tul12 (Лекции по теории управления)

Лекция 12.5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХСИСТЕМ5.4.1. Анализ устойчивости одномерных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) одномерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается разностным уравнением:an x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m  bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,k  0,1,2,  ;б) начальные условия:x 0   x 0 , x 1  x1 , , x n  1  x n 1 .Линейная дискретная стационарная система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движениеx c k  (при g k   0 ) ограничено при всех k  0,1,2,  и выполняется условие x c k   0при k    .Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИДля асимптотической устойчивости линейной одномерной стационарной дискретной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы корни  i характеристического уравненияan n  an 1n 1    a0  0были по модулю меньше единицы:  i  1; i  1,  , n .Это означает, что все корни должны располагаться внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис.

1).1Im 11Re Рис. 1З а м е ч а н и е. Нахождение корней характеристического уравнения, как правило,связано с большими вычислительными трудностями. Как и для непрерывных динамических систем, в качестве косвенного критерия устойчивости можно использовать критерийРауса-Гурвица. Для этого следует выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного  на плоскость комплексного переменного w таким образом,чтобы окружность   1 перешла в мнимую ось, а внутренность круга   1 отобразилась на левую полуплоскость Re w  0 . Такое отображение выполняется с помощьюдробно-линейного преобразования:  1w.1wПример 1.

Исследовать устойчивость дискретных динамических систем, описываемых уравнениями:а) x k  3 11x k  2   x k   g k  ;24б) x k  3  2 x k  2   2 x k  1  g k  .а) Характеристическое уравнение2 1 3 1 2 1  024имеет корни21,211  i  ,  3  1 1  i  , лежащие внутри круга единичного радиуса, так как2221 1,  2   3  1 . Система асимптотически устойчивая.22Решим задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Для этого сделаем1  1wв характеристическом уравнении:1wзамену321 1  w 11  w      0,2 1  w 41  w 1  3w  3w 2  w 3 В результате получим1 1 2 111 331 w  w  w3   w  w2  w32 2224 444 0.3(1  w )5 3 17 2 73w w  w   0 или после умножения на 4 :44445w 3  17w 2  7w  3  0 .Составим матрицу и вычислим угловые миноры:17 3 0  5 7 0  , 1  17  0, 0 17 3  2  104  0, 3  3  104  312  0.Так как все угловые миноры положительны, система асимптотически устойчивая.б) Характеристическое уравнение3  22  2  0имееткорни1  0 , 2  1  i ,  3  1  i , первый лежит внутри круга единичного радиуса, а  2 ,  3 лежатвне круга, так как  2   3  2  1 . Согласно критерию система не является асимптотически устойчивой.Решим задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Для этого сделаем замену1wв характеристическом уравнении:1w321w1  w 1  w 0 ,  2 21w1  w 1  w 1  3w  3w 2  w 3  2  2w 2  2w  2w 3  2  2w  2w 2  2w 3(1  w )3 0.В результате получим w 3  w 2  3w  5  0 .Составим матрицу и вычислим угловые миноры: 1 5 03 0,1  1  0 ,  2   8  0,  3   40  0 . 1 0  1 5Так как не все угловые миноры положительны (они отрицательны), система не яв-ляется асимптотически устойчивой. 35.4.2.

Анализ устойчивости многомерных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) многомерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается уравнением состояния:x k  1  A x k   B g k  , k  0,1,... ;б) начальное условие:x 0   x 0 ,где x 0 – начальное состояние.Многомерная линейная стационарная дискретная динамическая система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x c k  , k  0,1,2,  (приg k   0 ) ограничено при ограниченных начальных состояниях x 0 и выполняется условиеx c k   0 при k   ,где x– какая-либо норма вектора x , например,x n xi2 .i 1Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИДля асимптотической устойчивости многомерной линейной стационарной дискретной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы корни  iхарак-теристического уравненияdet A  E   0были по модулю меньше единицы:  i  1 ,i  1,  , n .Это означает, что все корни  i должны располагаться внутри круга единичногорадиуса с центром в начале координат.Очевидно, как и для одномерных динамических систем, для анализа устойчивостимногомерных систем можно применять критерий Рауса-Гурвица.4Пример 2.

Исследовать устойчивость дискретных динамических систем, описываемых уравнениями состояния:x1 k  1   x 2 k   g1 k  ,x 2 k  1  x1 k   g 2 k  ;Здесьdet A  E   0 : 0  1 . Найдем корни характеристического уравненияA  10  1 0 , или 2  1  0 . Отсюда 1  i ,  2  i . Так как1 1   2  1 , т.е. корни не лежат внутри круга единичного радиуса (они лежат на егогранице), то система не является асимптотически устойчивой.6.

ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ6.1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ6.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания сигналов и систем будем использовать z преобразование. Приведем основные определения.Оригиналом называется последовательность  f k  , k  0,1,  , удовлетворяющаяусловиюf k   Me k , где M и  – положительные постоянные (рис. 1).ff (2)f (0)f (1)01f (4)f (3)234f (5)5kРис. 1Изображением последовательности  f k  , k  0,1,  называется функция F z комплексного переменного z , определяемая равенством5F z  f k .zkk 0Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов,вокупность всех изображений – пространством изображений.а со-Переход, определяющий изображение F z  по оригиналу  f k  , k  0,1,  , называется Z -преобразованием:F z   Z  f k  .Оригинал находится по изображению с помощью обратного Z -преобразования:1f k   Z 1[F (z )] F z  z k 1dz , k  0,1,  ,2i Cгде C – контур, внутри которого лежат все особые точки функции F z  .СВОЙСТВА Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯПусть F (z )  Z [ f (k )] .1.

Линейность. Для любых постоянных ci , i  1,  , m , справедливоZ  c1 f1 k     cm f m k    c1 F1 z     cm Fm z  ,где  f1 k  , k  0,1, , ,  f m k  , k  0,1,  – оригиналы, а F1 z  ,  , Fm z  – их изображения.2. Запаздывание (формула запаздывания):Z  f k  1   z 1F z  ,Z  f k  n    z n F z  , n  1,2,  ,где f k  n   0 при k  n  0 (рис.

6.2).fff44422201234 k0123Рис. 26f (k  n)f (k  1)f (k )4k0n n 1k3. Опережение (формула опережения):Z  f k  1   z F z   f 0  ,Z  f k  n    z n F z   z n f 0   z n 1 f (1)    z f n  1 .2. Описание систем. Рассматривается одномерная линейная дискретная стационарная система, описываемая разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,k  0, 1, 2 ,  ,с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные постоянные коэффициенты; g (k ) – входной сигнал.Передаточной функцией W (z ) линейной стационарной дискретной системы называется функцияW z  bm z m    b0a n z n    a0.Передаточная функция является функцией комплексного переменного z .При решении задач анализа дискретных систем предполагается, что сигналы принадлежат пространству оригиналов. Для нахождения их изображений и решения обратной задачи используется табл.6.1.2.

Связь вход-выходПредположим, что входной сигнал g (k ), k  0,1,... и выходной сигналx (k ), k  0,1,... принадлежат пространству оригиналов: G(z)  Z[g(k)], X (z )  Z [x(k )] .Для решения поставленной задачи применим Z -преобразование к левой и правойчастям разностного уравнения с учетом формулы опережения:Z  x k  n    z n X z   z n x 0    z x n 1 ,Z  g k  m    z mG z   z m g 0     z g m  1 .Применяя свойство линейности, получаем7a znn   a0 X z   x 0 an z n  an 1 z z 1   a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z  bm z m    b0 G z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .ОбозначимD z   an z n    a0 ;M z   bm z m    b0 ;DH z   x 0 an z n  an 1 z n 1    a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z ;D g z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .Из равенства D (z )X (z )  M (z )G (z )  DH (z )  D g (z ) находим изображение выходного сигнала:D g z D z  W z   G z  ,X z   HD z D z где функция W z  M (z ) bm z m    b0является передаточной функцией.D (z )a n z n    a0Искомый выходной сигнал x (k ) определяется с помощью обратного Z преобразования.З а м е ч а н и е.

Первое слагаемое описывает свободное движение (при ненулевыхначальных условиях и нулевом входном сигнале), а второе и третье – вынужденное (поддействием входного сигнала при нулевых начальных условиях). Если начальные условиянулевые, выходной сигнал определяется вынужденным движением. При m  0 функцияDg (z)  0 .6.1.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) входной сигнал g (k ), k  0,1,... ;б) одномерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  , k  0,1,2,  ,8где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные коэффициенты; n  m ;в) начальные условия:x 0   x 0 , x 1  x1 ,  , x n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  .x 0 , x1 ,  , x n  1g (k )an x k  n     a0 x k   bm g k  m     b0 g k x (k )Рис.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти изображение входного сигнала:G (z )  Z [ g (k )] .2. Определить передаточную функциюW z  bm z m    b0a n z n    a0и функцииD z   an z n    a0 ;DH z   x 0 an z n  an 1 z n 1    a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z ;D g z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .3. Найти изображение выходного сигнала:X z  D g z D H z . W z   G z  D z D z  X c (z )X вын ( z )4. Найти выходной сигнал, используя обратное Z -преобразование:x (k )  Z 1[ X (z )]  x c (k )  x вын (k ) .96.2.