Лекция по теплопередаче №5 (Полный курс лекций по теплопередаче)

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ (Лекция 2)4.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ (МЕТОД ФУРЬЕ)Классическим методом решения уравнения (4.10) является метод разделения переменных (методФурье). Идея метода состоит в предположении, что решение можно представить в виде произведениядвух функций, одна из которых является функцией безразмерных координат, а другая — функциейтолько критерия Fo.

Таким образом, находятся частные решения уравнения Θ n , удовлетворяющиеграничным условиям, но не удовлетворяющие начальным. Затем, пользуясь линейностью уравнения,находят решение как линейную суперпозицию этих частных решений∞Θ = ∑ An Θnn =1,причем такую, которая удовлетворяет уже начальным условиям путем соответствующеговыбора коэффициентов An .Итак, представляем Θ в виде:Θ( x, y, z, Bi, Fo) = ϕ ( x, y, z, Bi ) ⋅ψ ( Fo) .(4.14)Подстановка (4.14) в уравнение (4.10) дает:ϕ22∂ψdψ= ψ ∇ ϕ или ϕ=ψ ∇ ϕ ,∂FodFoоткуда1 dψ1 2= ∇ϕ,ψ dFo ϕ(4.15)(4.16)Здесь слева функции только времени, а справа — только координат. Равенство (4.16) возможнылишь в том случае, если как левые, так и правые его части — одинаковые постоянные величины, независящие ни от времени, ни от координат.

Обозначим эту константу через - «т» (знак минус принятдля удобства последующих преобразований, что отнюдь не налагает каких-либо ограничений назнак самой константы т).Тогда исходная задача сводится к следующим двум:1 dψ= −m ,ψ dFo1ϕ2∇ ϕ = −m ; ϕ w = −1 ∂ϕ( )wBi ∂ nРешение обыкновенного дифференциального уравнения (4.17) имеет видψ = A exp( −mFo) ,(4.17)(4.18)(4.19)где А — произвольная константа.Из полученного вида решения видна непригодность значений т < 0 в рассматриваемой задаче,так как при т < 0 функция оказывается монотонно растущей функцией времени, что противоречитфизическому смыслу задачи, согласно которому тело стремится к тепловому равновесию, т. е.limψ = 0 .Fo→ ∞1Решение второго уравнения (4.18) зависит от геометрии тела.

При этом оказывается, что не всеположительные значения m позволяют удовлетворить граничным условиям так, чтобы решение небыло тривиальным: ϕ ≡ 0 .Дискретные значения постоянной т, при которых задача (4.18) имеет ненулевые решения,удовлетворяющие граничным условиям, называются собственными значениями задачи (4.18) иобозначаются m1 , m2 , m3 ,..., mn ,...

(причем m1 < m2 < m3 < ... < mn < ... ). Соответствующиерешения уравнения называются собственными функциями задачи (4.18) и обозначаютсяϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 ,..., ϕ n ,...Общее решение ур-авнения (4.10), таким образом, имеет вид∞Θ = ∑ Anϕ n exp( − mn Fo) ,(4.20)n =1Как уже говорилось, коэффициенты Ап выбираются из условия удовлетворения решенияначальным условиям, т. е. при Fo =01=∞∑n =1Anϕ n ( x , y , z , Bi ) ,(4.21)Для нахождения коэффициентов An единица раскладывается в ряд по собственным функциямϕn .Рис.

4.5. Схема к задаче об охлаждении плоской стенки (граничные условия 3-го рода)Рассмотрим конкретный пример определения собственных значений и собственных функцийзадачи в простом случае пространственно одномерной задачи об изменении температур в плоскойбесконечной стенке толщиной 2δ (рис. 4.5). В качестве характерного размера L возьмем δ. В этомслучае задача (4.18) будет иметь вид1 d 2ϕϕ d x2= −m ;1 ∂ϕ (1);Bi ∂ x1 ∂ϕ ( −1)ϕ ( −1) = −;Bi ∂ xϕ (1) = −(4.22)(4.23)(4.24)Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что распределение φ в стенке будетсимметричным относительно плоскости x = 0 .

Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться2∂ϕ (0)= 0.∂x(4.25)Это условие позволяет освободиться от 2-го граничного условия (4.24) при x = −1 и свести кзадаче о пластине толщиной δ, теплоизолированной от поверхности x = 0 .Частное решение исходного уравнения (4.22), удовлетворяющее граничному условию (4.25),имеет вид(4.26)ϕ = D cos( m ⋅ x ) .Граничному условию при x = 1 это частное решение удовлетворяет,если(4.27)BiDn cos m − Dn m sin m = 0 .Это уравнение получается подстановкой равенства (4.26) в условие (4.23).

Отсюда получаем:ctg m = m / Bi .Это характеристическое уравнение позволяет найти собственные значения m, а следовательно,и собственные функции рассматриваемой задачи.m через μ, получаемctgμ = μ / Bi .Обозначая(4.28)На рис. 4.6 показан графический метод отыскания корней характеристического уравнения каккоординат точек пересечения котангенсоид y1 = ctgμ с прямой y 2 = μ / Bi . Очевидно, что числокорнейбесконечно,причемкаждыйпоследующийкореньбольшепредыдущего:μ1 < μ 2 < μ 3 < ... < μ n < ... . Этот набор корней зависит от Bi.

Таким образом, решение задачи(4.18) в данном случае имеет вид:ϕ n ( x, Bi ) = D cos( μ n x ) ,(4.29)илиϕ n ( x , Bi ) = D cos(mn ⋅ x) ,(4.30)а общее решение (4.20) дифференциального уравнения теплопроводности∞Θ( x, Bi, Fo) = ∑ An cos( mn ⋅ x ) exp(−mn Fo) ,(4.31)n =1Условие (4.21) для нахождения коэффициентов An примет вид∞1 = ∑ An cos( mn ⋅ x ) ,n =1откуда An =2 sin( mn )mn + sin( mn ) ⋅ cos( mn )∞Θ( x, Bi, Fo) = ∑n =1, т.е.2 sin( mn )mn + sin( mn ) ⋅ cos( mn )cos( mn ⋅ x ) exp( − mn Fo) ,(4.32)34.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙТЕПЛОПРОВОДНОСТИУпоминавшиеся выше решения простейших задач, которые удается затабулировать или свести красчетным номограммам, получены при неизменной по времени температуре окружающей среды Tf(или температуре стенки Tw или теплового потока qw), а также при одинаковой по всему объемутела начальной температуре в момент τ = 0.В виде рядов выписывается решение в случае произвольно заданного распределения температурпри τ = 0 для тел простейшей формы и одномерных задач.

Однако и в этом случае вычислениекоэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим, наряду с аналитическимиразвивались и численные методы решения нестационарных задач теплопроводности, причем споявлением мощных компьютеров эти методы приобрели решающую роль в проведении точныхинженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий, камер сгорания и сопел ЖРД,тепловые режимы ИСЭ).

Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментомрешения нелинейных задач (когда теплофизические свойства непостоянны) и задачтеплопроводности тел сложной формы .4.5.1. Явный методИдею одного из простейших численных методов продемонстрируем на примере одномернойзадачи прогрева (охлаждения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода.Разобьем стенку изотермическими поверхностями (в рассматриваемой задаче они параллельныповерхности стенки) на слои равной толщины Δx . В центре каждого слоя поместим узел.

Исключение составляют слои, непосредственно прилегающие к границам твердого тела: их толщинавдвое меньше и узлы расположены на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и соответствующие имслои и разделив интересующий нас период времени на малые интервалы Δτ 1 , Δτ 2 , Δτ 3 ,..., Δτ n и т. д.,температуру k-го узла в n-й момент времени будем считать равной Tkn . Считаем, что температурамежду узлами в каждый момент времени изменяется по линейному закону (рис. 4.8).Запишем баланс тепла для k-го слоя (см.

рис. 4.8). Очевидно, что тепловые потоки, втекающиечерез левую Q Л и правую Q П границы слоя, изменяют энтальпию I рассматриваемого слоя, т. е.QЛ + QП =∂I.∂τТепловые потоки выражаются через закон Фурье: Q Л = − λF(4.33)∂T∂T, Q П = λF, где F∂x∂xплощадь поверхности слоя.Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на границе слоя) температураменяется по линейному закону, тоTkn+1 − TknTkn − Tkn−1Tkn−1 − Tkn; Q П = λFQ Л = − λF= λFΔxΔxΔx4Рис.

4.7. Схема решения задач нестационарнойтеплопроводности методом конечныхразностейРис. 4.8. Внутренний узелЭнтальпия выражается соотношением I = ρFΔxcT , где с – теплоемкость материала, ρ –плотность. Ее изменение за интервал времени Δτ в предположении, что плотность и теплоемкостьпостоянны, можно аппроксимировать выражениемTkn +1 − Tkn∂I.≈ ρFΔxc∂τΔτПодставляя соотношения для Q Л , Q П ,λF∂Iв уравнение (4.33), получим∂τTkn−1 − TknT n − TknT n +1 − Tkn.+ λF k +1= ρFΔxc kΔxΔxΔτРешая это уравнение относительно Tkn +1 , получимTkn +1 = Fo(Tkn+1 + Tkn−1 ) + (1 − 2 Fo)Tkn ,где критерий Фурье определяется соотношением Fo =(4.34)λaΔτ, a=.2( Δx )cρУравнение (4.34) позволяет в явной форме определить значения температур во всех внутреннихузлах в (n + 1)-й момент времени, если известны значения температур в n-й момент, поэтому такойспособ численного решения называется явным.Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис.

4.9).5Рис. 4.8. Граничный узелОтличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла через левую границу слояопределяется по формуле НьютонаQ Л = αF (T fn − T1n ) , энтальпия равна I =T n +1 − Tkn1∂I 1≈ ρFΔxc kρFΔxcT , т.е.∂τ 2Δτ2Записав балансное уравнение (4.33), получимT2n − T1nT1n +1 − T1nαF (T − T ) + λF,= ρFΔxcΔxΔτnfn1откудаT1n +1 = 2 Fo(T2n + BiT fn ) + (1 − 2 Fo − 2 Fo ⋅ Bi )T1n ,где Bi =(4.35)αΔx.λЧтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необходимо знать начальноераспределение температуры в каждой точке тела Tk0 .

С помощью соотношений (4.34) и (4.35)определяется распределение температуры в следующий момент времени Δτ - Tk1 . Дальше процессповторяется до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знатьраспределение температуры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи.Остановимся на выборе шагов интегрирования Δτ и Δx . Этот выбор не являетсяпроизвольным. Покажем, что при некоторых соотношениях шагов можно получить результаты,противоречащие законам термодинамики.