lopt16 (Лекционный курс), страница 2

Методы Рунге-КуттыФормулы семейства методов Рунге–Кутты имеют следующую структуру:[]yˆi +1 = yˆi + hi +1 ⋅ b1K 1,i + b2 K 2,i + " + bs K s ,i ,139yˆ0 = y 0 ,i = 0, n − 1 ,K 1,i = f ( x i , yˆi ) ;гдеK 2,i = f ( x i + c 2 hi +1 , yˆi + hi +1 a2,1K 1,i ) ;K 3,i = f ( x i + c3 hi +1 , yˆi + hi +1 (a3,1K 1,i + a3,2 K 2,i ) ;#K s ,i = f ( xi + c s hi +1 , yˆi + hi +1 (as ,1K 1,i + as ,2 K 2,i + " + as , s −1K s −1,i ) ,где s – число стадий (этапов), K s ,i – значения коэффициентов схемы Рунге–Кутты, вычисленныенаосновеправойчастидифференциальногоуравнения,c j , j = 2, s; al , m , l = 2, s ; m = 1, s − 1; bk , k = 1, s . Первый индекс в обозначениях коэффициентов является порядковым номером, а второй соответствует индексу точки x i –началу отрезка [ x i , x i +1 ] , на котором производится расчет.В некоторых методах кроме вычисления приближенного решения ŷi +1 определяyi +1 по формулеется еще дополнительное значение ~[~yi +1 = yˆi + hi +1 ⋅ b~1K 1,i + b~2 K 2,i + " + b~s K s ,i],порядок которого, как правило, на единицу больше или меньше обеспечиваемого выраyi +1 служит для учета погрешности и управления вежением для ŷi +1 .

Величина yˆi +1 − ~личиной шага.Наибольшее распространение в вычислительной практике нашел метод Рунге–Кутты четвертого порядка:yˆi +1 = yˆi +гдеhi +16(K 1,i + 2K 2,i + 2K 3,i + K 4,i ),yˆ0 = y 0 , i = 0, n − 1 ,hh⎛⎞K 2,i = f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 1,i ⎟⎟ ,22⎝⎠hh⎛⎞K 3,i = f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 2,i ⎟⎟ , K 4,i = f x i + hi +1 , yˆi + hi +1 ⋅ K 3,i .22⎝⎠Схема является четырехчленной, первый коэффициент K 1,i относится к точке x i ,K 1,i = f i = f ( x i , yˆi ),(второй и третий – к средней точке x i +выбираютсяследующиеhi +12), четвертый – к точке x i +1 . Для этой схемыпараметры:s = 4,c 2 = c3 =1; c4 = 1 ;211; a3,1 = a4,1 = a4,2 = 0 ; a3,2 = ; a4,3 = 1 .22Метод Рунге–Кутты, как и методы Эйлера, является одношаговым, так как значение yˆ i +1 вычисляется на основе текущего значения yˆ i .

По сравнению с явным методомЭйлера здесь на одной итерации требуется вычислять значение правой части решаемогоуравнения четыре раза. Как и явный метод Эйлера, метод Рунге–Кутты не требует дополнительных разгонных точек, что позволяет легко менять шаг в процессе вычислений.В методе Рунге–Кутты пятого порядка точности для расчета точки yˆ i +1 используются следующие соотношения:a2,1 =140yˆ i +1 = yˆ i +гдеhi +16( K 1,i + 4K 3,i + K 6,i ) ,yˆ0 = y 0 , i = 0, n − 1 ,hh⎛⎞K 2,i = f ⎜ x i + i +1 , yˆ i + i +1 K 1,i ⎟ ,22⎝⎠K 1,i = f ( x i , yˆ i ),hh⎛⎞K 3,i = f ⎜ x i + i +1 , yˆ i + i +1 ( K 1,i + K 2,i ) ⎟ , K 4,i = f ( x i + hi +1 , yˆ i − hi +1 K 2,i + 2hi +1 ⋅ K 3,i ) ;24⎝⎠2hh⎛⎞K 5,i = f ⎜ x i + i +1 , yˆ i + i +1 (7 K 1,i + 10 K 2,i + K 4,i ) ⎟ ,327⎝⎠hh⎛⎞K 6,i = f ⎜ x i + i +1 , yˆ i + i +1 (28K 1,i − 15 K 2,i + 546 K 3,i + 54 K 4,i − 378 K 5,i ⎟ .25625⎝⎠А5.

Методы Адамса–БэшфортаМногошаговые схемы Адамса–Бэшфорта:– второго порядка:hyˆi +1 = yˆi + [3 f i − f i −1 ] , i = 1, n − 1 ;2– третьего порядка:hyˆi +1 = yˆi + [23 f i − 16 f i −1 + 5 f i − 2 ] , i = 2, n − 1 ;12– четвертого порядка:hyˆi +1 = yˆi +[55 f i − 59 f i −1 + 37 f i − 2 − 9 f i − 3 ] , i = 3, n − 1 ;24– пятого порядка:yˆ i +1 = yˆ i +h[1901 f i − 2774 f i −1 + 2616 f i −2 − 1274 f i −3 + 251 f i −4 ] , i = 4, n − 1 ,720где f i = f ( x i , yˆ i ) .Для начала расчетов по первой формуле требуются две «разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 ,по второй формуле – три «разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , по третьей формуле – четыре«разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , yˆ3 , по четвертой формуле – пять «разгонных» точек:yˆ 0 , yˆ 1 , yˆ 2 , yˆ 3 , yˆ 4 .

Их необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы.Методы Адамса–Бэшфорта не позволяют изменять шаг в процессе расчетов. В отличие от метода Рунге–Кутты четвертого порядка в этих методах требуется вычислятьтолько одно новое значение правой части решаемого уравнения (системы) вместо четы-141рех. Высокая точность методов достигается при этом за счет учета информации о предыдущих точках. Напротив, в методе Рунге–Кутты, как и в других одношаговых методах,недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результатевычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках.А6. Явные методы ХеммингаМногошаговый метод Хемминга четвертого порядка точности может быть реализован тремя различными способами, в каждом из которых для нахождения точки yˆ i + 1используются четыре предыдущие точки:yˆ i +1 =илиyˆ i +1 =илиyˆ i +1 =yˆ i + yˆ i −122 yˆ i −1 + yˆ i −23++h[191 f i − 107 f i −1 + 109 f i − 2 − 25 f i −3 ] , i = 3, n − 1 ;72yˆ i + yˆ i −1 + yˆ i − 23h[119 f i − 99 f i −1 + 69 f i −2 − 17 f i −3 ] , i = 3, n − 1 ;48+h[ 91 f i − 63 f i −1 + 57 f i −2 − 13 f i −3 ] , i = 3, n − 1 ;36где f i = f ( x i , yˆ i ) .

Для начала расчетов по любой из приведенных формул требуетсячетыре «разгонные» точки yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , yˆ3 .А7. Методы прогноза и коррекцииРассматриваемые здесь методы (схемы), называемые составными, известны подобщим названием методов прогноза и коррекции. Из названия следует, что сначала«предсказывается» значение ŷi +1 , а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения.Таким образом, составные схемы включают в себя два шага (этапа) расчета очередного значения ŷi +1 :1.

Шаг «предиктор» (предсказание), на котором рассчитывается предсказанное(предварительное) значение yˆi(+П1) .2. Шаг «корректор» (коррекция), на котором предсказанное значение уточняется.В результате находится значение yˆi(+К)1 , которое принимается за ŷi +1 . Если промежутокинтегрирования не исчерпан, оно далее используется при реализации очередного шага«предиктор» для нахождения следующего предсказанного значения yˆi(+П2) .Первый шаг реализуется с помощью явных методов, а второй шаг основан на применении формул неявных методов, в правую часть которых вместо неизвестного значения ŷi +1 подставляется результат предсказания. Схемы такого типа называются такжесхемами «предиктор-корректор» и в итоге относятся к явным методам.142Приведем наиболее часто встречающиеся составные схемы.• Предсказание с помощью явного метода Эйлера или метода Эйлера–Коши, коррекция по методу трапеций.Шаг «предиктор»:yˆi(+П1) = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ,или при условии hi +1 = h = constyˆi(+П1) = yˆi −1 + 2h ⋅ f ( x i , yˆi ),где ŷ i и ŷi −1 рассчитаны на предыдущих шагах.Шаг «корректор»:)ˆi +yˆ i +1 ≡ yˆ i(К+1 = yhi +12[ f ( x i , yˆ i ) + f ( x i + hi +1 , yˆ i(П)+1 )] .• Предсказание по методу Адамса–Бэшфорта третьего или четвертого порядка,коррекция по методу Адамса–Мултона четвертого порядка (см.

неявные методы)(при hi +1 = h = const ).Шаг «предиктор»:hyˆi(+П1) = yˆi + [23 f i − 16 f i −1 + 5 f i − 2 ] ,12илиhyˆi(+П1) = yˆi +[55 f i − 59 f i −1 + 37 f i − 2 − 9 f i − 3 ] .24Шаг «корректор»:hyˆi +1 ≡ yˆi(+К1) = yˆi +[ f i − 2 − 5 f i −1 + 19 f i + 9 f ( x i +1 , yˆi(+П1) )] .24• Метод Хемминга четвертого порядка (при hi +1 = h = const ).Шаг «предиктор»:4hyˆi(+П1) = yˆi − 3 +[2 f i − f i −1 + 2 f i − 2 ] .3Шаг «корректор»:13hyˆi +1 ≡ yˆi(+К1) = (9 yˆi − yˆi − 2 ) +[− f i −1 + 2 f i + f ( x i +1 , yˆi(+П1) )] .88З а м е ч а н и е.

Среди явных нашли также широкое применение методы Фельберга, Ингленда, Нюстрема, Милна, интерполяционные методы [3].143.