Кинематика. К описанию движения жидкостей

К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙСкорость и ускорениеПоложение частицы жидкой среды в произвольный момент времени tописывается координатами x=x(t), y=y(t), z=z(t) в прямоугольной системекоординат или радиус-вектором r =(x, y, z)T ( r  r(t) ).Основой описания движения жидкой среды методом Эйлера являетсявекторное поле скоростей u = u (x,y,z,t), где u =(ux, uy, uz)T – скоростьчастицы, находящейся в момент времени t в точке с координатами x, y, z.Скорость связана с изменением положения частицы d r обычнымсоотношением u =d r /dt=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)Т и, соответственно ux=dx/dt,uy=dy/dt, uz= dz/dt.Внимание! Это соотношение справедливо лишь в указанном случае,когда d r описывает перемещение частицы из рассматриваемой точки, т.е.

–является дифференциалом ее траектории. Из рассматриваемой точки (x, y, z),можно дать разные приращения d r =(dx, dy, dz)T, но лишь одно из них равноu dt=(uxdt, uydt, uzdt)T, а именно – то, которое удовлетворяет уравнениюкасательной u  dr =0, или dx/ux=dy/uy=dz/uz.Огибающая скоростей в каждой точке (для рассматриваемого моментавремени), или линия, касательная к которой в каждой точке совпадает смгновенным направлением скорости в этой точке, называется линией тока.Таким образом уравнение u  dr =0, или эквивалентные ему соотношенияdx/ux=dy/uy=dz/uz являются уравнениями линии тока.Ускорение частицы a =(ax, ay, az)T в произвольной точке в моментвремени t также является полем a = a (x,y,z,t).

Ускорение в каждой точкепредставляет собой полную производную скорости в этой точке, т.е.u u du x u du y u du za, где dx, dy, dz – не произвольныеt x dt y dt z dtприращения, а те, которые определяются движения частицы израссматриваемой точки. Следовательно,u uuuaux  uy  uz .t xyzПервое слагаемое называется локальным ускорением. Онохарактеризует изменение местной скорости в той же точке со временем.Остальные называются конвективными (конвекционными) и показываютизменение скорости в пространстве.

Проекции ускорения по осям имеют видuuuuax  x  x ux  x u y  x uz ;txyzuuuua y  y  y ux  y u y  y uz ;txyzuuuuaz  z  z ux  z uy  z uz .txyz1Входящие в эти выражения производные проекций скорости поизменениям координат принято делить на прямые (продольные)u y u x u x u z u z u yu x u y u z,,и косые (поперечные),,,,,. Такие жеx y zx y z x y zназвания используют для соответствующих составляющих проекцийuu xuконвективного ускорения по координатным осям:ux , y u y , z uz xyzu yuuuuuпрямые (продольные) иu x , x u y , x u z , z u x , z u y , y u z - косыеxyzxyz(поперечные) составляющие конвективного ускорения.Вобщемслучаеускорениеможнозаписатьввиде2u u uuuua ux  uy  uz  grad   u  rotu .t xyzt 2 Чтобы убедится в этом, достаточно рассмотреть одну из проекцийускорения и выполнить очевидные преобразования:uuuuax  x  x ux  x uy  x uz dtxyzu y u uu x u xuuuu y  y u y   x  z u z  z u z u x   x x xx dtxx z y2u x  u 2x    u y    u 2z    rotu z u y  rotu y u z dtx  2  x  2  x  2   222u z  u x uyu x  u x  u y  u z   u 2  det  u  rotu x .roturotudtx 2dtx2yz u yu y u xuuuЗдесь rotu x  z , rotu y  x  z , rotu z yzxyzxпроекции ротора.Проделав это с остальными проекциями, можно получить указанноевыше выражение ускорения.      Связь между параметрами и видом движения жидкостейНаличие или отсутствие тех или иных составляющих скорости, а такжеих производных, или особые соотношения между ними определяют вид илиособые случаи движения.Движение называется стационарным (установившимся), еслиu 0 , т.е.

отсутствует локальное ускорение. Если локальное ускорение неtравнонулю,тодвижениеназываютнестационарным,илинеустановившимся.2Далеедляупрощениядвижениебудетпредполагатьсяустановившимся.При выявления особых видов или составляющих движения удобнорассмотреть для произвольной системы координат элементарный объем ввиде прямоугольного тетраэдра, вершина О которого находится в началекоординат, а три ребра - вдоль осей этой системы (рис. 1а). Длины этих ребер- dx, dy, dz соответственно.yyxxzzРисунок 1аРисунок 1бyxzРисунок 1вЕсли отсутствуют конвективные ускорения, т.е. скорости во всехточках выделенного объема u одинаковы, то выделенный объем будетдвигаться как твердое тело, причем - поступательно, и через интервалвремени dt займет положение, показанное на рис.

1в пунктиром. Каждаяточка переместиться на udt .3Если нулю равны только косые составляющие ускорения, а прямые имеют ненулевые значения, то за dt точки выделенного объема переместятсяна различные расстояния, в частности, вершины тетраэдра переместятся наu yuudt ,udt   dx  x dxdt   e x ,udt   dy dydt   e y ,xyuudt   dz  z dzdt   ez соответственно, где e x , e y , ez - орты осей системыzкоординат. Это положение выделенного объема показано на рис.1бсплошными линиями и на рис.1в - пунктиром. Очевидно, что при этомперемещении выделенный объем деформировался.

Например, расстояниевдоль осей между вершинами тетраэдра изменится от dx, dy, dz доu yuudx  x dxdt , dy dydt , dz  z dzdt соответственно. Величинаyxzu yu xдеформации вдоль осей (линейной деформации) равнаdxdt ,dydt ,yxu yu zu xu zdzdt , относительной деформации dt ,dt ,dt , аyzxzотносительной деформации в единицу времени (скорости деформации) u x u y u z,,.yxzОчевидно, что для твердого тела такое движение невозможно. Тампроекции скорости на линию, соединяющую каждую пару точек, должнысовпадать.Если косые производные также не равны нулю, то положение вершинтетраэдрабудетопределятьсясоотношениямиudt ,u y u z u y u z  u udxdt  e x ,dydt  e yudt   x udt   x xx yy  x yu y u z  udzdt  ez , т.е.

ребра тетраэдра не только изменятudt   x zzzдлину, но и повернутся на величину, определяемую косыми производными.Для твердого тела косые производные должны быть связаныu yu yuu zu xuсоотношениями  x  z , x ,  z   y , такxyyzzxкак все точки недеформируемого тела должны иметь одинаковую угловуюскорость   ( x ,  y , z ) T .Таким образом, наличие ненулевых прямых (продольных)составляющих ускорения, а также нарушение соотношений для косых(поперечных) составляющих приводит к деформации рассматриваемогоэлементарного объема, величина которой может быть определена по этим4составляющим. Для простоты рассматривается случай плоского движения,u x u y u z 0 (заметим, что в этом случает.е.

когда uz=0,zzzэлементарный объем удобнее взять в виде призмы единичной высоты соснованием ОАВ (в этом случае очевиден переход от плоскости к объему), ане тетраэдра). Обобщение на пространственный случай, как увидим извывода - также очевидно.При нулевых косых производных грань (треугольник) ОАВ (см. рис. 2,где ОА=dx, ОВ=dy) преобразуется в треугольник О'А'В'.uy u yydyuxuyuyuxux u xdxxРисунок 2Величина объемной деформации dw, т.е. изменения объема, с учетомединичной длины вдоль оси z, равнаu yu dydt  dx  x dxdt    dy xyOA  OB OA  OB    dx  dy dw 2222uu u y1  u y dxdydt  x dxdydt  xdxdydt 2 ,2  yxx yили,оставляяслагаемыеодногопорядкамалости 1  u y u x u1  u ydxdydt .dw  dxdydt  x dxdydt   Относительная2  yx2yxобъемная деформация равна u y u x dwdt , а относительная dxdy 2  yx 5объемная деформация в единицу времени, или скорость объемнойu x u yдеформации равна.xyЕсли движение не плоское, то, проделав аналогичные выкладки дляэлементарногообъемав виде тетраэдраили прямоугольногопараллелепипеда, можно получить, что относительная объемнаядеформация в единицу времени (скорость объемной деформации) в общемслучае равнаu x u y u z divu .xyzПри ненулевых поперечных ускорениях ребра рассматриваемогообъема перестанут быть параллельными координатным осям.

Например, приплоском движении ребра ОА и ОВ (см. рис. 3) повернутся на углыu ydxdtu yu yAAxd  arctgdt  arctg arctgdtи0Adxxxu xdydtuuBByd  arctg arctg arctg x dt   x dt соответственно, т.е.0Bdyyyгрань (треугольник) ОАВ трансформируется в треугольник ОА''В''. Длянаглядности (но - без потери общности, так как это не меняет выражений дляуглов d и d) здесь не показаны рассмотренные выше поступательноедвижение и объемная деформация. Знак минус в выражении для dобъясняется тем, что положительному приращению в направлении оси хсоответствует отрицательное приращение угла .yD’’u xdyyB’’DBddyC’’CdA’’u yd0xdxxAdxРисунок 36Смещения точки А" по х и В" по у являются величинами большегопорядка малости, из-за чего на рисунке не показаны.Очевидно, что такая трансформация соответствует и повороту идеформации рассматриваемого объема (треугольника).

Если этоттреугольник представить множеством отрезков, начинающихся в вершине Ои заканчивающихся на противолежащей к этой вершине стороне, то приотсутствии деформации все эти отрезки повернулись бы на одинаковый угол(как в твердом теле), т.е. условие отсутствия деформации d  d , илиu yu yuudt   x dt , или  x  z . При одновременной с поворотомxyxyдеформации углы поворота этих отрезков становятся разными d  d . Вэтом случае в качестве угла поворота естественно принять средний уголd  dповорота этих отрезков, т.е. d . Очевидно, что это тот угол, на2который повернется биссектриса ОС треугольника ОАВ при еготрансформации в треугольник ОА''В'' (биссектриса примет при этомположение ОС'').Отсутствию вращения при наличии деформации соответствует нулевоезначение этого угла d  0 , или d  d (т.е.