tul14 (Лекции по теории управления)

Лекция 14.8.2. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИДля исследования свободного движения автономных систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядкаx(t )  f (x (t ), x (t )) ,где f (x , x ) – кусочно-непрерывная функция, применяется метод фазовой плоскости.Перепишем уравнение в виде системы двух уравнений первого порядка:d x (t ) y (t ) ,dtd y (t ) f ( x (t ), y (t )) .dtПоскольку время t входит неявно в уравнение движения (рассматриваемая система автономна), то его легко исключить, поделив второе уравнение системы на первое.

Получим уравнение фазовых траекторий :dyf ( x, y ),dxyкоторое связывает положение x и скорость движения y  x . Решение y  y ( x ) уравнеdyния называется фазовой траекторией, а производная– фазовой скоростью.dxЗаметим, что для нахождения свободного движения x (t ) нужно решать уравнениевторого порядка с начальными условиями x (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 . Фазовая траекторияy  y ( x ) определяется как решение уравнения первого порядка при начальном условииy (x 0 )  x 0 .Графики фазовых траекторий строятся на фазовой плоскости в координатах x иy  x . Изменению положения системы с течением времени соответствует движение изображающей точки (x (t ), x (t )) по фазовой траектории. Тем самым анализ свободногодвижения сводится к построению фазовых траекторий системы , которые показывают ееповедение на фазовой плоскости.АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ1. Составить дифференциальное уравнение свободного движения системыx(t )  f (x (t ), x (t )) ,если система управления задана структурной схемой или описана каким-либо другимспособом.2.

Записать уравнение фазовых траекторийdyf ( x, y )dxy1и начальное условие в виде y (x 0 )  x 0 .3. Получить фазовую траекторию y  y ( x ) , решая задачу Коши, поставленную вп.2.4. Построить график зависимости y  y ( x ) на фазовой плоскости (в координатахx и y ).

Указать (стрелкой) направление движения по фазовой траектории, которое происходит в сторону увеличения координаты x при y  0 и в сторону уменьшения абсциссы при y  0 . Отметим, что ось абсцисс фазовые траектории пересекают вертикально.З а м е ч а н и е.1. Если в системе присутствуют нелинейные элементы, имеющие релейный характер, или элементы с зоной нечувствительности либо с зоной неоднозначности, то фазовую плоскость следует разбить на области и для каждой области записать соответствующее уравнение фазовых траекторий.

Затем необходимо построить фазовую траекторию вобласти, содержащей начальную точку (x 0 , x 0 ) . Если фазовая траектория, исходящая източки (x 0 , x 0 ) , достигает границы, отделяющей начальную область от соседней, то следует найти координаты (x1 , x1 ) точки ее пересечения с границей. Эти координаты используются в качестве начальных условий для решения уравнения фазовых траекторий,соответствующего соседней области.Таким образом, построение фазовой траектории для рассматриваемых систем начинается с области, содержащей начальную точку (x 0 , x 0 ) и продолжается последовательно, переходя от области к области.

Отметим, что на границе областей фазовая траекdyможет терпеть разрыв.тория непрерывна, а фазовая скоростьdx2. Для получения полного представления о поведении автономной системы второго порядка, в частности для анализа устойчивости, необходимо изобразить на фазовойплоскости все характерные фазовые траектории системы, т.е. построить фазовый портрет системы управления. Для приближенного построения фазового портрета удобно использовать метод изоклин, не требующий интегрирования уравнения фазовых траекторий.ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ОСОБЫЕ ЛИНИИ ФАЗОВОГО ПОРТРЕТААнализ поведения автономной системы второго порядка сводится к построению еефазового портрета, по которому можно проследить эволюцию свободного движения системы из любого положения.

Фазовые траектории системы могут быть трех типов:а) точка (x 0 , 0) , если уравнение имеет решение x (t )  x 0 ( y (t )  x (t )  0 ). Такаяточка фазовой плоскости называется положением равновесия системы. Если в любойокрестности положения равновесия имеется хотя бы одна фазовая траектория, уходящаяот него при t   , то точка равновесия является неустойчивой. Если же все фазовыетраектории в окрестности точки равновесия неограниченно приближаются к ней приt   , то данное положение равновесия называется асимптотически устойчивым;б) замкнутая кривая (траектория), если уравнение имеет периодическое решение;в) незамкнутая кривая, которая соответствует непериодическому решению уравнения;2Для анализа поведения системы достаточно выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на характерные области с однотипными траекториями.

Поэтому нужно выяснить расположение не всех фазовых кривых, а лишь некоторых особыхтраекторий.Приведем имеющуюся классификацию особых точек и особых линий фазовогопортрета. Особые точки – это точки равновесия системы, которые определяются из системы уравнений:f (x , y )  0 ,y  0.dydxсистемы не определена. Если функция f (x , y ) гладкая в окрестности особой точки, топоведение системы в этой окрестности положений равновесия совпадает с поведениемлинеаризованной системы. Линеаризуем уравнение около опорного режимаx (t )  x 0  const . ПолучимВ особых точках скорость x (t ) и ускорение x(t ) равны нулю, а фазовая скоростьx  f x (x 0 ,0) x  f x (x 0 ,0) x  0 .Корни 1 ,  2 характеристического уравнения2  f x ( x 0 ,0)   f x ( x 0 ,0)  0определяют поведение фазовых траекторий линеаризованной системы в окрестности особой точки.

Имеются четыре типа особых точек: фокус, узел, седло и центр.1. Особая точка называется фокусом, если корни 1 ,  2 комплексные сопряженные. Фокус является устойчивой точкой равновесия (рис. 1,а), если корни имеют отрицательные вещественные части и неустойчивой (рис. 1,б) в противном случае.yyxtyyxtРис. 12. Особая точка называется узлом, если корни 1 ,  2 действительные одного знака.

Причем узел является устойчивым (рис. 2,б), если оба корня отрицательны, и неустойчивым (рис. 2,а), если оба корня неотрицательны.3yx121xt2yx112xt2Рис. 23. Особая точка называется седлом, если корни 1 ,  2 действительные разныхзнаков. Седло – неустойчивая точка равновесия (рис. 3).y3x12tx434Рис. 34. Особая точка называется центром (рис.

4), если корни 1 ,  2 чисто мнимые.yРис. 4x4xtyxРис. 5Для систем, содержащих нелинейный элемент с зоной нечувствительности, на фазовом портрете возникает особый отрезок (рис. 5), состоящий из точек равновесия.Если все эти точки равновесия устойчивые, то особый отрезок называют отрезком покоярассматриваемой системы.Кроме особых точек, следует указать особые линии фазового портрета: предельныециклы и сепаратрисы.Предельным циклом называется замкнутая фазовая кривая, в окрестности которойвсе фазовые траектории неограниченно приближаются к этой замкнутой кривой приt   или при t    .Предельный цикл может быть устойчивым (рис. 6,а), если любая изображающаяточка (x (t ), y (t )) в его окрестности приближается к циклу при t   ; неустойчивым(рис.

6,б), если все изображающие точки в окрестности цикла приближаются к нему приt    , и полуустойчивым (рис. 6,в).xayyyyxбxxвРис. 6Сепаратрисой называют фазовую траекторию, стремящуюся (при t    ) к некоторому положению равновесия, в любой окрестности которой имеются траектории,вначале приближающиеся к этому положению равновесия, а затем удаляющиеся от него.Например, сепаратрисами являются четыре луча, пересекающиеся в особой точке типаседло и служащие асимптотами для других фазовых траекторий.Точки равновесия, предельные циклы и сепаратрисы определяют качественнуюкартину поведения остальных фазовых траекторий. Например, на рис.

7 особые точки типа центр разделяются сепаратрисами.5yxРис. 7Заметим, что предельные циклы и сепаратрисы могут не быть фазовыми траекториями, но в любой окрестности этих линий обязательно проходят интегральные кривыеуравнения фазовых траекторий. Рассмотрим теперь пример, который показывает существование особых движений системы, не подчиняющихся уравнению фазовых траекторий.Пример . Для системы управления, изображенной на рис. 8, построить фазовыйпортрет.zgFz1s1sz  F ()1x1абРис. 8 Составим уравнение свободного движения системы:x  v ,v  z ,z  F (),  g  x  v,x  F (x  x )g 0dyF (x  y). Разделим фазовую плоскость на двеdxyобласти: А и Б, в которых функция F принимает постоянные значения:  1 или 1 (рис.9).и уравнение фазовых траекторий:6yÁADCxРис. 9Запишем уравнения фазовых траекторий: для области А:dy 1 ;dx yдля области Б:dy1  .

Следовательно, фазовые траектории системы представляют собой параболы:dxyy2y2  ; для области Б: x   , где  – произвольная постоянная.22На линии y   x переключения релейного звена отметим две точки: C(1;1) иD (1;1) , которые разбивают ее на три части. В точках, лежащих на прямой переключения вне отрезка CD , происходит переход изображающей точки с параболы одного семейства (например, соответствующей области А) на параболу другого семейства (соответствующую области Б). При этом фазовая траектория остается непрерывной, хотя фазовая скорость терпит разрыв. В каждой точке отрезка CD встречаются две фазовые траектории, поэтому, попав на отрезок CD , изображающая точка не может его покинуть ибудет скользить по нему к началу координат.

С другой стороны, точное движение по линии переключения невозможно, так как оно может иметь место лишь при мгновенномсрабатывании релейного элемента. Из-за немгновенного действия реле возникает высокочастотный режим следующих друг за другом переключений, которому соответствуютвысокочастотные колебания изображающей точки вокруг линии переключения.

Такоедвижение нелинейных систем называется скользящим режимом.для области А: x 7.