2.6. Методы решения задач с несколькими пространственными переменными (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

порядок аппроксимации разностной схемы по шагу ∆t не меняется.Для задачи (6.1) расщепление (6.34), (6.35) имеет простую физическуюинтерпретацию.Рассмотрим распространение тепла в плоском теле за период времени отt n до t n +1 . Указанное расщепление двумерного уравнения из задачи (6.1) надваодномерныхуравнения(6.34),(6.35)можноистолковатькакприближенную замену процесса распространения тепла на два процесса. Впервом из них, который описывается первым уравнением (6.34), мысленновводятсятеплонепроницаемыеперегородки,препятствующиераспространению тепла в направлении оси y .

Затем, по прошествии времени∆t ,взамен этих перегородок вводятся перегородки, препятствующиераспространению тепла в направлении оси x . Тогда распространение тепла,снова в течение времени ∆t , описывается уравнением (6.35).Разностный аналог задач (6.34), (6.35) может быть записан как m,k − Φ nΦm,k∆tΦn +1m,k m,k−Φ∆t m,k , = νΛ xx Φ= νΛ yy Φ nm+,k1 (6.37)гдеΛ xx Φ m, k =Λ yy Φ m ,k =Φ m +1, k − 2Φ m ,k + Φ m −1, k∆x 2Φ m, k +1 − 2Φ m ,k + Φ m ,k −1,(6.38)∆y 2- разностные аппроксимации вторых производных.Первое уравнение (6.37) преобразуется к виду m,k + d Φ m +1,k + e Φ m −1,k = fax Φгде(6.39)ax = 1 + 2ν∆t∆x2, d =e=−ν∆t∆x2,f = Φ nm , j(6.40)Второе уравнение (6.37) преобразуется к виду m, ka y Φ mn +,k1 + bΦ mn +,k1 +1 + cΦ mn +,k1 −1 = Φ(6.41)гдеay = 1+ 2ν∆t∆y2, b=c=−ν∆t∆y 2(6.42)Сравнение формул (6.39)-(6.42) с основными формулами методаприближенной аппроксимации (6.17), (6.18) показывает, что для задачи (6.1)они в точности совпадают.Таким образом, можно сделать вывод, что метод приближеннойаппроксимации основывается на расщеплении задачи по физическимпроцессам, протекающим в разных направлениях.

Отсюда и вытекают егоосновные недостатки – при больших значениях ∆t пренебрежение взаимнымвлиянием процессов, протекающих в направлении оси x и в направлении осиy , может приводить к большим погрешностям.К классу методов расщепления можно отнести так называемый методпеременных направлений. Его физическая интерпретация для уравнениятеплопроводности состоит в том, что период времени от t n до t n+1разбивается на 2 полушага.

В отличие от расщепления по физическимпроцессам, никакого отключения тепловых потоков в направлениях осей x иy не происходит. На первом полушаге тепловой поток в направлении оси xпредставляется в явной форме, т.е. через температуру в момент времени t n , атепловой поток в направлении оси y представляется в неявной форме, т.е.через температуру в момент времени t n+1 . На втором полушаге всепроисходит наоборот.Разностная схема имеет вид: m, k − Φ nΦm, k∆t / 2 m, kΦ n +1 − Φm, k∆t / 2 m, k , = νΛ xx Φ mn , k + νΛ yy Φ m, k = νΛ xx Φ mn +, k1 + νΛ yy Φ(6.43)Исследуем эту схему на устойчивость, т.е. проверим выполняется лиспектральный признак Неймана, состоящий в ограниченности решений видаΦ nm, k = λ n e (i α m+ β k ).Отметим, что если спектр λ = λ (α , β ) является собственным числомоператора перехода от значений сеточной функции на n -м слое по времени кзначениям сеточной функции на ( n + 1) -м слое, то он равен произведениюсобственных чисел операторов перехода на каждом полушаге:λ = λ1λ2(6.44)На первом полушаге спектр λ1 находится путем подстановки в первое m , k - λ n +1ei (α m + β k ) .уравнение (6.43) вместо Φ nm, k гармоники λ1n ei (α m + β k ) , а вместо Φ1Он равен2ν∆t 2 αsin∆x 22λ1 =2ν∆t 2 β1+sin2∆y 21−(6.45)Аналогично находим спектр λ21+λ2 =Отсюдаν∆t2(eiβ− 2 + e−i β )2∆yν∆t iα1−( e − 2 + eiα )2∆x 22ν∆t 2 βsin∆y 22=2ν∆t 2 α1+sin∆x 221−(6.46)2ν∆t 2 α 1 − 2ν∆t sin 2 βsin2∆y 22∆x2 ×λ =2ν∆t 2 α2ν∆t 2 β1+sin1+sin2∆x2∆y 221−(6.47)Очевидно, что первый сомножитель не превышает единицу ни при какомзначении α .

Действительно, неравенство2ν∆t 2 α2ν∆t 2 αsin1−sin2∆x2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤∆x 22 ≤1 ⇒2ν∆t 2 α2ν∆t 2 α1+sin1+sin∆x 2∆x 2222ν∆t 2 α2ν∆t 2 α2ν∆t 2 α−1 −≤1−≤1+sinsinsin22∆x2∆x2∆x 221−справедливо при любом α .Аналогично, второй сомножитель в формуле (6.47) тоже не превышаетединицу.Таким образом,λ ≤1(6.48)и необходимый спектральный признак Неймана выполняется при любыхзначениях шагов по времени и по пространству.Упражнение.Доказать, что для разностной схемы расщепления по физическимпроцессам (6.37) спектральный признак Неймана выполняется при любыхзначениях шагов по времени и по пространству.Упражнение.Определить порядок аппроксимации разностной схемы расщепления пофизическим процессам (6.37).Упражнение.Определить порядок аппроксимации схемы переменных направлений(6.43)6.6.ДляМетод установлениярешениямногих стационарных задач математической физики,описывающих равновесные состояния, имеет смысл рассматривать последниекак результат установления развивающегося во времени процесса, расчет которогочасто оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния.Мы проиллюстрируем применение метода установления примером алгоритмадля вычисления решения уравнения∂  ∂Φ  ∂  ∂Φ +S =0,Γ + Γ∂x  ∂x  ∂y  ∂y (6.49)которое получается из обобщенного уравнения (1.14) в случае стационарноготечения и пренебрежения конвекцией.Это уравнение также можно интерпретировать как дифференциальноеуравнение теплопроводности в стационарном случае.

В этом случае под Φподразумевается температура, Γ - связан с коэффициентом теплопроводности, S источник тепла.Пусть заданы граничные условия первого рода, т.е. температура на границерассматриваемой области Φ w = ψ ( x, y ) .Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распространениитеплаρ∂Φ ∂  ∂Φ  ∂  ∂Φ = Γ + S, + Γ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y Φ ( 0, x, y ) = φ0 ( x, y ) ,(6.50)Φ w = ψ ( x, y )где начальные условия φ0 ( x, y ) заданы произвольно.

Таким образом, имеетсянестационарная задача со стационарными граничными условиями Φ w = ψ ( x, y ) .Поскольку источники тепла S и температура на границе Φ w не зависят отвремени, то естественно ожидать, что и решение Φ ( t , x, y ) с течением временибудет меняться все медленнее, распределение температур Φ ( t , x, y ) в пределе приt →∞превращаетсявравновесноераспределениетемпературΦ ( x, y ) ,описываемое задачей (6.49).Поэтому вместо стационарной задачи (6.49) можно решать нестационарнуюзадачу (6.50) до того момента времени t , пока ее решение перестанет меняться впределах интересующей нас точности.

В этом и состоит идея решениястационарных задач методом установления.Математически метод установления можно обосновать следующимобразом.Как уже указывалось, после дискретизации уравнения в частныхпроизводных получается система линейных алгебраических уравнений.Применим для решения этой системы какой-либо итерационный метод(например, метод простой итерации), который можно расписать так.Исходная система имеет видAx = b(6.51)Переносим все в левую часть и умножаем на некую знакопостояннуюфункцию ττ ( Ax − b ) = 0(6.52)Прибавим и отнимем к левой части неизвестную величину xx − x + τ ( Ax − b ) = 0(6.53)и построим на основе этого выражения итеративный процесс:x(n +1)()− x( ) + τ Ax( ) − b = 0nn(6.54)где ( n ) - номер итерации.Последнее выражение можно переписать в виде:x(n +1)− x(τn)(= − Ax ( ) − bn)(6.55)Если считать, что x( n) значение решения на текущем слое по времени, аx( n +1) - значение решения на следующем шаге, то левую часть уравнения (6.55)можно рассматривать как разностную аппроксимацию частной производнойпо времени∂x, а функцию τ как шаг по времени ∆t .∂tОтсюда следует, что между итерационным процессом и эволюционнымирешениями (развивающимися во времени) есть глубокая аналогия.

Переходот одной итерации к другой, вплоть до момента, когда итерации сойдутсяможно рассматривать как движение по временным слоям вплоть дозатухания колебаний решения.При этом нам неважно, каким путем мы пришли к конечному результату,который и является решением исходного стационарного уравнения..