ТВМС_БИЛЕТЫ_2021 (533628), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 10.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение функции распределения вероятностей случайного вектора. Сформулировать и доказать ее свойства.(6 баллов)2. В группе учатся 18 юношей и 5 девушек. Для дежурства случайным образом отобранытри студента.
Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся либо юношами, либодевушками.(6 баллов)Y3. Найти математическое ожидание случайной величины Y = X 1/212log2 (Y /X), если известно распределение дискретного случайно1 3/32 5/32 3/32го вектора (X, Y ):2 5/32 13/32 3/32(6 баллов)4. Для независимых случайных величин ξ1 , ξ2 ,√.
. . , ξn , . . ., распределенных по законуПуассона, найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξn < 5n + 3n}, если известно, что Mξi = 5, i =n→∞1, . . . , n.(6 баллов)5. Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для( максимального25x − 5xe θ , x > 0,(6 баллов)плотности f (x) =θ20,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 11.по курсу ”Теория вероятн.
и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение плотности двумерного случайного вектора, сформулировать и доказатьее свойства.(6 баллов)2. В круг радиуса 120 наудачу бросаются 2 точки.Найдите вероятность того, что расстояниеот центра круга до ближайшей точки будет не меньше 40.(6 баллов)3.
Случайныевеличины ξ1, . . . , ξ4 независимы и распределены по показательному закону.Найдите M (ξ1 + . . . + ξ4 − 5)2 , если Mξ1 = . . . = Mξ4 = 5.(6 баллов)4. Плотность распределения случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутри областиD = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 2x 6 y 6 2} и нулю вне D.
Найти постоянную C и P{η < 1}.(6 баллов)5. Найтиметодом моментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности2 4x − 2xe θ , x > 0,3f (x) =(6 баллов)θ 0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 12.по курсу ”Теория вероятн.
и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение независимых случайных величин. Доказать необходимое и достаточноеусловие независимости произвольных случайных величин. Доказать необходимое и достаточноеусловие независимости непрерывных случайных величин.(6 баллов)2. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 4 раза число очков, отличноеот 6. Какова вероятность, что «шестерка» выпадет 2 раза?(6 баллов)YX3. Найдите распределение вероятностей случайной величины234Z = X + Y и MZ, если известно распределение дискретного −2 1/4 1/6 1/8случайного вектора (X, Y ):−1 1/8 1/4 1/12(6 баллов)4. Для независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , .
. . , ξn , . . ., равномерно распределенных наотрезке [0, 7], найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξn > 4n + 2}.(6 баллов)n→∞5. Найти оценку максимального правдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для 4x2 − 2xe θ , x > 0,3(6 баллов)плотности f (x) =θ 0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 13.по курсу ”Теория вероятн. и мат.
стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Сформулировать и доказать теорему о свертке.(6 баллов)2. События A, B, C независимы и P(A) = 0, 8; P(B) = 0, 7; P(C) = 0, 6. НайдитеP(AB|B + C).(6 баллов)3. Случайнаявеличинаξ распределена по показательному закону. Найдите математическоеожидание M (ξ − 7)(6 − ξ) , если дисперсия D(4 − 4ξ) = 36.(6 баллов)4. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутриобласти D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 2x 6 y 6 2} и нулю вне D. Найти постоянную C иматематическое ожидание Mξ.(6 баллов)5. Найтимоментов по выборке X1 , X2 , . . .
, Xn оценку параметра θ для плотности( 8 методом− 8xe θ , x > 0,f (x) =(6 баллов)θ0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 14.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Сформулировать и доказать теорему о свойствах ковариации.(6 баллов)2. События A, B и C независимы; P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 5 и P(C) = 0, 7. Найдите вероятностьсобытия A + B при условии, что наступило событие B + C.(6 баллов)YX0123. Найдите условное математическое ожидание M(X|Y = 1), если дискретный случайный вектор (X, Y ) задан распределением: −2 1/12 1/12 5/24−1 1/8 1/4 1/4(6 баллов)4. Случайная величина ξ распределена по показательному закону.
Найдите вероятность8.(6 баллов)P{16 < ξ < 32}, если Mξ =ln 25. Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для( максимального8 − 8xe θ , x > 0,(6 баллов)плотности f (x) =θ0,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.
Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 15.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение ковариационной матрицы случайного вектора. Сформулировать идоказать свойства коэффициента корреляции.(6 баллов)2. В первой урне 6 белых и 6 черных шаров, во второй — 7 белых и 6 черных. Из второйурны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берутодин шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый?(6 баллов)3.Для независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , .
. . , ξn , . . ., принимающихс равной√вероятностью значения 5, 14 и 23, найдите предел lim P{ξ1 + . . . + ξn > 14n + 2n}. (6 баллов)n→∞4. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (ξ, η) равна x + Cy внутриобласти D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 2x 6 y 6 2} и нулю вне D. Найти постоянную C иматематическое ожидание Mη.(6 баллов)5. Найтиметодом моментов по выборке X1 , X2 , .
. . , Xn оценку параметра θ для плотности −θ−16(θ + 1)xθ , x ∈ (0, 6),f (x) =(6 баллов)0,x∈/ (0, 6).Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 16.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение условной функции распределения координат двумерного случайноговектора. Найти выражение для условной плотности распределения координаты двумерногослучайного вектора.(6 баллов)2. Фирма участвует в четырех проектах, каждый из которых может закончиться неудачейс вероятностью 0,23. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна0,17, двух — 0,33, трех — 0,72, четырех — 0,82.
Определите вероятность разорения фирмы.(6 баллов)YX3. Зависимы или нет события A = {X = −1} и B = {Y = 0}−101для случайного дискретного вектора (X, Y ), распределенного −1 1/12 1/6 1/12по закону0 1/6 5/12 1/12(6 баллов)4. Случайные величины ξ и η независимые и распределены по показательному закону,причем Mξ = 1, Mη = 5. Найдите cov(ξη, ξ − η).(6 баллов)5. Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для максимального6−θ−1 (θ + 1)xθ , x ∈ (0, 6),плотности f (x) =(6 баллов)0,x∈/ (0, 6).Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.
Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 17.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Дать определение двумерного нормального вектора. Указать вид плотностей и условныхплотностей его координат.(6 баллов)2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 15 и 30соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг,попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.(6 баллов)3.
Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величинX, Y , Z и U равны 1. Найдите вероятность P{X + Y + Z − U < 0}.(6 баллов)4. Плотность распределения случайного вектора (ξ, η) равна Cx + y внутри областиD = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 x/2} и нулю вне D. Найти постоянную C и P{ξ < 4/3}.(6 баллов)5.
Найтимоментов по выборке X1 , X2 , . . . , Xn оценку параметра θ для плотности( 9x методом3xe− θ , x > 0,(6 баллов)f (x) =θ20,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 18.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1.
Сформулировать и доказать первое неравенство Чебышева.(6 баллов)2. События A, B и C независимы и P(A) =0, 1, P(B) = 0, 4 и P(C) = 0, 9. Найдитевероятность события P (A + B) · (A + C) · (B + C) .(6 баллов)3. Найдите распределение вероятностей случайной величиныZ = X − Y и MZ, если известно распределение дискретногослучайного вектора (X, Y ):Y234−2 1/12 1/24 5/24−1 1/6 1/6 1/3(6 баллов)X4. Случайнаявеличинаξ распределена по показательному закону. Найдите математическое2ожидание M (ξ + 8) , если дисперсия Dξ = 36.(6 баллов)5.
Найти оценкуправдоподобия по выборке X1 , X2 , . . . , Xn параметра θ для( максимального9x − 3xe θ , x > 0,плотности f (x) =(6 баллов)θ20,x 6 0.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 19.по курсу ”Теория вероятн. и мат. стат.”, ИУ-8, 2-й курс, 4-й сем.1. Сформулировать и доказать второе неравенство Чебышева.(6 баллов)2.
В урну, содержащую 14 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен одиншар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятнывсе возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне. (6 баллов)3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
