Лекция по теплопередаче №5 (Полный курс лекций по теплопередаче), страница 2

Пусть в какой-то момент времени в трех соседних точкахтемпературы равны Tkn−1 = 200 K ; Tkn = 100 K ; Tkn+1 = 200 K . Пусть интервал времени Δτ таков,что критерий Fo = 1. Определим Tkn +1 по формуле (4.34); Tkn +1 = ( 200 + 200) = 300 K .В первый момент времени температура k-ой точки меньше, чем в двух соседних точках, и теплоподводится к ней от этих точек. Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени температура k-ой точки превысила 200 К, противоречит второму закону термодинамики. Анализпоказывает, что нарушение законов термодинамики не будет происходить только при выполненииусловияFo ≤1,2(4.36)т. е., когда коэффициент при Tkn в формуле (4.34) не является отрицательным.6Условие (4.36) называется критерием устойчивости уравнения (4.34).

Если оно не выполняется,решение становится неустойчивым.Критерий устойчивости для слоя, прилежащего к границе, имеет вид(4.37)1 − 2 Fo − 2 Fo ⋅ Bi ≥ 0 .Для получения устойчивого решения необходимо и достаточно выполнение обоих условий:(4.36) и (4.37). Например, если положить Fo = 1/4, то из (4.37) получим условие Bi < 1. Это значит,что, если значение коэффициента теплоотдачи α достаточно велико, необходимо уменьшить шагΔx , что, в свою очередь, повлечет уменьшение шага Δτ согласно (4.36). Ограничения типа (4.36),(4.37) являются существенным недостатком явных методов.4.5.2.

Неявный методКак уже говорилось, основной недостаток явных методов связан ограничениями на шаг повремени согласно критериям устойчивости (4.36), (4.37). Часто для удовлетворения этих критериевприходится выбирать очень малый шаг Δτ , что приводит к возрастанию времени расчетов.Избежать ограничений на шаг по времени, связанных с удовлетворением критериев устойчивости,позволяет переход к неявным методам.Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки тепла через температуры на (п+1)ом шаге по времени (а не на п-ом, как это было сделано в предыдущем разделе), то получитсяследующий конечно-разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводностиλFTkn−+11 − Tkn +1T n +1 − Tkn +1T n +1 − Tkn,+ λF k +1= ρFΔxc kΔxΔxΔτоткуда получаем систему уравнений для определения температур на (п + 1)-м шаге по времениTkn +1 (1 + 2 Fo) − FoTkn++11 − FoTkn−+11 − Tkn = 0 ,(4.38)В отличие от явного метода, при использовании которого температура 7^ выражается явно черезостальные члены уравнения (4.35), в данном случае необходимо решать одновременно системууравнений (4.38) для всех узлов.

Такой метод называется неявным. Он является устойчивым прилюбом значении Δτ , и в этом его основное преимущество по сравнению с явным методом. Егонедостаток — это необходимость решать систему алгебраических уравнений (4.38).Аналогично выводится уравнение для граничных узлов:[1 + 2 Fo(1 + Bi )]T1n +1 − 2 Fo(T2n +1 + BiT fn +1 ) − T1n = 0 ,(4.38)Таким образом, получена система из (N — 2)-ых уравнений для внутренних узлов и двух — дляграничных.

Она содержит N неизвестных и таким образом является замкнутой.7.