tul4 (Лекции по теории управления)

Лекция 4.1.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ1.3.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в системах управления, подверженных случайным воздействиям, являются случайными процессами. В качестве их характеристикобычно используются:математическое ожидание:m g (t )  M [ G (t ) ] Rg p(t , g ) dg ,nгде M – операция вычисления математического ожидания; G (t ) – вектор входного сигнала; p(t , g ) – плотность вероятности случайного процесса G (t ) ;ковариационная функция:R g (t1 , t 2 )  M { [ G (t1 )  m g (t1 ) ] [ G (t 2 )  m g (t 2 ) ]T } ,где t1 и t 2 – два момента времени. Ковариационная функция удовлетворяетR g (t1 , t 2 )  R g (t 2 , t1 ) .условиюПри t1  t 2 ковариационная функция представляет собой ковариационную матрицу R g (t )  R g (t , t ) , на главной диагонали которой находятся дисперсии каждой компоненты вектора G (t ) :D gi (t )  R gii (t )  M { [ G i (t )  m gi (t ) ]2 }.Частным случаем случайных процессов является белый шум N (t ) , имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюRN (t1 , t 2 )  S 0 (t1 ) (t1  t 2 ) ,где S 0 (t1 ) – интенсивность шума, симметрическая неотрицательно определенная матрица; (t1  t 2 ) – симметричная дельта-функция, определяемая условиемba 0,   ( , a)  (b,  ),  (a, b ),f (),f (t ) (t  ) dt    a,0,5 f (a),b0,5 f (b ),для любой непрерывной в точке  функции f (t ) .1Стационарные случайные процессы имеют постоянные по времени математические ожидания, а их ковариационные функции зависят от разности своих аргументов t1  t 2   .

Поэтому последние можно рассматривать как функции одного аргумента:R g (t1 , t 2 )  R g (t1  t 2 )  R g () .Дисперсия стационарного процесса постоянна и равна D g  R g (0) . Например,стационарный белый шум имеет нулевое математическое ожидание и ковариационнуюфункциюRN (t1 , t 2 )  S 0 (t1  t 2 ) или RN ()  S 0 () ,где S 0 – постоянная матрица интенсивности шума.2. Описание систем. Линейные системы при наличии случайных воздействий впространстве состояний описываются стохастическими дифференциальными уравнениями, которые могут быть записаны в различных формах.Первый способ.

Система описывается уравнением в форме ЛАНЖЕВЕНАd X (t ) A(t ) X (t )  B (t ) G (t ), X (t 0 )  X 0 ,dtгде A (t ) , B (t ) – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ); G (t ) – r-мерный случайный процесс сmg (t)математическиможиданиемиковариационнойфункциейR g (t1 , t 2 )  S 0 (t1 ) (t1  t 2 ) , X 0 – n-мерный случайный вектор, характеризующий на-чальное состояние системы. Если mg (t )  0 , сигнал G (t ) совпадает с белым шумомN (t ) .Второй способ. Система описывается уравнением в форме ИТОdX (t )  A(t )X (t ) dt  B (t ) dG (t ) , X (t 0 )  X 0 ,где G (t ) – r-мерный винеровский случайный процесс, удовлетворяющий условиям:G (t 0 )  0 , M {G (t )}  0 для всех t  t 0 , вектор G (t ) для любых t  t 0 распределен погауссовскому закону, процесс является однородным с независимыми приращениями.

Егоковариационная функция R g (t1 , t 2 )  S 0 min [t1 , t 2 ]. Если S 0  E , винеровский случайный процесс называется стандартным.1.3.2. Связи вход-выходЕсли система задана уравнением Ланжевена, то закон изменения математическогоожидания вектора состояния имеет видm x (t )  A(t ) m x (t )  B (t ) m g (t ) , mx (t 0 )  m0 .2(1)Закон изменения ковариационной матрицы вектора состояния:R x (t )  A(t ) R x (t )  R x (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t )B T (t ) , Rx (t 0 )  R0 .(2)Ковариационная функция определяется по формуле (t1 , t 2 ) R x (t 2 ),R x (t1 , t 2 )  TR x (t1 )  (t 2 , t1 ),t1  t 2 ,t1  t 2 ,(3)где (t1 , t 2 ) – переходная матрица, удовлетворяющая уравнению (t1 , t 2 ) t1 A(t1 ) (t1 , t 2 ) , (t 2 , t 2 )  E .(4)Если система задана уравнением Ито, то в (1) следует положить mg (t )  0 , а в(1.72) подставить S 0 (t )  S 0 .Уравнение (1) получается из уравнения Ланжевена путем нахождения математического ожидания левой и правой частей.Поясним соотношения (2),(3).

Применим формулу Коши для уравнения (1):tm x (t )  (t , t 0 ) m0 (t , ) B () m g () d .(5)t0ОбозначимPx (t )  M [ X (t )X T (t ) ] , Pxg (t )  M [ X (t )G T (t ) ] , Pgx (t )  M [ G (t ) X T (t ) ]и определим ковариационную матрицуR x (t )  M { [ X (t )  m x (t ) ] [ X (t )  m x (t ) ]T }  M [ X (t ) X (t )T ]  M [ X (t ) m x T (t ) ] (6) M [m x (t ) x T (t )]  m x (t ) m x T (t )  Px (t )  m x (t ) m x T (t ).Выведем уравнение, описывающее изменение Px (t ) . С учетом уравнения получаемPx (t )  M [ X (t ) X T (t )]  M [X (t ) X T (t )]  A(t ) M [ X (t ) X T (t )]  B (t ) M [G (t ) X T (t )]  M [ X (t ) X T (t )] AT (t )  M [X (t )G T (t )] BT (t )  Px (t )Pgx (t )Px (t )Pxg (t ) A(t ) Px (t )  B (t ) Pgx (t )  Px (t ) AT (t )  Pxg (t ) BT (t ).3Найдем Pxg (t ) с учетом формулы Коши и того, что X 0 и G (t ) не коррелированы(R x0 g  0) :TtTPxg (t )  M [ X (t )G (t ) ]  M [ (t , t 0 ) X 0 G (t ) (t , ) B () G () G T (t ) d ] t0tT (t , t 0 ) m0 m g (t ) (t , ) B () M [ G ()G T (t )] d .t0Определим взаимную ковариационную функциюR xg (t1 , t 2 )  M { [ X (t1 )  m x (t1 ) ] [ G (t 2 )  m g (t 2 ) ]T }  M [ X (t1 )G T (t 2 )]  m x (t1 ) m g T (t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 ) Pxg (t1, t2 ) Pxg (t1 , t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 ).Используем полученное соотношение:M [ G () G T (t ) ]  Pg (, t )  m g () m g T (t )  R g (, t )  m g () m g T (t )  S 0 () (  t ) .ТогдаtTPxg (t )  (t , t 0 ) m0 m g (t ) T(t , )B () m g () m g (t ) d t0t(t , ) B ()S 0 () (  t ) d .t0Используя (4) и (5), имеемPxg (t )  m x (t ) m g T (t ) 11(t , t ) B (t ) S 0 (t )  m x (t ) m g T (t )  B (t ) S 0 (t ).22EАналогично можно показать, чтоPgx (t )  m g (t ) m x T (t ) 1S 0 (t ) B T (t ).2ПоэтомуPx (t )  A(t ) Px (t )  Px (t ) AT (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t ) .4Продифференцировав (6), с учетом (5) и Px (t )  R x (t )  m x (t ) m x T (t ) , получимуравнение (2):R x (t )  Px  m x (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t )  A(t ) Px (t )  Px (t ) AT (t )  B (t )S 0 (t ) B T (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  A(t ) R x (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  R x (t ) AT (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  A(t ) R x (t )  R x (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t ).1.3.3.

Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал, заданный своими статистическими характеристиками mg (t ) ,R g (t1 , t 2 ) или R g (t ) ;б) система, описываемая одним из уравнений в форме Ланжевена или Ито;в) математическое ожидание m0 и ковариационная матрица R0 гауссовского закона распределения начального состояния X 0 .Требуется найти статистические характеристики случайного процесса X (t ) : поведение математического ожидания mx (t ) и ковариационной матрицы Rx (t ) , а также ковариационную функцию Rx (t1 , t 2 ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Решая уравнение (1), найти закон изменения математического ожидания выходного сигнала mx (t ) .2.

Решая уравнение (2), определить закон изменения ковариационной матрицыRx (t ) .3. Найти переходную матрицу, удовлетворяющую уравнению (4), и ковариационную функцию по формуле (3).1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1.4.1. Анализ устойчивости1. Одномерные системы. При изучении различных форм математическогоописания систем управления большое внимание уделяется алгоритмам решения основной5задачи анализа – задачи анализа выходных процессов, т.е.

получению количественныххарактеристик процессов, происходящих в системах. В данном разделе рассмотренныевышесистемные характеристики используются для выяснения качественныхособенностей поведения систем управления.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим одномерную стационарную систему управления, поведение которойописывается дифференциальным уравнениемa n x (n) (t )  a 0 x (t )  bm g (m) (t )  b0 g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 , , x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; t 0 – начальный момент времени.В соответствии с представлением выходного сигнала системы в виде суммы свободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) вводятся следующие понятияустойчивости системы.Система управления называется устойчивой по начальным данным (асимптотически устойчивой), если при ненулевых ограниченных начальныхусловиях свободное движение x“ (t ) ограничено при всех t  [t 0 ,  ) и lim x c (t )  0 .tСистема управления называется устойчивой по входу, если при любомограниченном воздействии g (t ) реакция системы x"/… (t ) является ограниченной в любой момент времени t [t 0 ,  ) .Более краткий термин – устойчивая система управления – употребляется, еслисистема устойчива и по входу, и по начальным данным.Требуется определить, является ли система устойчивой.КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.