Лекция по теплопередаче №6 (Полный курс лекций по теплопередаче)

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ (Лекция 3)4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫДля того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процессохлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного иизотропного тела, начальное распределение температур в котором (при τ = 0) задано известнойфункцией координат f ( x, y , z,0) = T0 .

В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности,считать температуру окружающей среды Tf = const.Решение (4.20) представлено в виде бесконечного ряда∞Θ = ∑ Anϕ n ( x, y, z, Bi ) exp( −mn Fo) ,(4.39)Θ = A1ϕ 1 exp( −m1 Fo) + A2ϕ 2 exp( −m2 Fo) + A3ϕ 3 exp( − m3 Fo) + ... ,(4.40)n =1илиРассматривая поведение ряда (4.40) с ростом времени τ (т.е.

критерия Фурье), убедимся, чтовсе члены рядв убывают по времени, хотя и с неодинаковой скоростью. Причем, посколькуm1 < m2 < m3 < ... < mn < ... , члены высших порядковых номеров убывают быстрее и уже оченьскоро становятся пренебрежимо малыми. Поэтому температура какой-либо произвольной точкитела задолго до достижения ею температуры окружающей среды (в нашем случае Tf) будет определяться, по существу, первым членом ряда (4.40), т. е. следовать простому экспоненциальномузаконуΘ ≈ A1ϕ 1 exp( −m1 Fo ) .(4.41)Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этомупростому закону, называют началом регулярного, т.

е. упорядоченного режима. Функцияϕ1 ( x, y , z, Bi ) по определению не зависит от начальных условий, а A1 хотя и определяется изначальных условий, не зависит ни от координаты точки, ни от времени τ. Поэтому принаступлении регулярного режима можно считать, что начальное тепловое состояние тела большене оказывает влияния на закон изменения температур по времени во всех его точках.Подставив значение безразмерной избыточной температурыпрологарифмировав это выражение, получим:ln(T − T f ) = ln[(T0 − T f ) A1ϕ 1 ( x, y, z, Bi )] −Θи Fo в (4.41) иmam1aτ = F1 ( x, y, z, Bi ) − 12 τ ,2LL(4.42)Дифференцируем (4.42) по времени и получаем:∂ ln(T − T f )∂τгде m == −m ,(4.43)m1aназывается темпом охлаждения (нагрева).

Из (4.43) следует важный вывод, чтоL2зависимость логарифма избыточной времени в области регулярного режима для всех точек телаприобретает линейный характер, причем ее угол наклона одинаков для всех точек и равен− arctg (m) (рис. 4.10).Рис.4.10. Изменение по времени логарифмаизбыточной температуры для точекпроизвольного тела.Существенно, что поле температур в теле в процессе регулярного охлаждения остаетсяподобным самому себе, поскольку отношение избыточных температур любых точек теластановится постоянным и не зависящим от времени, а определяется лишь координатами этихточек. В этом легко убедиться, поделив полученное из равенства (4.41) значение Θ в точке( x 1 , y 1 , z 1 ) на значение Θ в точке ( x 2 , y 2 , z 2 ) :T1 − T fT2 − T f=ϕ 1 ( x1 , y1 , z1 ).ϕ 1 ( x2 , y 2 , z 2 )(4.44)Темп охлаждения m зависит от формы, размеров и материала тела, а также от граничныхусловий задачи.

Значение m можно определить, замеряя в эксперименте изменение температурыкакой-либо точки охлаждаемого тела по времени. Для этого, построив графикзависимости ln(T − T f ) , следует взять на прямолинейном его участке (область регулярногорежима) две точки и тогдаm=ln[T (τ 1 ) − T f ] − ln[T (τ 2 ) − T f ]τ1 − τ 2.(4.45)Наглядную интерпретацию становления регулярного режима охлаждения можно дать,рассмотрев распределение температуры по толщине плоской стенки, помещенной в среду спостоянной температурой (рис.

4.11). Если вначале ( τ = 0) распределение температуры имело вид,изображенный кривой А'А, то в ближайшие за начальным моменты времени τ 1 и τ 2 изменениятемпературы отдельных точек по времени во многом еще определяются не внешними условиями, асамим начальным распределением.

Так, в некоторых сечениях (близких к x1 ) температура сначаланачинает даже возрастать. Но постепенно влияние начальных условий ослабевает, и, начиная сτ ≈ τ 4 , температура всех точек тела начинает падать по одинаковому экспоненциальному закону,т.е. наступает регулярный режим.Рис. 4.11. Распределение температуры по толщине плоской стенки(граничные условия 3-го рода) для различных моментов времени припроизвольном начальном распределении А'АВыше было дано представление о регулярном режиме охлаждения (нагрева) тела в среде спостоянной температуройПонятие регулярности режима может быть обобщено и на случай изменения T f во времени потаким простейшим законам, как линейный и гармонический.

(При рассмотрении регулярных режимовздесь не делается различия между задачами с граничными условиями 1-го и 3-го рода, поскольку ранеебыло показано, что при λ / α → 0 обе задачи эквивалентны ( T f = Tw ), а значит и все выводы,полученные из рассмотрения задачи с граничными условиями 3-го рода, легко обобщаются на случайграничных условий 1-го рода.)В соответствии с названными выше тремя типичными законами изменения T f во времениразличают регулярные режимы трех родов.

Рассмотренный в начале этого раздела T f = constназывается регулярным режимом 1-го рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, чтоизменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:T − T f = C1ϑ1e − mτ ; C1 = const ;ϑ1 = ϑ1 ( x, y , z ) .(4.46)Регулярный режим 2-го рода∂T f∂τ= const = bнаступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всехточек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:∂T∂τ=∂T f∂τ=b,(4.47)т.е.

T = T f + M ( x, y , z )Для регулярного режима 3-го рода, когдаT f = T f 0 + A cos(ωτ ) ,характерно, что температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем жепериодом, что и температура окружающей среды, т. е. с периодом, одинаковым для всех точек тела:T f = P sin(ωτ ) + Q cos(ωτ ) = T0′ + A′ cos(ωτ − ϕ ) ,(4.48)где P, Q, T0′, A′, ϕ - функции координат. (Очевидно, эти колебания происходят с иной амплитудой, атакже могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)4.6.1. Регулярный режим 1-го родаОстановимся подробно на регулярном режиме 1-го рода. В некоторых случаях регулярный режимможет наступать сразу после начала процесса охлаждения или нагрева тела.Пусть тело произвольной формы, с объемом V и поверхностью F обладает высокойтеплопроводностью к, а коэффициент теплоотдачи у поверхности α мал.

Это означает, что критерийBi = αL / λ << 1 ,и можно считать, что температура внутри тела очень быстро выравнивается и в каждый данный моментвремени близка к постоянной, равной температуре его поверхности Tw . Тогда уравнение тепловогобаланса, приравнивающее количество тепла, поступившее через поверхность тела, к изменению егоэнтальпии, запишем в видеα (T f − T ) F = ρcVdT.dτ(4.49)В этом уравнении T - температура тела – не зависит от координат ( x, y , z ) в силупредположения, что Bi << 1 .Считая теплофизические характеристики системы постоянными и вводя новую переменнуюθ = T f − T , легко проинтегрировать это выражение:d ln θαF=−= −m ,dτρcV(4.50)θ = θ 0 exp( −mτ ) ,(4.51)илигде θ 0 = T f − T0 , m = constТаким образом, при Bi << 1 регулярный режим устанавливается сразу после начала процесса.Уравнение, аналогичное уравнению (4.51), можно составить и для случая, когда Bi произвольно, т.

е.температура в различных точках тела в данный момент времени различна. Только при этом пришлось бывоспользоваться понятиями средней по объему избыточной температурыθV =1V∫∫∫ θ ⋅ dVVи средней по поверхности температурыθw =1F∫∫ θ ⋅ dF ,Fгде θ = T f − T ( x, y , z ) - местная избыточная температура в данный момент времени.В этом произвольном случае темп охлаждения m отличался бы от выражения (4.50) при Bi << 1на коэффициентV ∫∫ θ ⋅ dFθwF,ψ ==(4.52)θVF ∫∫∫ θ ⋅ dVVпредставляющий собой отношение средней поверхностной температуры к средней по объему.Очевидно, что при Bi << 1 , когда T ( x, y , z ) = Tw :ψ =1В другом предельном случае, когда Bi → ∞ , соответствует ψ = 0 , т.е.

максимальнойнеравномерности температурного поля внутри тела.Уравнения (4.49) – (4.51) имеют в общем случае вид:αθ w F = − ρcVdθVdθVили с учетом (4.52) αψθV F = − ρcVdτdτили с учетом (4.52)αψθV F = − ρcVdθVdτd ln θVαF= −ψ= −m ,dτρcV(4.53)(4.54)(4.55)илиθV = θ 0 exp( −mτ ) ,(4.55)Итак, при произвольном Bi темп охлажденияm =ψαFρcV(4.56)4.6.2.

Регулярный режим 1-го рода при Bi → 0 и его использование для экспериментальногоопределения коэффициента теплоотдачиИсходя из вышесказанного, укажем на некоторые практические приложения теории регулярногорежима 1-го рода.В теплофизическом эксперименте часто необходимо экспериментально найти коэффициенттеплоотдачи α на каком-то участке поверхности. В этом случае удобно воспользоваться темобстоятельством, что при Bi → 0 коэффициент ψ → 1 , и следовательно, из формулы (4.56) следует:α =mρcVF(4.57)Заделав в интересующей части поверхности тела датчик в виде тонкой пластины изтеплопроводного материала (медь, серебро) и подсоединив в нему термопару, связанную срегистрирующим устройством (например осциллографом), можно получить зависимость температурыдатчика от времени, после того как тело, на поверхности которого установлен датчик, поместили в потокили среду с постоянной температурой T f .Вследствие малости Bi = αδ / λ (толщина датчика δ мала, а коэффициент λ велик)температуру в данный момент времени можно считать одинаковой по всему датчику и равнойизмеренной с помощью термопары.Перестраиваяполученнуюзависимостьвполулогарифмическихкоординатах[ ln(T f − T ) = f (τ ) ], определим m на участке регулярного режима по формуле (4.45) (см.