Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015), страница 12

е. вектору X . Отсюда определим вектор нормальной силы = Cn qS N 0,N 0 задается условиемгде единичный вектор N0 =N1 0 0 0 (sin αs = 0).(V × X ) × Xsin αsЕсли sin αs = 0 (αs = 0 или π), то нормальная сила не возникает (Сn = 0). 0 удобно вычислять в связанной системе координат, гдеСоставляющие вектора N 0 = (Vx0 , Vy0 , Vz0 ),VТогда можно найти0 =N 0 = (1, 0, 0).XVy0V00, −,− zsin αssin αs,а затем определить составляющие полной аэродинамической силы в связанныхосяхVy0V0X = −Cτ qS, Y = −Cn qS, Z = −Cn qS z .sin αssin αs1.8. Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат59Компоненты единичного вектора скорости в этих осях вычисляются поформуламVy0 = Vx0ln (sin γ sin ψ − cos γ sin ϑ cos ψ) + Vy0ln cos γ cos ϑ++ Vz0ln (sin γ cos ψ + cos γ sin ϑ sin ψ),Vz0 = Vx0ln (cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ) − Vy0ln sin γ cos ϑ+(1.8.8)+ Vz0ln (cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ).Найдем момент полной аэродинамической силы относительно центра масс ЛА: a = rF × N,Mгде rF = (xF , 0, 0) — радиус-вектор фокуса ЛА в связанных осях.

Отсюда имеемсоставляющие вектора аэродинамического момента в связанных осях:Max = 0,May = xF Cn qSVz0,sin αsMaz = −xF Cn qSVy0.sin αsУ статически устойчивого ЛА фокус находится позади центра масс (xF < 0);у статически нейтрального ЛА фокус совпадает с центром масс (xF = 0),а у статически неустойчивого ЛА фокус находится перед центром масс (xF > 0).Как правило, баллистические ракеты и ракеты-носители являются статическинеустойчивыми.Таким образом, для ЛА типа ракеты составляющие реактивной, аэродинамической и управляющей сил и моментов могут быть представлены в следующемвиде:Px + X + Xctr = Px − Cτ qS + Cxδ δx ,Vy0+ Cyδ δϑ ,sin αsV0= Pz − Cn qS z + Czδ δψsin αsPy + Y + Yctr = Py − Cn qSPz + Z + ZctrиΣMx =(1.8.9)(yPj Pzj − zPj Pyj ) + Cγδ δγ ,jΣMy =(zPj Pxj − xPj Pzj ) + xF Cn qSVz0+ Cψδ δψ ,sin αs(xPj Pyj − yPj Pxj ) − xF Cn qSVz0+ Cϑδ δϑ .sin αsjΣMz =j(1.8.10)тягидвигателя в связаннойЗдесь Pxj , Pyj , Pzj — составляющие j-го маршевогосистеме координат; Px =Pxj , Py =Pyj , Pz =Pzj ; xPj , yPj , zPj — компонентыjjjрадиуса-вектора, соединяющего начало координат и точку приложения тяги j-гомаршевого двигателя; коэффициенты Cxδ , Cyδ , Czδ , Cγδ , Cψδ , Cϑδ и величины60Глава 1.

Уравнения движенияотклонения «рулей» δx , δγ , δψ , δϑ определяются типом используемых органовуправления (см. 1.6). Изменение по времени положения «рулей» определяетсяпринятым алгоритмом управления.Текущая масса ЛА вычисляется по формулеm(t) = m0 + ṁt,где m0 = m(0) — начальная масса,ṁ = −(m)β̃j−j(1.8.11)(ctr)β̃j(1.8.12)j(m)— суммарный секундный расход массы, β̃j— секундный расход массы топлива(ctr)β̃j— секундный расход топлива j-го рулевого двигатеj-го маршевого двигателя,ля (если управление осуществляется при помощи специальных двигателей).При известном алгоритме работы автомата стабилизации, формирующего потребные отклонения «рулей», соотношения (1.8.9), (1.8.11), (1.8.12) позволяютвычислять составляющие кажущегося ускорения (1.8.3), а затем интегрироватьуравнения движения центра масс (1.8.2).

Составляющие силы притяжения определяются принятой моделью гравитационного поля. Для вычисления текущегопространственного угла атаки (1.8.7) одновременно должны интегрироваться уравнения движения ЛА относительно центра масс (1.8.5), где составляющие моментовопределяются уравнениями (1.8.10).1.8.5. Движение ЛА самолетного типа. Обсудим теперь некоторое отличиеуравнений движения ЛА самолетного типа. Для него аэродинамические силыи моменты задаются в полусвязанной системе координат как функции угловатаки α и скольжения β.

Переход к связанным осям осуществляется с помощьюпреобразований (1.4.1). Определим углы α и β через текущие параметры движения.Пусть Z 0 — единичный вектор, направленный по связанной оси 0z (или оси 0zsb ,так как эти оси совпадают). Его составляющие в начальной стартовой системекоординат соответствуют последней строке матрицы L (1.2.1a):Zx0 ln = cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ,Zy0 ln = − sin γ cos ϑ,Zz0ln = cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ. 0 и Z 0 имеем:Из скалярного произведения векторов Vβ = arcsin Vx0ln Zx0 ln + Vy0ln Zy0 ln + Vz0ln Zz0ln .

0 , направленный по оси 0xsb полусвязаннойНайдем теперь единичный вектор Xsbсистемы координат. Единичный вектор1 0 Z × V0cos β1.8. Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат61направлен по оси 0ysb . Тогда требуемый единичный вектор определяется какZ 0 × V 0 × Z 0 , sb0 = 1Xcos βоткуда находятся его составляющие в стартовых осях1 0 0 0Zz ln Zz ln Vx ln − Zx0 ln Vz0ln − Zy0 ln Zx0 ln Vy0ln − Zy0 ln Vx0ln ,Xx0sb =cos β1 0 0 0Zx ln Zx ln Vy ln − Zy0 ln Vx0ln − Zz0ln Zy0 ln Vz0ln − Zz0ln Vy0ln ,Xy0sb =cos β1 0 0 0ZZ V − Zz0ln Vy0ln − Zx0 ln Zz0ln Vx0ln − Zx0 ln Vz0ln .Xz0sb =cos β y ln y ln z ln0 и X0:Угол атаки α определим из скалярного произведения векторов Xsbα = arccos(Xx0ln Xx0sb + Xy0ln Xy0sb + Xz0ln Xz0sb ),гдеXx0ln = cos ϑ cos ψ,Xy0ln = sin ϑ,Xz0ln = − cos ϑ sin ψ.Зная углы α и β, а также число M и высоту h полета, можно вычислитькоэффициенты аэродинамических сил и моментов по заданным характеристикамЛА.

Затем найдем в связанных осях составляющие силPx + X + Xctr = Px + (−Cx cos α + Cy sin α)qS + Cxδ δx ,Py + Y + Yctr = Py + (Cx sin α + Cy cos α)qS + Cyδ δϑ ,Pz + Z + Zctr = Pz + Cz qS + Czδ δψи моментовMx =(yPj Pzj − zPj Pyj ) + mx qSl + mxω̄x ωx qSjMy =jMz =jω̄(zPj Pxj − xPj Pzj ) + my qSl + my y ωy qSl2+ Cγδ δγ ,Vl2+ Cψδ δψ ,V(xPj Pyj − yPj Pxj ) + mz qSLf + mzω̄z ωz qSL2fV+ Cϑδ δϑ .Здесь дополнительно учтены демпфирующие моменты, которыми для ЛА типабаллистических ракет и ракет-носителей обычно пренебрегают.В результате интегрирования уравнений движения центра масс, записанныхв начальной стартовой системе координат, и уравнений движения относительноцентра масс, записанных в связанной системе координат, определяются текущие координаты ЛА и составляющие его вектора скорости, а также его пространственнаяориентация.

По найденным величинам можно вычислить все требуемые параметрыдвижения, например, трассу на поверхности Земли, составляющие скорости относительно поверхности Земли или относительно вращающейся атмосферы и т. п.62Глава 1. Уравнения движенияЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 11.1. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Гостехиздат, 1949.1.2. Циолковский К. Э. Исследование мировых пространств реактивными приборами // Научное обозрение. 1903. № 5.1.3. Аппазов Р. Ф., Лавров С.

С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ракетдальнего действия. — М.: Наука, 1966.1.4. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М. Теория неуправляемых ракет. — М.: Физматгиз, 1959.1.5. Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела переменного состава. — М.: Оборонгиз, 1963.1.6.

Космодемьянский А. А. Курс теоретической механики. — М.: Учпедгиз, 1955.1.7. Охоцимский Д. Е. К теории движения ракет // Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10. С. 251–272.1.8. Горбатенко С. А., Макашов Э. М., Полушкин Ю. Ф., Шефтель Л. В. Механика полета: Инженерный справочник. — М.: Машиностроение, 1969.1.9. Лебедев А. А., Герасюта Н. Ф. Баллистика ракет. — М.: Машиностроение,1970.1.10.

Загребин Д. В. Введение в теоретическую гравиметрию. — М.: Наука, 1976.1.11. Surber T. E., Olsen D. C. Space Shuttle Orbiter Aerodynamic Development //AIAA Paper No. 74–991, 1974.1.12. CIRA 1986 (COSPAR International Reference Atmosphere 1986).1.13. Рамазов А. А., Сихарулидзе Ю. Г. Глобальная модель вариаций плотностиатмосферы Земли на высотах 0–150 км // Космические исследования. 1980.Т. 18, № 4. С. 527–534.1.14. Рамазов А. А., Сихарулидзе Ю. Г. Модель сезонно-широтных вариаций плотности атмосферы Земли на высотах 0–150 км.

// Космические исследования.1980. Т. 18, № 2. С. 219–227.1.15. Корчагин А. Н., Косточко П. М., Сихарулидзе Ю. Г. Вычислительная модельвозмущенной атмосферы Земли // Космические исследования. 1999. Т. 37,№ 3, С. 267–275.1.16. Рамазов А. А., Самотохин А. С., Сихарулидзе Ю. Г. Сезонно-широтная и суточная модель поля ветров в атмосфере Земли на высотах 0–150 км //Космические исследования. 1982.

Т. 20, № 1. С. 55–64.1.17. Рамазов А. А., Сихарулидзе Ю. Г. Глобальная модель поля ветров в атмосфере Земли на высотах 0–150 км. // Космические исследования. 1982. Т. 20,№ 3. С. 376–381.1.18. Hewish M. Word Missiles Directory // Flight International. 1978. Vol. 113,No. 3612. P. 1761.1.19.

Щеверов Д. Н. Проектирование беспилотных летательных аппаратов. — М.:Машиностроение, 1978.1.20. Baker D. Evolution of the Space Shuttle // Spaceflight. 1976. Vol. 18, No. 9,P. 304–326.Литература к главе 1631.21. Алемасов В. Е., Дрегалин А. Ф., Тишин А. П. Теория ракетных двигателей. —М.: Машиностроение, 1969.1.22. Hyland R. E. A Mini-Cavity Reactor for Low-Thrust High-Specific ImpulsePropulsion // Journal of Spacecraft and Rockets. 1972. Vol.

9, No. 8. P. 601–606.1.23. Bussard R. W., De Lauer R. D. Fundamentals of Nuclear Flight. — New York,1966.1.24. Thom K. Review of Fission Engine Concepts // Journal of Spacecraft and Rockets.1972. Vol. 9, No. 9. P. 633–639.1.25. Челомей В. Н., Полухин Д.

А., Миркин Н. Н., Орещенко В. М., Усов Г. Л.Пневмо-гидравлические системы двигательных установок с жидкостнымиракетными двигателями. — М.: Машиностроение, 1978.1.26. Gaffin R. D. Space Shuttle Solid Rocket Booster Nozzle Flexible Seal Pivot PointDynamics // AIAA Paper No. 986, 1977.1.27. Thirkill J. Solid Rocket Motor for Space Shuttle Booster // AIAA PaperNo. 75–1170, 1975.1.28. Лахтин Л. М. Свободное движение в поле земного сфероида. — М.: Физматгиз, 1963.Глава 2АКТИВНЫЙ УЧАСТОКНаиболее сложным этапом всей траектории движений ЛА является активныйучасток.

На активном участке полет ЛА происходит с работающими двигателями, которые обеспечивают разгон и достижение заданных параметров движенияв конце этого участка. При исследовании активного участка необходимо учитыватьалгоритмы (или законы) формирования команд системы управления.Целевое назначение ЛА налагает свои требования на траекторию активногоучастка, а следовательно, на алгоритмы управления. В частности, существенноразличаются траектории баллистических ракет, предназначенных для стрельбыпо заданным целям, и траектории ракет-носителей, используемых для выведенияполезных нагрузок на околоземные орбиты. Кроме того, на траекторию активногоучастка могут влиять различные ограничения, например, по максимальному скоростному напору, по скоростному напору в момент разделения первой и второйступеней, по допустимым нормальной (вдоль оси 0y) и осевой (вдоль оси 0x)перегрузкам и т.