , , bm – постоянные коэффициенты. Если к системе приложен случайный входной сигнал, то на выходе такжеполучается случайный сигнал.

Для обозначения случайных сигналов будем использоватьпрописные буквы G (t ), X (t ) .Учтем, что для стационарных систем импульсная переходная функция k (t , ) является функцией разности t     своих аргументов: k (t , )  k ( ) , причем k()  0при   0 .Частотной характеристикой W (i) стационарной линейной системы называется преобразование Фурье импульсной переходной функции:W (i)  F k ()  k () e i d .0Существует связь между частотной характеристикой и передаточной функцией:W (i)  W (s )s i .Частотная характеристика является комплекснозначной функцией вещественногоаргумента  – частоты, изменяющейся в промежутке от 0 до   , и может быть представлена в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:W (i)  A() e i ()  A()   cos ()  i sin ()   U ()  i V () ,где A() , () – амплитудная и фазовая частотные характеристики; U () , V ()– вещественная и мнимая частотные характеристики; A()  W (i) ,()  arg W (i) , U ()  ReW (i) , V ()  Im W (i) :A() U 2 ()  V 2 () ,()  arctgV (),U ()arctgV ()  , U ()  0, V ()  0,U ()arctgV () , U ()  0, V ()  0,U (),2,2U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0.Заметим, что в начале координат arg W (i) не определен.2Частотная характеристика W (i) изображается годографом в координатах U, Vили в полярных координатах A,  , называемым амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис.

1).VW (i)V ()A()()U ()UРис. 1Методика нахождения частотных характеристик состоит в следующем:1. По дифференциальному уравнению системы найти передаточную функциюW (s ) .2. Найти частотную характеристику W (i) по формуле связи.3. Определить вещественную и мнимую, а также амплитудную и фазовую частотные характеристики по формулам.Установим физический смысл частотной характеристики.Из полученных соотношений следует, что если на вход стационарной линейнойсистемы продолжительное время (бесконечно долго) действует гармонический сигналчастоты  , то наблюдаемый выходной сигнал будет тоже гармоническим с той же частотой.

Амплитуда его отличается в A() раз, а фаза – на величину () .Приведенный анализ служит основой для экспериментального нахождения частотной характеристики. При этом на вход динамической системы при помощи генератораподается гармонический входной сигнал g t   A1  sin t . На выходе измеряются амплитуда и фаза гармонического сигнала x t   A2  sin t   , а затем вычисляется отношеAние амплитуд выходного и входного сигналов A()  2 . Повторяя описанную процеA1дуру при различных значениях частоты   [ 0,  ) , можно построить годограф частотной характеристики (рис. 2).Генератор гармоническихсигналовx (t )  A2 sin(t  )g (t )  A1 sin tСистема3VA() A2A1()1A(1 )(1 )2A(2 )( 2 )2A(2 )1(2 )W (i)A(1 )(1 )0UРис. 23.3.2.

Анализ выходных процессов при случайных воздействияхПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной стационарный случайный сигнал G (t ) с известными математическиможиданием mg и ковариационной функцией R g ( ) ;б) линейная стационарная система, описываемая дифференциальным уравнением.Она должна быть устойчивой.Требуется найти математическое ожидание mx , ковариационную функцию Rx ()и дисперсию D x выходного сигнала X (t ) в стационарном режиме (при t    ).СВЯЗИ ВХОД-ВЫХОДРассматривается линейная стационарная система, описываемая уравнениемan  X (n ) (t )    a0  X (t )  bm  G (m) (t )    b0  G (t ).Так как система устойчива, то в стационарном режиме при t    сигналы практически не изменяются.

Применяя операцию нахождения математического ожидания клевой и правой частям уравнения с учетом m g  const , получаем связь между математическими ожиданиями входного и выходного сигналов:a0  m x  b0  m gилиmx b0a0 mg .Установим связь между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе.S x ()  W (i)  W * (i)  S g ()  | W (i) | 2  S g () .где W * (i) и W (i) связаны как комплексные сопряженные выражения.4АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти спектральную плотность входного сигнала S g () по формуле  Rg () e i d .S g ()  F R g () Так как функция R g ( ) четная, т.е. R g ( )  R g () , то может быть использована эквивалентная формула косинус-преобразования Фурье:S g ()  2  R g () cos () d .02. Определить частотную характеристику системы W (i) .3. Найти математическое ожидание выходного сигнала в стационарном режимеbmx  0 mg .a04. Вычислить спектральную плотность выходного сигнала по формулеS x ()  | W (i) | 2 S g () .5.

Найти ковариационную функцию Rx ( ) и дисперсию D x выходного сигнала поформулам1R g () S g () e i d ,2 11D g  R g (0) S g () d 2   S g () d .0Здесь иногда полезным оказывается представление спектральной плотности в видеS x ()  Sˆx (i)  Sˆx (i) .Тогда, заменяя i  s и применяя обратное преобразование Лапласа, имеем L1 Sˆ (s ) , x R x ()   1  ˆ L S x ( s ) ,  0,  0.53.3.3. Анализ устойчивостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть дана линейная одномерная стационарная система управления, описываемаяструктурной схемой, изображенной на рис. 3,а или 3,б, с известной передаточной функцией W (s ) .Требуется исследовать, является ли система устойчивой.ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИАнализ устойчивости линейных стационарных систем управления удобно проводить на основе двух частотных критериев. Критерий Михайлова применяется для систем(рис.

3,а) с известной частотной характеристикой W (i) , а критерий Найквиста  Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы (рис. 3,б) по частотнойхарактеристике W (i) разомкнутой системы.gW(s)xW(s)gаxбРис. 3Методика применения частотных критериев использует следующее построение.Пусть задана функция z  f (s ) комплексного переменного s , аналитическая на всейкомплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных полюсов. Еслидля каждого действительного значения  из промежутка [ 0;  ) определен аргументкомплексного числа f (i) , то можно вычислить приращение  Arg f (i) функции0  Arg f (i) при изменении частоты  от 0 до   .

Если же при некоторых значениях из промежутка [ 0;  ) функция Arg f (i) не определена, т.е. f (i)  0 или f (i)   ,то промежуток [ 0;  ) следует разбить на интервалы, исключив недопустимые значения  , вычислить величину приращения  Arg f (i) на каждом интервале, а затем полученные величины приращений сложить. Описанная процедура легко выполняется, еслипостроить годограф функции f (i) при изменении частоты  от 0 до   . Тогда приращение  Arg f (i) находится как величина  угла поворота радиус-вектора, конец которого перемещается по годографу функции f (i) при возрастании частоты от 0 до   :   Arg0    6f (i) .В этом случае говорят, что годограф f (i) охватывает точку z  0 на угол  .При вычислении величины  поворот радиус-вектора против часовой стрелки считаетсяположительным, а по часовой стрелке  отрицательным.