ТВМС_БИЛЕТЫ_2021 (Экзаменационные билеты по теории вероятности и математической статистике (2021))

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Сформулировать аксиомы теории вероятности. Сформулировать и доказать основныесвойства вероятности.(6 баллов)2. Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 13 вагонов.

Найдитевероятность того, что все они поедут в разных вагонах.(6 баллов)Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию3. 5 D 7ξ 2 .(6 баллов)4. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутриобласти D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2x}.Найти постоянную C и функциюраспределения случайной величины η в точке 1.(6 баллов)5. Найтимоментов по выборке X1 , X2 , . . .

, Xn оценку параметра θ для плотности( 6 методом6xe− θ , x > 0,(6 баллов)f (x) =θ0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2.по курсу ”Теория вероятн. и мат.

стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Вывести формулу полной вероятности и формулу Байеса.(6 баллов)2. Компания из 16 человек рассаживается в ряд случайным образом. Найдите вероятностьтого, что между двумя определенными людьми окажутся ровно 6 человек.(6 баллов)YX3. Найдите распределение вероятностей случайной величины234Z = min(4, X − Y ) и MZ, если известно распределение дискретного −1 1/6 1/12 1/6случайного вектора (X, Y ):0 1/6 1/6 1/4(6 баллов) величина ξ равномерно распределена на отрезке [−2, 3].

Найдите вероятность4. Случайная1>7 .(6 баллов)Pξ−25. Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для( максимального6 − 6xe θ , x > 0,(6 баллов)плотности f (x) =θ0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 3.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение условной вероятности.

Доказать теорему умножения для n событий.Дать определение независимых событий.(6 баллов)2. На отрезок AB длины 240 наудачу поставлена точка X. Найдите вероятность того, чтоменьший из отрезков AX и XB имеет длину меньшую, чем 48.(6 баллов)3. Случайнаявеличина ξ равномерно распределена на отрезке [0, 9]. Найдите математическое ожидание M 5 − ln(3ξ) .(6 баллов)4. Плотность распределения случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутри областиD = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2x} и нулю вне D. Найти постоянную C и функциюраспределения случайной величины ξ в точке 1/2.(6 баллов)5.

Найтиметодом моментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности(x − 1)θ (θ + 1), x ∈ (1, 2),f (x) =(6 баллов)0,x∈/ (1, 2).Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 4.по курсу ”Теория вероятн.

и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Изложить схему Бернулли, вывести формулу о вероятности успехов в схеме Бернулли иследствия из нее.(6 баллов)2. Имеется 25 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условиенекоторой задачи. В 15 билетах задачи по статистике, а в остальных 10 билетах задачипо теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдитевероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задача по теории вероятностей.(6 баллов)Y3. Найдите коэффициент корреляции между случайными величи- X 012нами X и Y , если известно распределение дискретного случайного0 0.1 0.1 0.1вектора (X, Y ):1 0.1 0.2 0.4(6 баллов)4. Случайные величины ξ и η независимы иравномерно распределены на отрезках: ξ — на4отрезке [0, 1], η — на отрезке [3, 7].

Найдите M ξ(6ξ + η) .(6 баллов)5. Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для максимального(x − 1)θ (θ + 1), x ∈ (1, 2),плотности f (x) =(6 баллов)0,x∈/ (1, 2).Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 5.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение функции распределения вероятностей случайной величины. Сформулировать и доказать ее свойства.(6 баллов)2. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимоодин от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственноравны 0,17, 0,73 и 0,14.

Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.(6 баллов)3. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [−7, 7]. Найдитекоэффициент корреляции случайных величин ξ и ξ 7 .(6 баллов)4. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутриобласти D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2x} и нулю вне D. Найти постоянную C и M(ξη).(6 баллов)5.

Найтиметодом моментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности2 x −x/θe, x > 0,(6 баллов)f (x) =2θ3 0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 6.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение плотности распределения вероятностей случайной величины. Сформулировать и доказать ее свойства.(6 баллов)2. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины допущенаошибка, равна 0,05. Найдите наименьшее число измерений, которые необходимо произвести,чтобы с вероятностью больше, чем 0,83, можно было ожидать, что хотя бы один результатизмерений окажется неверным.(6 баллов)YX−1 013.

Зависимы или нет события A = {X = −1} и B = {X = Y } для−1 1/8 1/8 1/8случайного дискретного вектора (X, Y ), распределенного по закону0 1/8 3/8 1/8(6 баллов)4. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайныхвеличин ξ и η с равномерными законами распределения: ξ — на отрезке [0, 1], η — на отрезке[2, 9].(6 баллов)5.

Найти оценку максимального правдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для x2 −x/θe, x > 0,плотности f (x) =(6 баллов)2θ3 0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 7.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Сформулировать и доказать теорему о виде плотности распределения вероятностифункции ϕ(ξ) от случайной величины ξ, если ϕ — монотонная функция.(6 баллов)2.

Отрезок длины 6 поделен на две части длины 4 и 2 соответственно, 8 точекпоследовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, чтоколичество точек, попавших на отрезок длины 4 будет больше или меньше 1.(6 баллов)3. Для независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . ., распределенных по биномиальному√закону с параметрами n = 4 и p = 2/3, найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξt > 8t/3 − 2t}.t→∞(6 баллов)4. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутриобласти D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2x} и нулю вне D.

Найти постоянную C и M(ξ + η).(6 баллов)5. Найтиметодом моментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности7θe−7θx , x > 0,f (x) =(6 баллов)0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 8.по курсу ”Теория вероятн.

и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение математического ожидания случайной величины, сформулировать идоказать его свойства.(6 баллов)2. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 7 раз. Найдите вероятностьтого, что будет произведено 14 бросков.(6 баллов)YX3.Найдите распределение вероятностей случайной величины−3−2−1Z = max(X, Y ) и MZ, если известно распределение дискретного −2 1/1205/24случайного вектора (X, Y ):−1 5/24 1/12 5/12(6 баллов)4.

Для независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . .,√ распределенных по экспоненциальному закону, найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξn > 9n − n}, если известно, что Mξi = 9,n→∞i = 1, . . . , n.(6 баллов)5. Найтиоценку максимального правдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn для плотности−7θx7θe, x > 0,f (x) =(6 баллов)0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 9.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение дисперсии, сформулировать и доказать ее свойства.(6 баллов)2. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 5 раз число очков, отличноеот 6. Какова вероятность, что будет произведено 8 бросков?(6 баллов)3. Для независимых, распределенных по геометрическомузакону случайных величин√ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , .

. ., найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξn > 6n + 3n}, если известно, что Mξi = 6,n→∞i = 1, . . . , n.(6 баллов)4. Плотность распределения случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутри областиD = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 2x 6 y 6 2} и нулю вне D. Найти постоянную C и P{ξ < 1/2}.(6 баллов)5. Найтимоментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности( 25xметодом− 5xe θ , x > 0,(6 баллов)f (x) =θ20,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.