Сборник задач и вопросов по ТТИиП Кузнецов Н.Д. Чистяков В.С., страница 2

Основными понятиями при ста­тистических оценках являются понятия доверительного интервала идоверительной вероятности. Действительное значение параметра х неиз­вестно, и в реальных условиях производится замена этого значения егооценкой х. Доверительный интервал и доверительная вероятность даютпредставление о точности и надежности оценки х, о том, с какой сте­пенью уверенности можно ожидать, что ошибка, связанная с заменойх на х, не выйдет за заданные пределы.Для данной вероятности pi по конечной совокупности значений из­меряемой величины может быть найдено случайное значение хв, такое,что интервал от х„ до +оо накрывает действительное значение с веро­ятностью рьВер \х> хв } = рг.Значение хщ называется нижней доверительной границей для зна­чения х при односторонней доверительной вероятности рх.Аналогично значение хв, образующее интервал от —оо до хж, кото­рый с вероятностью /ъ накрывает значение х, называется верхней до­верительной границей при односторонней доверительной вероятно­сти рг.Вер U < : * B ) = р 2 Нижняя хв и верхняя хв границы образуют доверительный интер­вал, который с доверительной вероятностью р накрывает неизвестноедействительное значение измеряемой величины:Вер {хн < х < х в } =р.(1.2)Если pi>0,5 и Р2>0,5, то p=Pi+p 2 — 1.

Правила определения оце­нок и доверительных границ для параметров нормального распределе­ния регламентированы [5]. Аналогичные правила имеются и для другихзаконов распределения.Оценкой х действительного значения является значение, определяе­мое по формулеп7=T^iXi-<1.з>i=lВ задачах рассматриваются доверительные интервалы, симметрич­ные относительно х, с двусторонней доверительной вероятностью р.Тогда при полуширине интервала е очевидны зависимостихн = 7—е; хв=1с+е.(1.4)Значение е для ряда измерений (отдельных значений ряда) опре­деляется из выраженияe = tpa,(1.5)где а — оценка средней квадратической погрешности ряда измерений,л — число наблюдений-^ ^ — коэффициент, определяемый характеромраспределения результатов наблюдения для заданной вероятности р(значения tp могут быть определены из табл. П.1 приложения).Для ограниченного числа измерений (как правило, менее 100) ха­рактер распределения часто может быть описан законом распределенияСтьюдента.

Тогда tp — коэффициент распределения Стьюдента для чис­ла измерений п и вероятности р.В большинстве случаев при решении задач приходится определятьдоверительные интервалы для результата измерений. В этом случае»значение еР определяется из выражения• еР = / р ^= Г.(1-7)VпЗначения tp и tp/y/~n приведены в табл. П.2 приложения, а также в[2, 4, 5]. При использовании таблиц из [5] следует иметь в виду, что ониприняты для односторонней доверительной вероятности р ь а не длядвусторонней вероятности р, как это сделано в [2, 4]. Поэтому для ис­пользования таблиц [5] следует предварительно по значению р вычис­лить pi по формулеPi=(l+p)/2,а затем по k = n—1 и pi определить tp.При решении задач на проверку согласия опытного распределенияс теоретическим следует руководствоваться правилами, изложенными в[6].

В задачах в качестве критериев согласия приняты критерии Колмо­горова, х2 и ы2.При использовании критерия Колмогорова в качестве меры рас­хождения между теоретическим и статистическим распределениями рас­сматривается максимальное значение модуля разности К между ста­тистической функцией распределения Fn (x) и соответствующей теоре­тической функцией распределения F(x)K = umc\Fn{x)—F(x)\.Значение Fn(x) на границе какого-либо интервала определяется каксумма частот всех интервалов, лежащих левее этой границы.

ЗначенияF(x) определяются из таблиц [4]. Максимальная разность К определяет­ся путем либо построения графиков Fn(x) и F(х) [4, 6], либо составле­ния таблиц. По найденному значению_ К вычисляют вспомогательнуювеличину %=К / л и задаются доверительной вероятностьюр = Вер{Х< X*},при которой отклонение функции опытного распределения от теорети­ческого будет меньше 'А*, установленной для доверительной вероятно­сти р.По табл. П.З или [6] находят Я*, соответствующее этой доверитель­ной вероятности.При выполнении соотношения Х<Х* гипотеза о согласии теоретиче­ского и опытного распределений принимается, в противном случае — от­вергается.При проверке согласия по критерию %2 вычисляется значениевходного сигнала со стороны меньших и больших значений до значе­ния X,h%2=;2J(1.8),где h — число интервалов; п* — число наблюдений в t'-м интервале;я —общее число наблюдений; р'{ — теоретическая (т.

е. в соответствиис выбранным теоретическим законом распределения) вероятность по­падания в 1-й интервал.Затем следует задаться доверительной вероятностьюр = Вер {х? < (х*)2} sпри которой х 2 , полученное вследствие случайных отклонений частостейопытного распределения от соответствующих вероятностей теоретическо­го распределения, будет меньше значения (х*)2, установленного длядоверительной вероятности р. По табл. П.4 или [5] в зависимости от ри числа степеней свободы (равно числу интервалов минус число нало­женных связей) определяют (х*) 2 . При выполнении условия % 2 <(Х*) 2гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений прини­мается, в противном случае — отвергается.Для упрощения решения в условиях задач приведены необходимыедля решения значения р и (х*)2.При решении задач на вычисление параметров погрешностей средствизмерений следует руководствоваться стандартом [7], который устанав­ливает номенклатуру нормируемых метрологических характеристиксредств измерений, дает их определения и способы представления.В задачах требуется вычислить только некоторые метрологическиехарактеристики из всего комплекса характеристик, устанавливаемогостандартом.Систематическая составляющая А0 погрешности в точке х диапа­зона измерений для конкретного экземпляра средства измерений вычис­ляется по формулеЛс = - ^ ± ^ ,(1.9,гдепГАм =2пД'=1п2 Дбг«",тUR=г=1п;« — количество опытов при определении Дм и Л6; Дмг-, Дбг —t'-e реали­зации погрешности средства измерений соответственно при измененииоОценка среднего квадратического отклонения о (Л) случайной со­ставляющей погрешности конкретного экземпляра средств измеренийдолжна вычисляться по формуле2 (Амг ~ Дм)2 + S ( A e t - Аб ) 2~2 ^ Г•(1Л°).Наибольшая суммарная погрешность определяется как наибольшаяпо абсолютному значению из полученных значений Дмг и Де,-.Вариация определяется как абсолютное значение разности междуДм и Дв:/6=|ДМ-Дб|.(1.11)1.1.

Температура в термостате измерялась техническим термометромсо шкалой 0—500 °С, имеющим пределы допускаемой основной погреш­ности ±4°С. Показания термометра составили 346°С. Одновременно стехническим термометром в термостат был погружен лабораторный тер­мометр, имеющий свидетельство о поверке. Показания лабораторноготермометра составили 352 °С, поправка по свидетельству составляет—1 °С, поправка на выступающий столбик равна +0,5"С.Определите, выходит ли за пределы допускаемой основной погреш­ности действительное значение погрешности показаний техническоготермометра.1.2.

Милливольтметр имеет равномерную шкалу, разделенную на50 интервалов. Нижний предел измерения £/ н =—10 мВ, верхний L'K=>= + 10 мВ.Определите цену деления шкалы и чувствительность милливольт­метра.1.3. Зависят ли коэффициенты преобразования медного и платино­вого термометров сопротивления от температуры, если известно, что со­противления связаны с температурой выражениями Rt=*Ro(l+at) длямедного термометра, Rt^Roil+At+Bt2)для платинового термометра.•**1.4. При проверке автоматического потенциометра со шкалой 0—500 °С для градуировки типа К (никельхром — никельалюминий, хро»мель-алюмель) выяснилось, что стрелка и перо прибора смещены от­носительно нулевой отметки на 10 °С в сторону завышения.

•Как должна быть учтена эта систематическая" погрешность измере­ния температуры при обработке диаграммной бумаги, например наотметке 430 °С?1.5. При испытании измерительной системы дифманометр — вторич­ный Прибор в нормальных условиях эксплуатации прибор устанавливал*ся в конечной точке шкалы при следующих значениях перепада дав­ления Apt на входе в дифманометр:? . . . . .Дрг, к П а .

.Т284,15 84,06383,80483,905 :ЩЯ 683,94,184,10784,02884,03Затем было изменено напряжение питания измерительной системына + 1 0 % Uнол- При этом прибор устанавливался в конечной точкешкалы при следующих значениях перепада давления Ар*, на входе:iАр), кПа . .1283,85 83,75383,82483,76583,84683,82783,83883,75Оцените погрешность показаний измерительной системы, вызван­ную отклонением напряжения питания. Как называется эта погреш­ность?1.6.

Определите абсолютное и относительное изменение показанийгазового манометрического термометра, вызванное изменением' баро­метрического давления от 100,45 до 96,45 кПа. Шкала прибора 0—100 °С, что соответствует изменению давления от 0,67 до 0,92 МПа.Прибор показывает температуру 80 °С. Шкала прибора равномерная.1.7. Для технического манометра класса 1,5 нормальная температу­ра окружающей среды 20±5°С, рабочая температура +5ч- + 50°С.Одинаковыми ли погрешностями будут характеризоваться показа­ния прибора при температуре окружающей среды t=2A, t=\Q и £=55 С Спри условии, что остальные влияющие величины имеют нормальные зна­чения?1.8. Одинаков ли предел допускаемой относительной погрешностиизмерения во всех -точках шкалы автоматического потенциометра?1.9.