Лекция по термодинамике №5 (Лекции по термодинамике)

5.1. Изохорный процессИзохорным процессом называется процесс сообщения или отнятия тепла отгаза при постоянном объеме (V=const).В координатной плоскости pυ графиком изохорного процесса будет вертикаль1-2 (рис. 5.1).Для того чтобы изохорный процесс был равновесным и термодинамическиобратимым, будем полагать, что источник тепла состоит из бесконечно большогочисла элементарных источников, при этом температура каждого из них отличаетсяот температуры газа в каждый данный момент процесса на величину dT.

Тогда вточке 1 температура источника будет T1+dT, а в точке 2 - T2+dT, и процесс будеттермодинамически обратимым на любой точке.Рис. 5.1Для изохорного процессаp1υ1 = RT1 ;p2υ1 = RT2 .Отсюда получаемp1 T1= .p2 T2Давлениегазавизохорномпроцессе(5.1)пропорциональноабсолютнойтемпературе. В изохорном процессе υ=const, dυ=0, значит,υ2l = ∫ pdυ = 0 , lυ = 0 .(5.2)υ1Уравнение первого закона термодинамики для изохорного процесса имеет видqυ = Δu = cυ (T2 − T1 ).(5.3)Отсюда видно, что все тепло, подводимое к газу в изохорном процессе, идетна увеличение его внутренней энергии.Коэффициент распределения тепла в изохорном процессеψ=Δu cυ ΔT== 1 , ψ = 1.q cυ ΔT(5.4)Теплоемкость в изохорном процессе с=сυ.Показатель политропы в изохорном процессе будет равенn=c − cpc − cυ=cυ − c p= ±∞ ; n = ±∞ .cυ − cυ(5.5)Уравнение политропы для случая υ=const.

Воспользуемся соотношениемnp1 ⎛ υ 2 ⎞=⎜ ⎟ ;p2 ⎜⎝ υ1 ⎟⎠1υ 2 ⎛ p1 ⎞ n= ⎜ ⎟ приυ1 ⎜⎝ p2 ⎟⎠1⎛ p1 ⎞ nn = ±∞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 .⎝ p2 ⎠Отсюдаυ2= 1; υ 2 = υ1 = const ; υ = const .υ1Уравнение(5.6)называетсяуравнениемизохорного(5.6)процессавpυ-координатах.Для вывода уравнения изохорного процесса в координатной плоскости Тsиспользуем соотношение :Δs = s 2 − s1 = cυ lnт.к. процесс изохорный υ=const, то lnυ2υT2+ R ln 2 ,T1υ1= 0 , следовательно,υ1s 2 − s1 = cυ lnT2.T1(5.7)Уравнение (5.7) называется уравнением изохоры в Ts- координатах (рис.

5.2).На рис. 5.3 представлена схема распределения энергии в изохорном процессе.Рис. 5.2Рис. 5.35.2. Изобарный процессИзобарным процессом называется процесс сообщения или отнятия тепла отгаза при постоянном давлении р=const.Для того чтобы в процессе расширения при р=const сохранить постояннымдавление, необходимо в этом процессе подводить некоторое количество тепла q.В координатной плоскости pυ графиком изобарного процесса будетгоризонталь 1-2 (рис.

5.4).Рис. 5.4Для изобарного процесса p1υ1 = RT1 ; p1υ 2 = RT2 , отсюдаυ1 T1= .υ 2 T2(5.8)В изобарном процессе объем газа прямо пропорционален абсолютнойтемпературе.Работа расширения в изобарном процессе будет равнаυ2l = ∫ pdυ , т.к. p=const, тоυ1υ2l = p ∫ dυ = p(υ 2 − υ1 ) .(5.9)υ1Так как υ =⎛ RT RT ⎞RT, то l = p1 ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ , поэтомуpp1 ⎠⎝ p1l = R(T2 − T1 ) .(5.10)Пусть в изобарном процессе расширения 1 кг газа температура изменится на1°, то l=R. Отсюда видно, что газовая постоянная есть работа, совершенная 1 кг газав процессе р=const при его нагревании на 1°.Уравнение первого закона термодинамики для изобарного процесса:q = Δu + l = cυ (T2 − T1 ) + R(T2 − T1 ) ; q = (cυ + R )(T2 − T1 ) ;q p = c p (T2 − T1 ) = c p ΔT .(5.11)Коэффициент распределения тепла в изобарном процессеψ=Δu cυ ΔT 11= ; ψ= .=q c p ΔT кк(5.12)Уравнение первого закона термодинамики через энтальпию :p2q = Δh − ∫υdp .p1Так как в этом процессе р=const, то dp=0.Значит,q p = Δh .(5.13)Δh = c p ΔT(5.14)dh = c p dT ;(5.15)h = c pT .(5.16)Следовательно,или Δh = h2 − h1 = c p (T2 − T1 ) .Для элементарного процессаТеплоемкость в изобарном процессе с=ср.

Показатель политропы в изобарномпроцессеn=c − cpc − cυ=cp − cpc p − cυ= 0 ; n=0.(5.17)Уравнение изобарного процесса в pυ- координатах можно получить изуравнения политропного процесса pυn=const. Так как в изобарном процессе n=0, тоpυ0=const, отсюдаp=const.(5.18)Для вывода уравнения изобарного процесса в координатной плоскости Tsвоспользуемся соотношением :s 2 − s1 = c p lnно, т.к. p=const, lnpT2− R ln 2 ,p1T1p2= 0.p1Следовательно,s 2 − s1 = c p lnT2.T1(5.19)Уравнение (5.19) называется уравнением изобары в Тs- координатах (рис.5.5).На рис.

5.6 представлена схема распределения энергии в изобарном процессе.Рис. 5.5Рис. 5.6Взаимное положение изохоры и изобары в Тs- координатахПусть совершаются изохорный и изобарный процессы в одном и том жеинтервале температур от T1 до T2. Изобразим оба процесса в Ts- координатах (рис.5.7).Рис. 5.7В процессе υ=const изменение энтропии равноΔs s = cs lnT2.T1В процессе p=const изменение энтропии равноΔs p = c p lnT2.T15.3. Изотермический процессИзотермическим процессом называется процесс сообщения или отнятия теплагазу при постоянной температуре Т=const.

Для изотермического процесса Т= const,из уравнения состояния pυ=RT получим,pυ=const.Уравнениеизотермическогопроцесса(5.20)вкоординатнойплоскостипредставляет собой уравнение равнобокой гиперболы (рис. 5.8).Рис. 5.8Согласно (5.20) имеем p1υ1 = p 2υ 2 , отсюдаp1 υ 2= .p 2 υ1(5.21)pυВ изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально егообъему. Для того чтобы в изотермическом процессе расширения при Т=constсохранить постоянную температуру, необходимо подводить тепло q, котороеопределяется по основному уравнению первого закона термодинамики:q = Δu + l .Для идеального газа в процессе Т=const Δu = cυ ΔT = 0 , отсюдаqT = l .(5.22)Все тепло, сообщенное газу в изотермическом процессе, целиком идет наработу расширения.Изменение энтальпии в изотермическом процессе Δh = c p ΔT = 0 . Работарасширения в изотермическом процессеυ2l = ∫ pdυ .υ1Но для процесса Т=constpυ = const = p1υ1 = p2υ 2 .Отсюдаp=Подставимзначениедавленияconstυ.согласно(5.23)(5.23)в выражениеработырасширенияυ2l = const ∫υ1dυυ2= p1υ1 ∫υυ1dυυ.Интегрируя и подставляя пределы, получаемl = p1υ1 lnυ2;υ1l = p1υ1 lnp1;p2(5.24)(5.25)l = RT1 lnυ2;υ1(5.26)l = RT1 lnp1.p2(5.27)Для произвольного количества m кг ТРТ работа будет равнаL = m⋅l .Коэффициент распределения тепла в изотермическом процессеψ=Δu 0= = 0; ψ = 0.q q(5.28)Теплоемкость в изотермическом процессес=сυψ= ∞.(5.29)Условие (5.29) для изотермического процесса по существу подтверждает егоосновную характеристику (Т=const).

Из определения теплоемкости следует: чтобыизменить температуру в изотермическом процессе на 1° надо затратить бесконечнобольшое количество тепла, что невозможно. Следовательно, температура в этомпроцессе остается величиной постоянной.Показатель политропы для Т=const:n=c − cpc − cυ, т.к. с=∞,раскроем неопределенностьn −1=c − cpc − cυ−1=c − c p − c + cυc − cυ; n −1=− c p + cυc − cυ; n − 1 = 0 ; n = 1.(5.30)Уравнением изотермического процесса в координатной плоскости Тs будетТ=const, т.е.

графиком изотермы в Тs- координатах будет горизонталь 1-2 (рис.5.9).Тепло в изотермическом процессе может быть определеноq = T ⋅ Δs = T ( s2 − s1 ) .(5.31)Рис. 5.9Изменение энтропии в процессе Т=const, согласно (5.31), (5.26), (5.27), будетΔs =pυq= R ln 2 = R ln 1 .υ1Tp2(5.32)Схема распределения энергии в изотермическом процессе представлена нарис.

5.10.Рис. 5.105.4. Адиабатный процессАдиабатным процессом называется процесс, протекающий без подвода илиотвода от ТРТ теплоты, хотя механическое взаимодействие с внешней средой можетиметь место. Если под q понимать тепло, сообщаемое рабочему телу илиотнимаемого от него, то основными уравнениями адиабатного процесса будут q=0,dq=0. Написание одного и того же положения в двух видах - интегральном идифференциальном - указывает на то, что требование q=0 и dq=0 относится нетолько к конечному участку рассматриваемого термодинамического процесса, но идолжно соблюдаться в каждый момент этого процесса, т.е. на каждом элементепроцесса.Уравнение адиабатного процесса в pυ- координатахИз уравнений первого закона термодинамики, записанных через энтальпиюичерез внутреннюю энергию с учетом условия адиабатного процесса (dq=0), получимdq = du + pdυ = cυ dT + pdυ = 0 ;dq = dh − υdp = c p dT − υdp = 0 ,откудаcυ dT = − pdυ ;(5.33)c p dT = υdp .(5.34)Разделив почленно (5.34) на (5.33), получимcpcυТак как=−υ dp.p dυcpcυ= к , то к = −υ dp.p dυРазделив переменные, получимdpdυ.= −кpυИнтегрируем это уравнение для конечного участка процесса 1-2:кυ2⎛υ ⎞υpdpdυ; ln 2 = − к ln 2 = ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ .= −к ∫∫υ1p1pυ⎝υ2 ⎠pυ11p2Потенцируя, получаемкp 2 ⎛ υ1 ⎞=⎜ ⎟ ,p1 ⎜⎝ υ 2 ⎟⎠отсюдаp1υ1к = p 2υ 2к = const ;pυ к = const .(5.35)Следовательно, pυ- координатах уравнение адиабатного процесса (5.35)представляет собой уравнение неравнобокой гиперболы (рис.

5.11).Рис. 5.11Другие соотношения между параметрами для адиабатного процесса получатсясовершенно аналогично, как и в случае политропного процесса:к −1T1 ⎛ υ 2 ⎞=⎜ ⎟ ;T 2 ⎜⎝ υ1 ⎟⎠T1 ⎛ p1 ⎞=⎜ ⎟T2 ⎜⎝ p 2 ⎟⎠к −1к.(5.36)(5.37)Уравнение первого закона термодинамики применительно к адиабатномупроцессу:q = Δu + l ; q = 0 .Следовательно,l = − Δu .(5.38)Работа расширения в адиабатном процессе совершается за счет уменьшениявнутренней энергии: l = −cυ (T2 − T1 ) ; l = cυ (T1 − T2 ) . Так каквнутренняя энергияпереходит в работу при адиабатном расширении, то температура газа уменьшается вэтом процессе (Т1>Т2).Работа расширения, совершенная газом в адиабатном процессе, будет равнаl = cυ (T1 − T2 ) , учитывая, что T =pυи R = c p − cυ , получаем:Rcυ( p1υ1 − p2υ 2 ) ;R(5.39)1( p υ − p υ );(к − 1) 1 1 2 2(5.40)l=p1υ1 ⎛p υ ⎞⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ ;к − 1⎝p 1 υ1 ⎠(5.41)l=p1υ1 ⎛ T2 ⎞⎜1 − ⎟ ;к − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠(5.42)l=l=к −1p1υ1 ⎡ ⎛ υ1 ⎞ ⎤l=⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ;к − 1 ⎢⎣ ⎜⎝ υ 2 ⎟⎠ ⎥⎦(5.43)к −1⎡⎤p1υ1 ⎢ ⎛ p2 ⎞ к ⎥l=1− ⎜ ⎟;к − 1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥⎣⎦(5.44)l=RT1 ⎛ T2 ⎞⎜1 − ⎟ .к − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠(5.45)Для произвольного количества m кг газа, участвующего в процессе, работарасширения будет равна L=ml.Коэффициент распределения тепла в адиабатном процессеψ=Δu Δu== ±∞ ;q0Теплоемкость в адиабатном процессеψ = ±∞ .(5.46)c=dq, т.к.

dq = 0 , c=0.dt(5.47)Средние значения показателя адиабаты к для различных газов можно принятьследующие при 0°С:одноатомные газы к=1,66;двухатомные газы и воздух к=1,4;трехатомные газы к =1,3.Для вывода уравнения адиабатного процесса в Тs- координатах воспользуемсясоотношением :s 2 − s1 = c p lnυ2p+ cυ ln 2 .υ1p1Для адиабатного процесса имеемкp1 ⎛ υ 2 ⎞=⎜ ⎟ ;p2 ⎜⎝ υ1 ⎟⎠−кp 2 ⎛υ2 ⎞=⎜ ⎟ .p1 ⎜⎝ υ1 ⎟⎠Тогдаs 2 − s1 = c p lnυ2υ− cυ ⋅ к ln 2 ,υ1υ1т.к. cυ ⋅ к = c p , тоs 2 − s1 = c p lnυ2υ− c p ln 2 = 0 .υ1υ1Следовательно, в адиабатном процессеs 2 − s1 = 0 ; s 2 = s1 ; s = const .(5.48)В адиабатном процессе изменение энтропии не происходит. Адиабатныйпроцесс - изоэнтропийный процесс.