Я.М. Котляр, Р.Я. Глаголева, Е.В. Иванова и др. Методические указания к практическим занятиям по ММФ

ЕКДВРАЛЬНОВ АГЕНТСТВО ПО ОЬРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (гоеударетвеииый техничеекий универеитет) Кафедра "Матеиатнчеекаи кибернетика" Я.М. Котляр, Р.Я, Глаголева, Б.В. Иванова, С.В. Миневич, Р,Н. Молодожникова, Л,Л.Чиров, Е.Н. Шварева, Л.В.Янин МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано в качестве учебного лособггя Редакиионним советом 1ракультета "Прикладная. математг1ка и фитка ' Московского авиаггионвого института МОСКВА ооой 1.

ПРИМЕРЫ ФИЗКБСНИХ ЗАДАЧ, ПРИВОЛЯЩИХ К УРАВНЕНИЯМ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОЛНЫМИ. ВЫВОЛ УРАВНЕНИИ. ПОСТАНОБ(А ЗАЛАЧ Приведем без вывода основные задачи математической физики, сводящиеся к простейшим (каноническим) уравнениям (задачи 1-Ш). 1. 3 ача о асп ос анении тепла. Пусть ы ( ~, у, х, ~ ) - температура изотропного в отношении теплояроводности тела сплошной среды в точке М (х, у, л ) в момент Ф (Ф 'у Х ) — коэффициент теплопроводности, )~ ( ~ ~ ж ) плотность вещества, ~ ( м, ~'„ х ) - теплоемкость, ~ (ю', ), х,, ~ )- плотность источников тепла. При неравномерном распределении температуры в теле или сплошной среде возникает процесс перераспределения (или распространения) тепла.

Задача о нахождении закона изменения температуры а(~, у, х;-1 ) в этом процессе ( задача о распространении тепла) при отсутствии конвенции приводит к уравнению су ~ = ~йз ( Фд'~.сЫ м) + Г (1. 1) Если тело однородно, то с= — ы~И, )9=- со~И, Ф "- аи.юг~ и уравнение (1.1) принимает вид м = и~ла +~, (1.2) где а~ = — — коэффициент температуропроводности, ~ = с в Ж Р ,) + ~~ ~ †, — оператор Лапласе.

При отсутствии источников э С~> тепла, т.е. при Р =- 0 (соответственно ~ ~= д ), говорят, что происходит свободный теплообмен. Уравнения (1.1) и (1.2) называются уравнениями теплопроводности. Зто линейные уравнения 2-го порядка с частными производными относительно м (х, $~, х, ~ ). В случае, когда Й = Ф ( х', у , ~, ~) зависит от м (например, при высоких температурах), уравнение (1.1) - квазилинейное. Начальная задача, или задача Наши для уравнения теплопроводности есть задача нахождения закона распространения тепла во всем пространстве при известном распределении температуры в начальный момент времени ~ = О, т.е. задача нахождения функции м(ж, у х, ~~, удовлетворяющей уравнению (1.1) (или (1.2)) для любой точки Л( (~;, у, х ) и любого,.' .= О, непрерывной при г.:. 0 и удавлетворяюшей пуи ~ = 0 условию и~, - ~(.~,у, х) Ц.З? Условие (1.3? называется начальным условием Каши.

Начально-краевая задача для уравнения теплоправоднасти состоит в нахождении закона уаспространения тепла в ограниченном теле .П при заданном начальном распределении температуры и известном температурном режиме на границе У . Перечислим типы краевых (гуаничных) условий в этой задаче.

1. В каждый момент 1 -.= 0 в каждой точке Ф (х, ь', х ) границы 5 поддерживается определенная температура а.,(х, у, х, Р): у~.=р (' е у х ~) (1.4) Условие (1.4) называется краевым условием 1-го рода. 2. В каждый момент ~ 0 в каждой точке М ( с, У, х ? границы 5' известна величина теплового потока У (х, у, х,~): — м, (х,у,х,~) (1. Ы 1а~, ~ где Ф, = — — , 4 — каэ44ициент теплапуоваднасти. Условие (1.Л называется краевым условием 2-го рода. 3.

На границе ." происходит теплоабмен с внешней средой по закону: для любога г -. 0 в каждой точке М ( я,", у,х )~ У величина теплового потока и:кпо циональна разности температур тела и внешней среды: — =- — и- ( и — и.„„,;„) — + ~;~.)~ =,л ( ~,у (1. В) где,,ш ь . '"к;."..'и нт . оплоатдачи ./"В ' ', ргквс то (или теплапеуедачи), а,. „,„) ° — известная функция. Условие (1.6) называется к аеьым условием 3-го рада. Задача нахождения решения -'~-( х', ~/, х, 1 ) уравнения (1.1) или (1.2) в области Ы = ~ ( ., у, х, 1 ))( х, 5/, х ) е З, Р- д ~ неп,еуывнога в ~Р = ((я, у', х Ц)(х, у, х)е 3ГУ 1~О) и удовлетворявшего начальному услс вию (1.3) и краевым условиям 1, 2 или З-га,ода, называются соответственно первой, второй или ту:тьей начальна-к аевой задачей для уравнения теплапуоводности.

'ели на одной части г)аницы „'~ задано адис к~зевсе услаьие, а еа д.,угой части - краевое условие другого рода, то задача назыьа тся смешанной начально-к,аевой задачей. П. 3 ача о ста ионааном -асп е елении темпеоат о. Лля стационарного процесса распространения тепла темпенатура и = ы(х, у, х) не зависит от времени 1 . В этом случае и -=д и уравнение (1.1) принимает вид Йгт( М~'~-шХи) + Е - О, а уравнение (1.2) можно записать так: а.~ля ~-~ = д или )я -Д ~Д = ). (1.7) При свободном теплообмене ( ~ж О ) имеем .~я = О.

(1.8) Уравнение (1.7) называется уравнением Пуассона, а (1.8) — уравне- нием Лапласа. В случае стационарных процессов распространения тепла в огра- ниченном теле .Р на границе о задаются краевые условия (1.4), (1.5) или (1.6), в которых функции ~м,, а, и я, не зависят от времени 1 . Нахождение решения краевой задачи для уравнения Лапласа или Пуассона в ограниченной области .Р с краевым условием 1-го роде на границе ~ называется внутренней задачей Дирихле, а с краевым условием 2-гб рода - внутренней задачей Неймана.

Пусть, Я - 0~ '1 Ю вЂ” дополнение в Ю~ к ограниченной замкнутой области 3 ЮР~ , т.е. внешность 3 . Нахождение реше- ния краевой задачи для уравнения Лапласа или Пуассона в области с краевым условием 1-го рода на границе Я называется внешней задачей Лирихле, а с краевым условием 2-го рода — внешней задачей Неймана. Ш. 3 ача о малых попе ечных колебаниях ст ы, Струной называется гибкая упругая нить. Условие гибкости означает, что струна не сопротивляется изгибу и потому в каждой точке сила натяжения направлена по касательной к струне. Условие упругости означает, что струна сопротивляется растяжению и сила натяжения може~ быть вычислена по закону Гука. Пусть отрезок струны длины 1 в момент прямолинейного положе- ния равновесия занимал положение отрезка ~ О, 1 ~ оси Ох В простейшем случае поперечных колебаний струны полагают, что сме- щение всех точек струны происходит в одной плоскости охи в пер- пендикулярном оси пх направлении.

Пусть Я-( ж, ~ ) - величина отклонения точки х от положения равновесия в мом:нт ~ . Малые поперечные колебания означая., что (1.1З) значения производных и столь малы, что их квадратами л~~ можно принебречь, т.е. ~+ й„. У . В случае в~вуиденных колебаний под действием внешних сил / ( м ~ ) задача нахождения ~ ( ~ ~ ) сводится к волновому урав нению и~~ = ~зм +,( (1.9) л Р где п = —; 7' = й~п~И' - сила натяжения; у~(~) - линейная плотность струны; У' В случае свободных колебаний, когда внешние силы отсутствуют, в уравнении И.9) ~ = б . В случае бесконечной струны рассматривают задачу Копи". найти решение ю (~,М') волнового уравнения Ц.9) в полуплоскости 3 ((х,Й1 яе(- „+ ),Р.

П), непрерывное при ~ ~ О и удовлет- воряющее начальным условиям: 1) в начальный момент 1 О известно положение струны, т.е. для любого х е ( — ю~, + сю) ~~ ~-и (1.10) 2) в каждой точке струйы в начальный момент / = 0 известна начальная скорость, т.е. ~~~,., = и ) . (1.

П) Яля определения малых поперечных колебаний ограниченной струны рассматривают начально-краевув задачу: найти решение а(м, М ) уравнения (1.9) в области Ю- ((м,~)! х е(О,М), ~ ~б~ непрерывное в .Р = ~( к,й~ ке ~б, (~ ~ир~, удовлетворявшее начальным условиям (1.10), (1.П) при любом х ~ (" П, () и краевым условиям на концах х= О и ~ - М, рассмотрим три типа краевых условий. 1.

Конец струны (например, х= О) закреплен жестко: =а (1.12) 2. Конец струны свободен (может скользить нз колечке без т„е- ния по прямой, параллельной оси оа смеяениф 3. Конец струны упруго закреплен так, что он испытьвеет со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и про- тивоположно направленное : ~ ь, -ф)~,,-,,Ф, (1.14) ,ы - — ' где 4 = — м'- - — ° ~ = -и (~) - заданный закон отклонения д конца х = П. Задача о малых поперечных колебаниях мембраны — задача нахождения отклонений и ( х, у, Р ) точек гибкой упругой пластинки от положения равновесия в плоскости Ю~у - приводит в случае действия вневыих сил к уравнению Я~~ Я ( М Ф И)~ )Ф~ в случае свободных колебаний )Гж П .

Начальные условия заданы в И.10) и (1.П)„где Ч= Ф(Ф У) и Ф~ У(Х,В,~. для мембраны с краем 3 краевые условия аналогичны условиям (1.12), (1.13), (1.14) и имеют соответственно вид и~, =а, ~И . ~Аы ~ '")~ а. Перейдем к рассмотрению других процессов и задач, приводящих как к каноническим, так и к более общим уравнениям с частными про- ' изводными 2-го порядка, а также к'уравнениям порядка выше второго.

1У. 3 ача о а ос анении тепла с том конвек Выведем уравнение„ описывающее закон изменения температуры вещества, перемеща3щегося в тонкой трубке с постоянной скоростьв Г. Пусть тонкая трубка с теплоизолированными стенками расположена вдоль оси пх, Г = 6 ~ ~ - сп~з~ — б, ~~х, ~) - температура вещества в точке х в момент Р..