1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (Задачник Тарг), страница 11

Положение точки С определяется двумя условия­ми: 1) расстояние O C = d (OC±.R) должно удовлетворять равенству(28); 2) знак момента относительно центра О силы R ' , приложеннойв точке С, т. е. знак m 0 (R'), должен совпадать со знаком М 0 .Пример подобного расчета дан в задаче 17.44Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равнове­сии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т.

е. кравнодействующей (когдаили к паре_сил (когда 5?=0).1Задача 14. Привести к центру О систему сил Р~, Fu F t , F t , изображенных и*рис. 48, если Р = 30 Н , F 1= / r2= F a= 2 0 Н , а = 0,3 м, 6 = 0 ,5 м, а = 6 0 ° ..а-7Ч» рИГ• 1[№11СkI Q2Рис.' 49Р е ш е н и е .

Задача сводится к нахождению главного вектора R зад ан н о !системы сил, который будем определять По его проекциям R ^ R v , и главного мо­мента M q этих сил относительно центра О. П роводя оси Оху так , к ак показано нарисунке, и пользуясь формулами (27), получим (см. пример вычисления моментовсил в § 14):R x =» I F ъх = — F t cos a — F i cos a — F t ,R u < sX F i,u = — P — F i S i n a - \ - F t s l n a ,M o « * 2 m o (F * ) = — &/>+ a F l c o s a - f 2bFt s In a + aF t .Подставляя сюда числовые значения сил, найдем, что R x = —40 Н , R u—= —ЗО Н , Л 1о= 11,3 Н -м . Таким образом, заданная система сил приводится кприложенной в центре приведения О силе R с проекциями Я ж= —40 Н , Я у = —30 Н(R = 5 0 Н) и паре сил с моментом M q — И .З Н -м .Задача 15.

Привести к простейшему виду Систему сил P lt ~Pt , Р . , действую­щих на балку А В (рис. 49), и найти силы давления на опоры А и а , если Р х=— P \ — P t= P __Р е ш е н_и е. М ногоугольник, построенный из сил ¥ [ , Р %, F I, зам кнут; сле­довательно, / ? = 0 . Сумма моментов всех сил относительно любой точки (напри­мер, точки С) равна — Р а.

С ледовательно, данная система сил приводится к парес моментом т = —Ра. Р асп ол агая эту пару так , к ак показано на чертеж е пункти­ром, заключаем, что силы P l t Р г , P t оказываю т на опоры давлени я ОТ и Q^, чис­ленно равные P alb,45Задача 1в. Привести к простейшему виду систему си л "?!, F t , F3, действую­щих на ферму А В (рис. 50), и найти силы давления на опоры А и В , если F i== 'Ft = F t = F .___Р е ш е н и е . Зам ечая, что силы F 2 и F t образуют пару, перемещаем ее вположение, показанное на чертеже пунктиром. Тогда силы Flt F j взаимно уравно­вешиваются и вся система сил приводится к равнодействующей R — Ft (численноR = F ).Отсюда заклю чаем, что действие сил Flt Р г, F 3 сводится к вертикальному дав­лению на опору А ; опора В при этом не нагруж ена.Задача 17.

Привести к простейшему виду систему сил, рассмотренную в зада­че 14 (см. рис. 48).Р е ш е н и е . И з результатов, полученных в задаче 14, следует, что даннаясистема сил приводится к приложенной в точке О силе R , направленной так,к ак доказано и а рис. 51, и паре с моментом М о = П . З Н м. При этом численноЛ = 5 0 Н и cos f!= \R y \/R = Q ,3 (fi& 53°). П р е д с та в и м пару силам и 7V = R и 7?" == —И, п ри ло ж и в силу ~R" в точке О, a ~R' в точке С, причем, согл асн о ф орм уле(2 8 ),d = O C — M o / R x O,23 м. Отбрасывая силы R и R найдем, что рассматривае­мая система сил приводится к равнодействующей, равной R , лнння действия ко­торой проходит н а расстоянии 0,23 м от точки О (через точку С с координатамих = —d cos р » —0,14 м, y = d sin (3—0,18 м).f 16.

РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.СЛУЧА Й П А РА Л Л ЕЛ ЬН Ы Х СИЛНеобходимые и достаточные условия равновесия любой системысил даются равенствами R = 0 и М 0 = 0, выражаемыми формулами(23). Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равнове­сия плоской системы сил.

Их можно получить в трех различныхформах.1.Основная форма условий равновесия.Так как вектор R равен нулю, когда равны нулю его. проекции R xи /?„, то для равновесия должны выполняться равенства R x= 0,R v= 0 и М 0 = 0, где в данном случае М 0 — алгебраический момент,а О — любая точка в плоскости действия сил. Но из формул (27)следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда дейст­вующие силы удовлетворяют условиям:= 0, 2 F „ = 0, 2m 0 (?*) = 0.(29)Формулы (29) выражают следующие аналитические условия рав­новесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необхо­димо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую издвух координатных осей и сумма их моментов относительно любогоцентра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Одно­временно равенства (29) выражают условия равновесия твердоготела, находящегося под действием плоской системы сил.2*. В т о р а я ф о р м а у с л о в и й р а в н о в е с и я :дляравновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточ­но, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-ни­будь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпен­дикулярную прямой А В , были равны нулю:1 т Л (Fk) = 0, 2 mB(Fk) = 0, Щ х ^ 0.46(30)Необходимость этих условий очевидна, так как если любое изне выполняется, то или ЯфО, или М Аф О ( М в¥=0) и равновесия■е будет. Докажем их достаточность.

Если для данной системы силнтолняются только первые два из условий (30), то для нее М А= 0i М в =0 . Такая система сил, согласно результатам, полученным в§ 15, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую7?\ одновременно проходящую через точки А и В * (рис. 52). Нопо третьему условию должно быть R x = 2 F kx= 0.

Так как ось ОхпрЬведена не перпендикулярно к А В , то последнее условие можетбыть выполнено, только когда R = 0 , т. е. когда имеет место равно­весие.3 *. Т р е т ь я ф о р м а у с л о в и й р а в н о в е с и я (уравнениятрех моментов): для равновесия произвольной плоской систе­мы сил необходимо и достаточно, чт о­бы суммы моментов всех этих сил относи­тельно любых трех центров А , В и С, нележ ащих на одной прямой, были равны нулю:1 их^ т в *)=2m c (Fд) = 0. (31)Необходимость этих условий, как и в пре­дыдущем случае, очевидна.

Достаточностьусловий (31) следует из того, что если приодновременном выполнении этих условий данная система сил ненаходилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться кравнодействующей, одновременно проходящей через точки А , В иС, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой.Следовательно, при выполнении условий (31) имеет место равно­весие.Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил полу­чаются три условия равновесия. Условия (29) считаются основными,так как при пользовании ими никаких ограничений На выбор коор-.динатных осей и центра моментов не налагается.Если на тело наряду с плоской системой сил F l t F t , , .

. , 7 „ действует системалежащ их в той ж е плоскости пар с моментами ти п ц , . . ., тп, то ври составленияусловий равновесия в уравнения проекций пары не войдут, так к ак сумма проек­ций сил пары на любую ось равна нулю. В уравн ен и ях ж е моментов к моментамсил алгебраически прибавятся моменты п ар , т а к к а к сумма моментов сил парыотносительно любого центра равна моменту пары ( § 9 , ф ормула (15)]. Т аки м об­разом, например, условия равновесия (29) при действии на тело системы сил и парпримут вид:2 / ^ = 0,= 0, Z m 0 (? * ) + !/»., = 0.(32)Аналогично преобразуются в этом случае услови я (30) и (31).Равновесие плоскойсистемы параллель­н ы х с и л . В случае, когда все действующие на тело сиЛы парал­лельны друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно св*При М д = 0 система сил может иметь равнодействую щ ую , проходящ ую че­рез точку А , а при M g — 0 — проходящ ую через то ч к у В.47лам, а ось Оу параллельно им (рис.

53). Тогда проекция каждой изсил на ось Ох будет равна нулю и первое из равенств (29) обратитсяв тождество вида О^Ю. В результате для параллельных сил останет­ся два условия равновесия:2 F „ « = 0 , Zm0 (?*) = 0,(33)где ось Оу параллельна силам.Д ругая форма условий равновесия для параллельных сил, полу­чающаяся из равенств (30), имеет вид:2 m A(Fk) = 0, 2m B(F*) = 0.(34)При этом точки Л и В не должны лежать на прямой, параллельвой силам.1 17. РЕ Ш Е Н И Е ЗА Д А ЧПри решении задач этого раздела следует иметь в виду все теобщие указания, которые были сделаны в § 7.Д ля получения более простых уравнений следует (если это толь­ко не усложняет ход расчета): а) составляя уравнения проекций,проводить координатную ось перпендикулярно какой-нибудь неиз­вестной силе; б) составляя уравнения моментов, брать центр момен­тов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать дан­ную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона,находить момент силы как сумму моментов этих составляющих (см.пример вычисления моментов сил в § 14).Решение многих задач статики сводится к определению реакцийопор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы ит.

л . В технике обычно встречаются следующие три типа опорныхЗакреплений (кроме рассмотренных в § 3):1. П о д в и ж н а я ш а р н и р н а я о п о р а (рис. 54, опора Л).Реакция N A такой* опоры направлена по нормали к поверхности,на которую опираются катки подвижной опоры.2. Н е п о д в и ж н а я ш а р н и р н а я о п о р а (рис. 54, опора В).Реакция R B такой опоры проходит через ось шарнира и можетиметь любое направление в плоскости чертежа.

При решении задачбудем реакцию R B изображать ее составляющими Х в и У в по48\направлениям координатных осей. Если мы, решив задачу,^айдем Х в и Y B, то тем самым будет определена и реакция R B, помодулю R B= VX %+ Y% .\ Способ закрепления, показанный на рис. 54, употребляется длятого, чтобы в балке А В не возникало дополнительных напряженийпри изменении ее длины от изменения температу­ры или от изгиба.,3. Ж е с т к а я з а д е л к а(или н е п о д в и ж н а я з а щ е м л я ю щ а я о п о р а ; рис.55, а). Рассматривая заделанный конец балки истену как одно целое, жесткую заделку изобража­ют так, как показано на рис.

55, б. В этом случаена балку в ее поперечном сечении действует со сто­роны заделанного конца система распределенныхсил (реакций). Считая эти силы приведенными кцентру А сечения, можно их заменить одной напе­ред неизвестной силой R A, приложенной в этомР и с. 55центре, и парой с наперед неизвестным моментомтА (рис. 55, а). Силу R A можно в свою очередь изо­бразить ее составляющими Х А и УА (рис. 55, б). Таким образом,для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три не­известные наперед величины Х А , УА , тА.Реакции других видов связей были рассмотрены в § 3.Задача 18.

Определить силы, с которыми д ав ят йа рельсы колеси А и В кра­на, схематически изображенного на рис. 56. Вес крана Р = 40 к Н , центр тяж естиего леж ит н а л и ч и и D E . Вес поднимаемого гр у за Q = 1 0 к Н , вы лет кран а Ь = 3,5 м.расстояние А В = 2 а = 2 ,6 м.Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие всегокрана. Н а кран действуют заданны е силы Р иQ"и реакции связей И д и N g- Д л я этой системыпараллельны х сил составляем услови я равнове­сия (33), приним ая за центр моментов точку Аи проектируя силы на вертикальную ось. П олу— P a + N g -2 a -Q (а + 6 )= 0 ,N A+ N g - P - Q = 0.Р еш ая эти уравн ен ия найдем:N a = 0 ,5 Р —0,5 Q (b/a— I)— 11 к Н ,N B= 0 ,5 Я + 0 ,5 Q ( b /a + \) = 3 9 к Н .Д л я проверки составим уравнение моментов от­носительно центра В- N A '2 a + P a - Q (6—а ) = 0.П одставляя сюда найденное значение N A , убеж даем ся, что уравн ен ие удовлетво­ряется.