lopt17 (Лекционный курс)

Лекция 17Б. НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙБ1. Неявный метод ЭйлераФормула неявного метода Эйлера первого порядка точности:yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 .Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличием искомойвеличины ŷi +1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения. Можнопоказать, что неявный метод Эйлера обладает свойством А-устойчивости. Приреализации алгоритма решения задачи Коши неизвестное значение ŷi +1 вычисляетсяодним из методов решения нелинейных уравнений. Применение метода Ньютона связанос записью уравнения в формеyˆi +1 − Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) ≡ F ( yˆi +1 ) = 0и с дифференцированием функции F ( yˆi +1 ) , что увеличивает время расчетов из-завозможной сложности вычисления производных.Как правило, используется метод простых итераций:yˆi(+k1+1) = Φ( x i , x i +1 , yˆi(+k1) ) , k = 0,1,....При применении методов Ньютона и простых итераций вначале задается илинаходится нулевое приближение решения по формуле yi(+01) = yˆi (так называемый«постоянный» прогноз) или явным методом Эйлера:yˆi(+01) = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) .Итерации завершаются при выполнении условия окончанияyˆ i(+k1+1) − yˆ i(+k1) ≤ ε ,где ε – малое положительное число.Б2.

Метод трапецийФормула метода трапеций - неявная одношаговая схема второго порядкаточности:yˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,144где f i = f ( x i , yˆi ) . Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличиемискомой величины ŷi +1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения.Неизвестное значениеŷi +1 вычисляется одним из методов решения нелинейныхуравнений. Можно показать, что метод трапеций является А-устойчивым.Б3.

Методы Адамса–МултонаМногошаговые неявные схемы Адамса–Мултона:– первого порядка (неявный метод Эйлера);– второго порядка (метод трапеций);– третьего порядка:hyˆi +1 = yˆi + [− f i −1 + 8 f i + 5 f ( x i +1 , yˆi +1 )] ,12i = 1, n − 1 ;– четвертого порядка:hyˆi +1 = yˆi +[ f i − 2 − 5 f i −1 + 19 f i + 9 f ( x i +1 , yˆi +1 )] , i = 2, n − 1 ;24иhyˆ i +1 = yˆ i −1 + [ f i −1 + 4 f i + f ( x i +1 , yˆ i +1 )] , i = 1, n − 1 (неявная схема парабол);3– пятого порядка:yˆ i +1 = yˆ i +h[−19 f i −3 + 106 f i − 2 − 264 f i −1 + 646 f i + 251 f ( x i +1 , yˆ i +1 )] , i = 3, n − 1 .720где f i = f ( x i , yˆ i ), f i −1 = f ( x i −1 , yˆ i −1 ), f i −2 = f ( x i −2 , yˆ i −2 ), f i −3 = f ( x i −3 , yˆ i −3 ) .Для расчетов по формулам требуется получить соответствующее число«разгонных» точек.

Чтобы найти искомое значение ŷi +1 , так же как в неявном методеЭйлера и методе трапеций, требуется решить в общем случае нелинейное уравнение.З а м е ч а н и е. Среди неявных также получили распространение методы Гира,Милна, Хемминга, Рунге–Кутты [3].145.