1611257148-3fcbe9bca21f0b2c84e721e9e7e203b2 (Сиковский ДФ "методы вычислительной теплопередачи")

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТД.Ф. СиковскийМетоды вычислительной теплопередачиРасширенный конспект лекцийНОВОСИБИРСК, 2007ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕРазвитие вычислительной гидрогазодинамики (CFD) началось с появлением компьютеровв начале 50-х годов прошлого века.1958 – 1967: Los Alamos Scientific Lab. (Group T-3) заложены основы таких численныхметодов, как Particle-in-Cell, Marker-and-Cell и др.1960-е–70-е годы: D.B.Spalding и др.: k-ε-модель турбулентности, алгоритм SIMPLE,модель обрыва вихря при горении (Eddy-Break-Up)1980-е годы: появление первых коммерческих CFD кодов общего назначения PHOENICS,FLUENT, FIDAP, STAR-CD, CFX1990-е годы: начало бурного развития индустрии CFD кодов вызванное ростомпроизводительности компьютеров (закон Мура: производительность удваивается каждые1.5-2 года). CFD коды становятся инструментами для инженеров-конструкторов.В настоящее время активно развивается (за рубежом) индустрия пакетов программ (CFDcodes).

Мировые лидеры – ANSYS CFX (позиции которого станут доминирующими послепоглощения Fluent Inc.), CD adapco Group (пакеты StarCD, StarCCM+), и др.Для дальнейшего распространения применения CFD кодов в промышленности какнеобходимого звена процесса конструирования, производства и поддержки продуктанеобходимо упрощение и автоматизация процедуры их использования, в особенности,импорта геометрии, генерации сетки и контроля процесса решения.

Важную роль здесьиграет дальнейшее развитие моделей турбулентности, в особенности, турбулентноготеплопереноса.Современные тенденции: интеграция с семейством пакетов программ для инженеровконструкторов CAD, SolidWorksCFD КАК ВЕТВЬ АЭРОГИДРОДИНАМИКИВ настоящее время вычислительная гидродинамика является одной из ветвей современнойгидродинамики, в которой можно выделить три направления:1) Теоретическая гидрогазодинамика: точные решения уравнений Навье-Стокса,построение решений с помощью асимптотических методов (теория пограничного слоя,теория групп и др.) и методов статистической физики (теория турбулентности)22) Экспериментальная гидрогазодинамика: получение новой информации о свойствахпотоков, проверка справедливости и пригодности приближённых решений уравненийгидрогазодинамики3) Вычислительная гидрогазодинамика: дополнение экспериментальной и теоретическойгидродинамики – альтернативное и экономически эффективное средство моделированияреальных течений.Преимущества CFD перед экспериментальной гидрогазодинамикой:1) снижение времени предварительной подготовки при проектировании и приразработке2) возможностьмоделированияусловийтечений,трудновоспроизводимыхвэксперименте3) получение более широкой и подробной информации о физических величинахпотока4) меньшая стоимость работОбласти применения:1) Аэрокосмическая индустрия2) Автомобильная промышленность3) Медицина и биомедицина4) Химическая промышленность5) Производство товаров потребления6) Охлаждение электронных приборов7) Задачи динамики окружающей среды8) Пищевая промышленность9) Энергетика10) Машиностроение11) Металлургия12) Нефтегазовый комплекс13) Производство полимеров14) Спортивная индустрия3Структура CFD-пакета программПрепроцессор:Задание геометрииобъектаПостроение сеткиПостпроцессорСолвер(Solver)Организация,интерпретация,визуализациярезультатов расчётаЗадание физическихпараметров,начальных играничных условий,выбор алгоритмовМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ ИТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСАУравнения переноса, следующие из законов сохранения массы, импульса, энергииУравнение неразрывности:∂ρ ∂(ρui )+=0∂t∂xiУравнение переноса импульса:ρ ⎜⎜⎛ ∂ui⎝ ∂t+uj∂ui∂x j⎞∂Π ij ∂p⎟ = ρf i +−⎟∂x∂xij⎠⎛ ∂u ∂u j 2 ∂u k ⎞⎟ + ςδ ij ∂u k− δ ijТензор напряжений ньютоновской жидкости Π ij = µ ⎜ i +⎜ ∂x⎟∂xk⎝ j ∂xi 3 ∂xk ⎠G GGТензор напряжений реологической или турбулентной среды Π ij = L ij [u ( x ′, t ′); x , t ] , t ′ < tУравнениепереносатепла⎛ ∂T∂u∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞⎟⎟ + Π ij i + σ T⎜⎜ λ⎟⎟ =+ ui∂x j∂xi ⎠ ∂xi ⎝ ∂xi ⎠⎝ ∂tρc⎜⎜4(несжимаемаяжидкость):Уравнение диффузии:∂C∂C∂ ⎛ ∂C ⎞⎟ +σC⎜D+ ui=∂t∂xi ∂xi ⎜⎝ ∂xi ⎟⎠Уравнения пограничного слоя вдоль плоской поверхности, обтекаемой потоком соскоростью U ( x )u∂ 2 u ∂u ∂v∂ 2T∂u∂T∂u∂T+= 0, u= U (x )U ′( x ) + ν 2 ,= +a 2+v+v∂x ∂y∂y∂y∂x∂x∂y∂yНАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯG1.

Условие Дирихле u i ( x , t ) = f i ( x , t ) на границе области.GПримеры: условие прилипания для скорости на твёрдых границах u = 0 ,условие заданной температуры на границеGG∂ui ( x , t )= gi ( x , t ) на границе области.2. Условие Неймана∂nПримеры: заданный поток тепла на границе λG∂T= qw ( x , t )∂nGGG∂ui ( x , t )+ κui ( x , t ) = gi ( x , t ) на границе области.3. Смешанные граничные условия∂n∂T= hw (T − Ta ) + εσ (T 4 − Ta4 )∂nПримеры: условие теплоотдачиλпристеночныетурбулентного∂U∂y=y = y1функциидляvτ (U1 , y1 ,ν )κy15течениявблизитвёрдойграницыМЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙДискретизацияуравнений–заменанепрерывнойобластисовокупностьюизолированных точек (сетка), причём решение уравнений ищется только в этих точках(узлах сетки).Уравнение в частных производных сводится к системе алгебраических уравнений.Основные обозначения, которые будут использоваться в дальнейшемна примере решения некоторой задачи u ( x, y ) в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ Lx , 0 ≤ y ≤ LyВведём декартову сетку, узлы которой являются точками пересечений линий декартовойсистемы координат с абсциссами {xi } и ординатами{y },jгде i = 1,..., N x , j = 1,..., N y –индексы узлов, N x , N y – количество узлов вдольx- и y-направлений.i,j+1Значение вычисляемой переменной в узле сетки скоординатамипространственнымиxiиyjобозначается нижними индексами:uij = u (xi , y j )Еслиимеетсязависимостьотвремени,xii-1,jhi-1/2,jxihномерузлавовремениyjhтообозначаетсяi,ji+1,jxi+1hi,j-1аналогично вводится временная сетка {tn } , приэтомyj+1yj«Вычислительная молекула»верхним индексомuijn = u (xi , y j , tn )Верхним индексом обозначается также любая маршевая координата.Шаг сетки: hix = xi − xi −1В случае если в уравнениях присутствуют производные не только от физическойвеличины, но и от её градиентов (потоков), удобно вводить также значения функции вполуцелых узлах сетки⎛ x + xi⎞ui −1 2 , j = u⎜ i −1, yj ⎟2⎝⎠6КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХОПЕРАТОРОВМатематический аппарат – ряд Тейлора.Определение: ПустьLu ( x ) –дифференциальное выражение, аLhui – его конечно-разностное выражение в точке xi.

Если при достаточно малых h имеет место соотношениеLu( xi ) − Lhui = ψ i = O (hγ ) , γ > 0то ψ i называется погрешностью аппроксимации (невязкой), а величина γ – порядкомаппроксимации.Символ O широко используется в асимптотических методах. Выражение f ( x ) = O (g ( x )) для всех x ∈ Sозначает, что существует такая константа K, не зависящая от x, что для всех x ∈ S имеет местоf (x ) ≤ K g (x ) .Конечно-разностные аппроксимации первой производнойправая∇ +ui =разность(берутсявеличиныпоправуюсторонуотузла):ui +1 − ui ∂u=+ ψ i+hi +1∂x iлевая разность (берутся величины по левую сторону от узла): ∇ −ui =ui − ui −1 ∂u=+ ψ i−hi∂x iгде ψ i± – погрешности аппроксимаций.Из формулы Тейлора следуетψ i+ =hi +1 ∂ 2uhi2+1 ∂ 3uhi ∂ 2uhi2 ∂ 3u3−(),++Ohψ=−++ O (hi3 )i +1i23232! ∂x i3! ∂x i2! ∂x i 3! ∂x iт.е.

ψ i± = O (h ) – правая и левая разности имеют погрешность аппроксимации первогопорядка.Если сложим правую разность, умноженную на hi и левую разность, умноженную на hi +1 ,то главные члены погрешностей сократятся, что позволяет нам повысить порядокаппроксимации производной до второгоhi ∇ +ui + hi +1∇ −ui ∂uhi hi +1 ∂ 3u∇ui ==++ O (hi3 )33! ∂x ihi + hi +1∂x iна равномерной сетке hi = h получаем центральную разность ∇ui =7ui +1 − ui −12hКонечно-разностная аппроксимация второй производнойДля получения аппроксимации второй производной применим два раза центральноразностный оператор∇ 2ui =∇ui +1 2 − ∇ui −1 2=i=1=i⎛ ui +1 − ui ui − ui −1 ⎞h + hi +1⎜⎜⎟⎟ , где = i = i– шаг «полуцелой сетки»−2hi ⎠⎝ hi +1Применяя формулу Тейлора, можно показать, что∇ 2ui =∂ 2uhi +1 − hi ∂ 3uhi2+1 − hi hi +1 + hi2 ∂ 4u+++ O (hi3 )432312∂x i∂x i∂x iт.е.

∇ 2ui является аппроксимацией первого порядка.На «слабонеравномерных» сетках, таких, что hi +1 − hi = O (h 2 ) , ∇ 2ui можно рассматривать,как аппроксимацию второго порядка.На равномерной сетке ∇ 2ui является аппроксимацией второго порядка:∇ 2ui =ui +1 − 2ui + ui −1 ∂ 2u= 2 + O ( h2 )h2∂x iКонечно-разностная аппроксимация диффузионного оператора1⎛d ⎡du ⎤u −uu −u ⎞λ ( x ) ⎥ = ⎜⎜ λi +1 2 i +1 i − λi −1 2 i i −1 ⎟⎟ + ψ i⎢dx ⎣dx ⎦ i = i ⎝hi +1hi ⎠ψi =hi +1 − hi ⎡λu′′′ + 3(λu′)″ ⎤⎥ + O (h 2 )⎢⎣⎦i12Компактные аппроксимации высоких порядков точностиРассмотрим выражение для невязки конечно разностной аппроксимации второйпроизводной∇ 2ui =( )∂ 2uh 2 ∂ 4u++ O h424∂x i 12 ∂x iВведём обозначение q =∂ 2uи перепишем выражение следующим образом∂x 2( )( )h2 ∂ 2qh2 24∇ ui = qi ++ O h = qi + ∇ qi + O h 4 , или212 ∂x i1228( )ui +1 − 2ui + ui −1 qi +1 + 10qi + qi −1=+ O h42h12– неявная аппроксимация второй производнойчетвёртого порядка, построенная на трёхточечном шаблоне.КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙОпределение: Если при достаточно малых h после подстановки решения u ( x )дифференциального уравнения Lu ( x ) = f ( x ) в его конечно-разностную аппроксимациюLhU i = Ph f i в виде ui = u ( xi ) выполняется соотношениеLhui − Ph f i = ψ i = O (hγ ), γ > 0то ψ i называется погрешностью аппроксимации (невязкой) разностного уравнения, авеличина γ – порядком аппроксимации.Аппроксимации уравнения конвекции-диффузииОдномерное стационарное уравнение конвекции-диффузии:u( x )dϕd ⎡dϕ ⎤()x=λ− k ( x )ϕ + σdx dx ⎢⎣dx ⎥⎦Рассмотрим конечно-разностную аппроксимацию[]ui α∇ +ϕ i + (1 − α )∇ −ϕ i =1=i⎛ϕ − ϕiϕ − ϕ i −1 ⎞⎟⎟ − kiϕ i + σ i , 0 ≤ α ≤ 1⎜⎜ λi +1 2 i +1− λi −1 2 ihi +1hi⎠⎝(*)погрешность аппроксимации которой на «слабонеравномерной» сетке составляетui [αhi +1 − (1 − α )hi ] ∂ 2ϕ+ O (h 2 )2∂x i2Конечно-разностную схему (*) можно записать в виде трёхточечного разностногоуравненияaiϕ i +1 + d iϕ i + biϕ i −1 = ciai = α(**)λi +1 2uiu λi −1 2−, bi = −(1 − α ) i −, d i = ki − ai − bi , ci = σ ihi +1 = i hi +1hi = i hid i – диагональный коэффициент9ai , bi – внедиагональные коэффициенты разностного уравненияПринцип максимума: Если в разностном уравнении (**) правая часть положительна(отрицательна): ci ≥ 0(ci ≤ 0) для всех i, то при выполнении условий d i > 0 , ai , bi < 0 , атакже условия диагонального преобладания:d i ≥ − ai − bi , (преобладание по строкам), илиd i ≥ − ai −1 − bi +1 , d1 ≥ −b2 , d N ≥ − a N −1 (преобладание по столбцам)имеет место ϕ i ≥ 0(ϕ i ≤ 0 )Доказательство проводится от противного.