15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (Лекции по теории оптимизации и численным методам)

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯНа практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо так, чтобы критерий принял минимальное или максимальное значение.Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов, т.е. величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.Пример.

На плоскости t, x  заданы две точки t 0 , x 0  , T , xT  . Требуется соединить эти две точки гладкой кривой, имеющей наименьшую длину (рис. 1).xxTx * (t )x (t )x00t0TtРис. 1 Длина кривой, соединяющей две заданные точки, находится по формулеI x (t ) T1  x  2 (t ) dt .t0Таким образом, решение задачи сводится к определению такой непрерывнойфункции x  t  , имеющей на отрезке t 0 ,T  непрерывную производную и удовлетворяющей заданным граничным условиям x t 0   x 0 , x T   xT , на которой критерийI x (t ) примет минимальное значение. Критерий зависит от функции x (t ) и представляет собой функционал.

Очевидно, решением является прямая x  t  , соединяющая двезаданные точки. Переменная I [ x (t )] называется функционалом, зависящим от функции x (t ) , есликаждой кривой из заданного класса функций M соответствует вполне определенноедействительное значение I , т.е. функции x (t ) соответствует число.Класс M функций (кривых), на которых определен функционал, называется егообластью определения.11Пример 2. Найти значения функционала I x (t )   x (t ) dt на следующих кривых,0образующих класс M : x1 t   t , x 2 t   t , x 3 t    t  12  1 (рис. 2).2x1x3 (t )x1 (t )x 2 (t )0t1Рис. 2 Заметим, что все кривые проходят через две точки 0; 0  , 1; 1 , т.е.

удовлетворяют граничным условиям x 0   0 , x 1  1 . Найдем значения функционала, соответствующие каждой кривой из класса M :I x1 (t ) 10t2t dt 210I x 3 (t ) 1 ;210I x 2 (t ) 10[  t  12  1 ] dt t3t dt 31201;32.3В данном примере функционал имеет простой физический смысл – площадь подкривой x (t ) . Каждой кривой из класса M поставлено в соответствие число, равное площади.

Очевидно, может быть сформулирована задача о нахождении такой кривой изкласса M , площадь под которой была бы минимальна (максимальна). Функционал I [ x (t )] называется непрерывным, если малому приращению функции x (t ) соответствует малое изменение функционала. Уточним, какие измененияфункции называются малыми или, что то же самое, какие кривые называются близкими.Будем полагать, что функционал I [ x (t )] определен на элементах x (t ) линейногонормированного пространства функций, в котором каждому элементу x t  поставлено всоответствие действительное число x , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:1) x  0 и x  0 тогда и только тогда, когда x  0 (0 – нулевой элемент);2) x    x ;3) x  y  x  yдля любых элементов x, y , принадлежащих пространству, и любого действительногочисла  .Предметом нашего рассмотрения будут, как правило, пространства C 0 ,C 1 .2Пространство C 0 ([t 0 ,T ]) состоит из непрерывных функций (кривых) x t  , опре-деленных на отрезке t 0 ,T  .

В пространстве C 0 ([t 0 ,T ]) норма вводится следующим образом: x 0  max x (t ) .t [t0 ,T ]Пусть x  t   C 0 ([t 0 ,T ]) и   0 – произвольное число. -окрестностью нулевого порядка кривой x  t  называется совокупность кри-вых x t   C 0 ([t 0 ,T ]) , такая, чтоx  x0 maxt [t0 ,T ]x t   x  t    .(1)Это означает, что расстояние от кривой x * t  до кривых x t  мало (рис. 3), т.е. графикикривых x t  целиком лежат внутри полосы шириной 2 , окружающей график функцииx * t  . В данном случае можно считать близкими кривые, близкие по ординатам.xxTx (t )x00x * (t )t0TtРис. 3Пространство C 1 ([t 0 ,T ]) состоит из непрерывных функций (кривых) x t  , определенных на отрезке t 0 ,T  и имеющих на этом отрезке непрерывную производную.

Впространстве C 1 ([t 0 ,T ]) норма вводится следующим образом:x1 maxt [t0 ,T ]x (t )  maxt [t0 ,T ]x (t ) .Пусть x  t   C 1 ([t 0 ,T ]) и   0 – произвольное число. -окрестностью первого порядка кривой x  t  называется совокупность кри-вых x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , такая, что3x  x1 maxt [t0 ,T ]x (t )  x  (t )  maxt [t0 ,T ]x (t )  x *' (t )   .(2)Это означает, что у кривых x t  и кривой x * t  близки не только ординаты, но и значенияпроизводных (рис. 4).

Действительно, если x  x ливы неравенства1  , то для всех t  [t 0 ,T ] справед-x (t )  x *' (t )   . Отсюда следует, что кривая,x (t )  x  (t )   ипринадлежащая  -окрестности первого порядка, принадлежит и  -окрестности нулевогопорядка (см. рис. 3).Аналогично вводится норма в пространстве C m ([t 0 ,T ]) функций, имеющих непрерывные производные до порядка m включительно, т.е.xmmmaxp  0 t [t0 ,T ]x ( p ) (t ) .xxTx (t )x * (t )x00t0TtРис. 4Кривые x t  , на которых сравниваются значения функционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения.Обозначим через x  t  допустимую кривую, на которой функционал достигаетэкстремума, а через x t  произвольную допустимую кривую.

Разность x t   x  t   x t называется вариацией кривой x  t  .Вариация x t  есть функция t и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция x t  . Используя вариацию x t  , можно представить любуюдопустимую кривую x t  в видеx t   x  t   x t  .Однако нами используется и другая запись4(3)x t   x  t    x t  .(4)В выражении (4) x t  – фиксированная функция, а  – числовой параметр.

Очевидно, что при   0 справедливо x t   x  t  .Назовем приращением функционала I разностьI  I [ x (t )]  I [ x * (t )] .(5)Линейным функционалом называется функционал I x t  , удовлетворяющий следующим условиям: I  c  x t    c  I x t  , I x1 t   x 2 t   I x1 t   I x 2 t , где c – произвольная постоянная.Дадим определение первой вариации функционала с использованием (3).Если приращение функционала I  I x * (t )  x (t )  I x * (t ) можно представитьв видеI  I x * t  , x   x * t  , x  max x ,  где I x * t  , x – линейный по отношению к x (t ) функционал, max x – максималь-ное значение x и  x * t  , x  0 при max x  0 , то главная, линейная по отноше-нию к x часть приращения функционала, т.е.

I x * t  , x , называется первой вариацией функционала.Можно дать другое определение первой вариации, используя (4).Так как I [ x  t    x (t )] есть функция () числового параметра  , то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки   0 по степеням  , найдем2 2I  I [ x t    x (t )]  I [ x (t )]   I  I  ,(6)2гдеd ()d I [ x  t    x (t )]I (7) 0 0ddи называется первой вариацией функционала,2I d 2 I [ x  t    x (t )]d 2 0и называется второй вариацией функционала и т.д.З а м е ч а н и я.1.

Мы привели два определения вариации функционала. Если существует вариацияв смысле главной линейной части приращения функционала, то существует вариация всмысле производной по параметру и эти определения эквивалентны.2. В литературе вместо I [ x (t )] часто используется обозначение I [ x ()] , чтобы явноразличить элемент x () соответствующего функционального пространства и значениефункции x (t ) при фиксированном t .3.

Каждую функцию, принадлежащую классу M , можно рассматривать как точкунекоторого пространства.5Говорят, что функционал I [ x (t )] , определенный на классе M кривых x t  , достигает на кривой x  t  глобального минимума (максимума), еслиI [ x * (t )]  I [ x (t )] I [x (t )]  I [x(t )] *x t   M .Пример 3. Найти глобальные максимум и минимум функционала из примера 2. Очевидно, на заданном классе M допустимых кривых функции x 2 t   t 2 соответствует наименьшее значение функционала (ей соответствует наименьшая площадь подкривой на рис.

2), а кривой x 3 t   наибольшее значение (ей соответствует наибольшаяплощадь под кривой на рис. 2). Понятие локального минимума (максимума) связано с исследованием поведенияфункционала на близких кривых. Различают сильный и слабый локальный минимум(максимум).Говорят, что функционал I x t  достигает на кривой x  t  сильного минимума(максимума), если I [ x * (t )]  I [ x (t )]порядка кривой x t  . I [x (t )]  I [x(t )] *в  -окрестности нулевогоГоворят, что функционал I x t  достигает на кривой x  t  слабого минимума(максимума), если I [ x * (t )]  I [ x (t )]рядка кривой x  t  . I [x (t )]  I [x(t )]  в  -окрестности первого по*Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальнымиэкстремумами.З а м е ч а н и е.