lopt16 (Лекционный курс)
Описание файла
Файл "lopt16" внутри архива находится в папке "Лекционный курс". PDF-файл из архива "Лекционный курс", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория оптимизации и численные методы" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория оптимизации и численные методы" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Лекция 168. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка, связывающих независимую переменную x , неизвестныефункции y1 ( x ),..., y n ( x ) и их производные y1′ ( x ),..., y n′ ( x ) .В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можнозаписать в нормальной форме Коши:dy1= f1 ( x , y1 ,..., y n ) ,dxdy 2= f 2 ( x , y1 ,..., y n ) ,dx.................................dy n= f n ( x , y1 ,..., y n ) ,dxгде f i ( x , y1 ,..., y n ) , i = 1, n , – известные функции.Решением системы называется совокупность n функций y1 ( x ),..., y n ( x ) , непрерывных на некотором интервале (a, b ) , такая, что подстановка этих функций в системуобращает все уравнения в тождества.Задача Коши для системы состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям:y1 ( x 0 ) = y10 , y 2 ( x 0 ) = y 20 ,..., y n ( x 0 ) = y n 0 ,где y10 , y 20 ,..., y n 0 – известные числа.В векторной форме задача Коши имеет видY ′ = F ( x ,Y ),Y (x0 ) = Y 0 ,где Y = ( y1 ,..., y n )T , F ( x ,Y ) = ( f1 ( x ,Y ),..., f n ( x ,Y ))T , Y 0 = ( y10 ,..., y n 0 )T .Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).Пусть выполнены следующие условия:а) функции f i ( x , y1 ,..., y n ) , i = 1, n , определены и непрерывны в некоторой замкнутой области D , а также имеют в D ограниченные частные производные по переменным y1 ,..., y n ;б) точка ( x 0 , y10 , y 20 ,..., y n0 ) лежит внутри области D .Тогда решение задачи Коши существует и единственно.134З а м е ч а н и я.1.
Во многих практических приложениях независимая переменная обозначаетсячерез t и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.2. Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения n -го порядка:y (n ) = f ( x , y ( x ),..., y (n −1) ( x )) ,y ( x 0 ) = y 0 , y ′( x 0 ) = y 0′ ,..., y (n −1) ( x 0 ) = y 0(n −1) ,где x 0 ∈ (a, b ) , y 0 , y 0′ ,..., y 0(n −1) – заданные числа, ее необходимо привести к системе nуравнений первого порядка.
Обозначая y1 ( x ) = y ( x ), y 2 ( x ) = y ′( x ),..., y n ( x ) = y (n −1) ( x ) ,получаемdy1= y2 ,y1 ( x 0 ) = y 0 ,dxdy 2= y3 ,y 2 ( x 0 ) = y 0′ ,dx..............................................................dy n= f ( x , y1 ,..., y n ) , y n ( x 0 ) = y 0(n −1) .dx3. Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядкаy ′ = f ( x , y ),y ( x 0 ) = y 0 , x ∈ (a, b ) .(*)Чтобы записать формулы для решения задачи Коши необходимо заменить функцию y (x ) на вектор-функцию Y (x ) , f ( x , y ) на F ( x ,Y ) , а y 0 – на Y 0 .ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВЧисленное решение задачи (*) ищется в узлах сетки Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n }, гдеhi +1 = x i +1 − x i , i = 0, n − 1 , – расстояние между соседними узлами, называемое шагоминтегрирования (параметром сетки).
Если hi +1 = h = const , сетка называется равномерной (регулярной), а если hi +1 = var – неравномерной (нерегулярной). В случае равномер-ной сетки узлы находятся по формуле x i = x 0 + ih, i = 0, n .Решение находится в виде последовательности значений yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 ,..., yˆn , являющихся приближением значений y 0 , y ( x1 ), y ( x 2 ),..., y ( x n ) точного решения y(x ) в узлахсетки Ω n (рис.
1).135yŷ iy ( xi −1 )y ( x1 )y ( xi +1 )ŷ i −1y ( xi )y = y(x )ŷ i +1ŷ1ŷ 0y ( xn )y00ŷ nx0x1xi −1xixi +1xnxРис. 1Численные дискретные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющие найти решение только в узлах сетки, делятся на две группы: явные инеявные.Значение ŷi +1 на (i + 1) -м шаге может определяться явно:yˆi +1 = Φ( x i − k +1 ,..., x i −1 , x i , yˆi − k +1 ,..., yˆi −1 , yˆi ) ,где Φ(.) – некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки ( x i , yˆi ) могут использоваться еще (k − 1) предыдущих точек), илинеявно:yˆi +1 = Φ( x i − k +1 ,..., x i −1 , x i , x i +1 , yˆi − k +1 ,..., yˆi −1 , yˆi , yˆi +1 ) ,где искомая величина ŷi +1 входит одновременно и в левую, и в правую часть.Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые ( k шаговые).
В одношаговых методах для расчета очередной точки ( x i +1 , yˆi +1 ) требуетсяинформация только о последней рассчитанной точке ( x i , yˆi ) . В k -шаговых методах длянахождения точки ( x i +1 , yˆi +1 ) требуется информация о k предыдущих точках.Формулы явных или неявных методов в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно ŷi +1 и называются разностными схемами.Локальной ошибкой численного метода на (i + 1) -м шаге называется величинаε i +1 (h) = yˆi +1 − y ( x i +1 ) ,где y ( x i +1 ) – значение точного решения при x = x i +1 , а ŷi +1 – приближенное решение,получаемое по формулам при условии, что вместо приближенных значенийyˆi , yˆi −1 ,..., yˆi − k +1 используются значения, соответствующие точному решению, т.е.y ( x i ), y ( x i −1 ),..., y ( x i − k +1 ) .136Глобальной ошибкой называется величина e n (h) = yˆn − y ( x n ) , где ŷ n – значение,получаемое по формулам при i = n − 1 .Глобальная ошибка определяется:а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленнымичислом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значенияискомой функции в очередной точке x i +1 ;б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения ŷi +1вместо точных значений y ( x i ), y ( x i −1 ),..., y ( x i − k +1 ) берутся приближенные значенияyˆi , yˆi −1 ,..., yˆi − k +1 , полученные на предыдущих шагах.Локальные ошибки «переносятся» в точку x n и формируют глобальную ошибку.Число p называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть О большое от h p , т.е.
e n (h) = O (h p ) .Пояснение. Пусть R (h) – некоторая функция переменной h (как правило, R (h) –остаточное слагаемое некоторой аппроксимационной формулы) с конечной областью определения DR на полуоси h > 0 , причем h ∈ DR . Тогда, если при некотором h ≤ h0справедливо неравенство R (h) ≤ ch k , где c = const , не зависящая от h , k – целое число, h0 > 0 , то пишут R (h) = O (h k ) и говорят, что R (h) есть «O большое от h k » приh → 0.На практике в качестве характеристики точности метода часто используется велиyˆi − y ( x i ) .чина ε(h) = maxi = 0,1,..., nМожно показать, что если локальная ошибка имеет порядок ( p + 1) , т.е.ε i +1 (h) = O (h p +1 ) , то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е.e n (h) = O (h p ) .Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов.
Она проверяется на «тестовом примере»y ′ = μ y,y (0) = 1 ,где μ – в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение являетсяпростейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме.Метод называется ограниченно устойчивым, если существует такое число hкр. > 0 ,что при использовании метода для решения тестового примера, где Re μ < 0 , с шагом0 < h < hкр. при i → ∞ глобальная ошибка ограничена. Величина hкр. называется критическим шагом. Если h > hкр. , глобальная ошибка может неограниченно возрастать.
В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага h необходимо учитыватьзначение критического шага hкр. . Для сложных дифференциальных уравнений и систем137нахождение hкр. является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивыпри любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемойточности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен).Метод называется А-устойчивым, если при его применении с любым фиксированным положительным шагом h все численные решения тестового примера с комплекснойконстантой μ ( Re μ < 0 ) стремятся к нулю при i → ∞ .А.
ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙА1. Явный метод ЭйлераРассмотрим проблему нахождения численного решения задачи Коши:dy= f ( x , y ),dxy(x 0 ) = y0 .Вводится в общем случае неравномерная сетка Ωn = (x0 , x1,...,xi , xi +1,...,xn ) . Величина шага hi +1 = x i +1 − x i выражается через узловые точки. Для аппроксимации производной⎛ dy ⎞⎜ ⎟⎝ dx ⎠x = xiиспользуем⎛ dy ⎞Ш 2,i = (x i , x i +1 ) : ⎜ ⎟⎝ dx ⎠x = xi=формулу,y i +1 − y ihi +1записанную+ O (hi +1 )надвухточечномшаблоне⎛ h i +1⎞M 2,i ⎟⎟ .⎜⎜⎝ 2⎠Далее заменяется правая часть уравнения ее сеточным представлением, т.е.f ( x , y ) → f ( x i , yi ) , а вместо y ( x ) рассматривается сеточная функция yˆi ≈ y ( x i ) , которая определяется только в точках сетки.
Выполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение:y i +1 − y ihi +1+ O(hi +1 )= f ( xi , y i ) .После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема Эйлера первого порядка (явный метод Эйлера):yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ,i = 0, n − 1 , yˆ0 = y 0 ;Порядок точности метода, как правило, определяется порядком аппроксимациисхем, явный метод Эйлера является ограниченно устойчивым с критическим шагом2hкр.
= − (см. тестовый пример).μ138А2. Метод Эйлера-КошиДля аппроксимации производной применяется формула:⎛ dy ⎞⎜ ⎟⎝ dx ⎠x = xi=⎛ h2⎞⎜M 3,i ⎟ .⎜ 6⎟⎝⎠y i + 1 − y i −1+ O (h 2 )2hВыполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение:y i +1 − y i −12h+ O(h 2 ) = f ( x i , y i ) .После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема метода Эйлера–Коши второго порядка:yˆi +1 = yˆi −1 + 2h ⋅ f ( x i , yˆi ) , i = 1, n − 1 .Для начала расчетов требуется иметь две «разгонные» точки yˆ0 , yˆ1 . Первая определяется известным начальным условием yˆ0 = y 0 , а вторая может быть найдена с помощью другого метода, например, по формуле: yˆ1 = y 0 + h1 f ( x 0 , y 0 ) .А3. Модифицированный метод ЭйлераМодифицированный метод Эйлера второго порядка:yˆi+12= yˆi +hi +12f ( x i , yˆi ) ,i = 0, n − 1 ,h⎛⎞yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + 1 ⎟⎟ ,22 ⎠⎝i = 0, n − 1 .Интервал устойчивости h μ ∈ (−2, 0) (здесь μ – действительное число в тестовомпримере) модифицированного метода Эйлера совпадает с интервалом устойчивости явного метода Эйлера.А4.