Лекция по теплопередаче №4 (Полный курс лекций по теплопередаче)

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯРанее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена, т. е. такие,в которых температурное поле по времени не изменяется и в дифференциальномуравнении теплопроводности Фурье — Кирхгофа производная ∂ T / ∂ τ = 0 .Однако целый ряд важных практических задач теплообмена не может бытьрассмотрен в рамках предположения о неизменности параметров процесса повремени.

К ним относятся задачи о прогреве теплозащитных оболочек и конструктивных элементов скоростных летательных аппаратов, о нагреве стеноксопел реактивных двигателей твердого топлива, о расчете поля температур в энергетических ядерных реакторах при изменении режима работы, о тепловом режимеискусственного спутника Земли (ИСЗ). В этой главе будут рассмотрены нестационарные процессы теплопроводности в неподвижных средах (твердых телах) иданы аналитические и численные методы решения дифференциального уравнения Фурье — Кирхгофа для нестационарного случая с различными краевымиусловиями.Нестационарные тепловые процессы сопровождаются не толькоизменением температурного поля по времени, но почти всегда связаны сизменением энтальпии тела, т. е. с его нагревом и охлаждением.Практические задачи нестационарного теплообмена можно разделить надве основные группы.

К первой относятся процессы, происходящие припереходе тепла из некоторого начального теплового состояния в иноестационарное, обычно равновесное тепловое состояние. Примерами могутслужить изменение температурного поля в теле, помещенном в среду,температура которой отличается от начальной температуры тела, иливыравнивание температур в теле с заданным начальным распределениемтемператур.

Ко второй группе можно отнести процессы, происходящие в телах,испытывающих тепловое воздействие извне, изменяющиеся во времени понекоторому закону. Здесь можно назвать процессы периодического изменениятемпературы при движении ИСЗ по орбите, часть которой пролегает в тениЗемли, суточные и годовые колебания температуры в верхних слоях земнойкоры, тепловые режимы аппаратов, находящихся на поверхности Луны,процессы в регенеративных теплообменниках и др.В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделитьтри этапа, характеризующиеся различными режимами, из которых собственно нестационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в телеопределяется не только изменившимся тепловым воздействием, например изменением температуры окружающей среды, но и начальным распределением температур в теле T0 ( x , y , z ) при τ = 0. Поскольку начальное температурное поле вобщем случае может быть весьма произвольным, то и тепловой режим на этомпервом этапе носит характер неупорядоченного процесса.На втором этапе влияние начального состояния все более и болееослабевает, и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями награнице тела, т.

е. наступает режим упорядоченного процесса, в частности,регулярный режим.Для большинства процессов первой группы характерен еще и третийэтап, в котором температура тела во всех точках одинакова и равна температуреокружающей среды.Это состояние называют состоянием тепловогоравновесия.Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступаетлишь по прошествии бесконечно большого промежутка времени. Однако напрактике тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого ксостоянию теплового равновесия, поэтому и интересующие нас длительностинестационарных режимов отнюдь не бесконечны.4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙТЕПЛОПРОВОДНОСТИВыведенное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье—Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и отсутствия внутреннихисточников тепла имеет вид∂T= a∇ 2T∂τ(4.1)где a = λ /(cρ ) и ∇ 2 — оператор Лапласа, записанный в прямоугольной,цилиндрической, сферической или иной системах координат.

Это уравнениеустанавливает зависимость между температурой, временем и координатами телав элементарном объеме, т. е. связывает временные и пространственныеизменения температуры тела.Если заданы форма и размеры тела, а также его физические свойства( λ , c, ρ ,... ), т. е.

геометрические и физические условия однозначности, то длярешения уравнения (4.1) необходимо задать еще начальные и граничные, иликраевые условия.Поскольку температура тела в общем случае является функциейкоординат и времени f ( x, y , z ,τ ) , то начальные условия, т. е. распределениетемператур в теле в начальный момент, задаются в виде f ( x, y , z,0) = f 0 ( x, y , z ) ,где f 0 — известная функция, которая необязательно должна быть заданааналитически, а может быть представлена численно или графически.В ряде практических задач начальное условие имеет более простой вид:f ( x, y , z,0) = T0 = const .Для однородных тел граничные условия могут быть заданы трех видов:температура любой точки поверхности тела в любой момент времени; тепловойпоток у поверхности, либо температура среды, омывающей тело; условиятеплообмена тела с окружающей средой. В отличие от стационарных задач всевеличины, входящие в граничные условия, могут изменяться во времени позаданному закону.4.3.

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ КДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮТЕПЛОПРОВОДНОСТИПредположим, что температура среды T f , омывающей рассматриваемоетело, величина постоянная. Считаем также, что начальная температура телаодинакова и не зависит от координат, т.е. T ( x, y , z,0) = T0 = constВведем новую переменнуюϑ = T − Tf .Тогдадифференциальное(4.2)уравнениетеплопроводностизапишетсяв виде∂ϑ= a∇ 2ϑ∂τ(4.3)Начальные условия: при τ =0 ϑ = ϑ0 ( x, y , z ) , в нашем случае: ϑ0 = constИспользуем граничные условия 3-го рода:qw = α (Tw − T f ) = αϑw ,(4.4)где α – коэффициент теплоотдачи от тела к омывающей среде, Tw - температурастенки тела .С другой стороны, плотность теплового потока у стенки тела равна:⎛ ∂ϑ ⎞⎛ ∂T ⎞qw = − λ ⎜⎟ = −λ ⎜⎟ ,⎝ ∂n ⎠ w⎝ ∂n ⎠ wгдеλ- коэффициент теплопроводности тела,(4.5)⎛ ∂T ⎞⎜⎟ - производная⎝ ∂n ⎠ wтемпературы в теле по нормали к поверхности.Из (4.4) и (4.5) следует:ϑw = −λ ⎛ ∂ϑ ⎞⎜⎟ ,α ⎝ ∂n ⎠ w(4.6)Таким образом, решение уравнения (4.3) зависит от:1) формы тела;2) характерного размера тела L;3) теплофизических свойств тела - a = λ /(cρ ) ;4) начального условия ϑ0 ;5) условий теплообмена с окружающей средой, т.е.

коэффициентатеплоотдачи αДля тел одинаковой формы имеем:ϑ = ϑ ( x, y , z, τ , L, a, ϑ0 , α ) ,(4.7)Совершенно очевидно, что получить универсальную форму решения дляфункции, зависящей от столь большего количества параметров, невозможно.Попробуем, используя теориюфакторов, влияющих на решение.подобия,уменьшитьколичествоИспользуем в качестве масштаба температур ϑ0 , а в качестве масштабадлины - характерный размер тела L. Тогда:Θ = ϑ / ϑ0 - безразмерная избыточная температура,x = x / L, y = y / L, z = z / L - безразмерные линейные координаты.При использовании новых переменных уравнение получаем:∂ϑ∂Θ= ϑ0,∂τ∂τ∇ 2ϑ =ϑ0∇ 2 Θ , где ∇ 2 - оператор Лапласа,L2записанный в системе безразмерных координат ( x, y, z ).Тогда уравнение (4.3) примет вид:∂Θ a 2= ∇Θ∂τ l 2или∂Θ= ∇2Θ2∂( aτ / L )Условия однозначности уравнения (4.8) имеют вид:при τ = 0, Θ = 1 ;на границе тела из (4.6) получаем:αL⎛ ∂Θ ⎞Θ ,⎜⎟ =−λ w⎝ ∂n ⎠ w(4.8)(4.9)В уравнение (4.8) и в граничное условие (4.9) входят некиебезрпазмерные комплексы - определяющие критерии подобия aτ / L2 и αL / λ .Безразмерный комплекс aτ / L2называется критерием тепловой2гомохронности Фурье Fo = aτ / L (см.

гл. 3), который характеризуетсоотношение между временем протекания процесса и временемраспространения температурной волны. Безразмерный комплекс αL / λобозначается через Bi = αL / λ и так же, как и Fo, является критерием подобияпроцессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничныхусловий 3-го рода.

По своему физическому смыслу он характеризует отношениетермического сопротивления теплопроводности стенки L / λ к термическомусопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой1/α .Критерии Fo и Bi называются определяющими критериями, состоящимииз независимых переменных и условий однозначности, а функция Θ определяемой.В новых переменных уравнение Фурье — Кирхгофа имеет вид∂Θ= ∇2Θ ,∂FoА граничные условия 3-го рода(4.10)⎛ ∂Θ ⎞⎟ = − BiΘ w ,⎜⎝ ∂n ⎠ w(4.11)А решением уравнения является функцияΘ = Θ( x, y , z, Fo, Bi ) ,(4.12)Формула (4.12) означает, что безразмерные температуры двух телодинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени τ = 0, всходственных точках пространства и времени будут одинаковы, еслиодинаковы критерии Bi.

Например, на поверхности плоской пластинытолщиной 2δ (характерный размер L = δ) получаем:Θw = Θ( Fo, Bi ) ,(4.13)Зависимость (4.12) можно получить аналитически и с помощьючисленных методов: они представляются в виде таблиц или номограмм. На рис.4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева иохлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой.Рис.4.1а. Безразмерная избыточная температура Ө в середине плоскойпластины.Рис.4.1б. Безразмерная избыточная температура Ө на поверхностиплоской пластины.Рассмотрим несколько примеров использования этих номограмм.Пример I.

Стальная плита толщиной 2δ = 0.2 м с начальной температурой T0 = 955K опущена в масляную ванну (температура масла принимаетсяпостоянной и равной T f = 355K ). Считая коэффициент теплоотдачипостоянным [ α = 180 Вт /( м 2 ⋅ K ) ], определить температуру в плоскостисимметрии и на поверхности плиты через 1 час 23 мин.Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостьютеплофизических свойств стали от температуры, примем в рассматриваемоминтервале температур λ ≈ 20 Вт /( м ⋅ K ) и a = 4 ⋅ 10 −6 м 2 / c .

Тогда значенияопределяющих критериев Fo и Bi будутaτ 4 ⋅ 10 −6 ⋅ 83 ⋅ 60Fo = 2 ==2,δ0.12Bi =αδ 180 ⋅ 0.1== 0.9λ20Пользуясь номограммами, приведенными на рис. 4.1а, 4.1б,находим, что безразмерная температура в плоскости симметрии равна:ΘЦ =TЦ − T f= 0.3 ,T0 − T fа на поверхности пластины:T − TfΘW = W= 0.2 ,T0 − T fОткуда:TЦ = 0.3 ⋅ (T0 − T f ) + T f = 0.3 ⋅ (955 − 355) + 355 = 535K ,TW = 0.2 ⋅ (T0 − T f ) + T f = 0.2 ⋅ (955 − 355) + 355 = 475KРис.4.2а. Безразмерная избыточная температура Ө на оси бесконечногоцилиндра.Рис.4.2а. Безразмерная избыточная температура Ө на поверхностибесконечного цилиндра.Интересно рассмотреть качественный характер и некоторые предельныеслучаи изменения безразмерной избыточной температуры по безразмерномувремени (Fo) при граничных условиях 3-го рода. Очевидно, что прификсированном числе Bi температура поверхности TW быстрее приближается ктемпературе окружающей среды T f , чем температура в точках, расположенныхглубоко внутри тела (сравните рисунки 4.1а и 4.1б).

Степень этого различия вскоростях зависит, однако, от Bi. Так, при Bi -> 0 температуры центра и наповерхности в течение всего процесса можно считать одинаковыми, так какприток тепла к телу вследствие конвекции мал (мало а), и температура внутритела успевает в каждый момент выровняться в силу большой еготеплопроводности (большое λ). В случае же Bi ->∞ отличие в температурахвнутренних точек тела и его поверхности будет максимальным, так как задача,как уже говорилось, стремится к задаче с граничными условиями 1-го рода,когда TW = T f в течение всего процесса.