Кинематика. К описанию движения жидкостей, страница 2

- сохранение положениябиссектрисы). Поэтому совпадающую с биссектрисой ось называют осьюдеформации, а в качестве угла деформации принимают разницу междууглами d и d , или, что то же самое с учетом знака - между углами d иd  d d  dd , т.е. d  d  d  d . Угловые деформации22называют также деформациями сдвига, так как при такой деформациипараллельные отрезки смещаются относительно друг друга (например,отрезки OA” и BD” на рис.3). Угол сдвига d показывает на сколькоизменился при деформации первоначально прямой угол (например, междуотрезками OA и OB). Очевидно, что d  d  d  2d .Итак, косые составляющие ускорения при плоском движении приводят1  u y u x dt и угловойк повороту оси деформации на угол d  2  xy 1  u y u x dt .деформации относительно этой оси на угол d  2  xy Угловаяскоростьвращениявокругосиzu yudt  x dtd d  d x1  u y u x y , а скорость измененияz  dt2dt2dt2  xy 7угла деформации, называемая также скоростью угловой деформацииu yudt  x dtd d  d x1  u y u x y. xy  dt2dt2dt2  xy Скорость деформации сдвигаdd2 2 xy .dtdtЕсли движение не плоское, то, проделав аналогичные выкладки дляэлементарного объема в виде тетраэдра или прямоугольногопараллелепипеда, можно получить, что в общем случае угловые скоростивокруг осей определяются выражениямиu y uu 1 u1  u1  u ,  y   x  z  , z   y  x  , x   z 2  yz 2  zx 2  xy а скорости угловой деформации - выражениямиu u1 u1  u y u x 1  u ,  yz   zy   z  y  ,  zx   xz   x  z  . xy   yx  2  zx y z 2  x2  yВыражения для угловых скоростей в точности совпадают с проекциямиTu y u z u y u z u y  u , деленнымиротора скорости rotu   z zyzyz  y1111пополам, т.е.

 x  rotu x ,  y  rotu y , z  rotu z , или   rotu .2222Заметим, что полученные выражения угловых скоростей справедливыu yu zu xu x ,  z  y ,и для твердых тел, так как для нихyzzxu yu  x  z , при этом скорости угловой деформации тождественноxyравны нулю.Следует заметить, что при ненулевых косых производных происходитне только поворот и угловые деформации (сдвига), но одновременно - илинейные деформации растяжения вдоль оси OD и сжатия вдоль оси AB.При этом деформация из-за косых составляющих ускорения принулевых прямых составляющих не меняет величины элементарного объема.В этом можно убедится, сравнив площади треугольников ОАВ и ОА''В'',которые при плоском движении соответствуют объему призм единичнойдлины вдоль оси z.

Площадь треугольника ОА''В'' (см. рис.3), очевидно,равна площади прямоугольника OADB (показанного пунктиром) за вычетомплощадей треугольников ОАА'', ОВВ'' и А''В''D   8OA  AA  OB  BB DA  DB222u yuu1  u y dxdy   dxdxdt  dy x dydt   dy dxdt  dx  x dydt   xyxy211 u x u y dxdy dxdydt 2 ,22 x yт.е. с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка совпадает с1площадью треугольника ОАВ, очевидно, равной dxdy .2Если движение не плоское, то в неизменности элементарного объемапри наличии только косых составляющих ускорения можно убедиться,проделав аналогичные выкладки для элементарного объема в виде тетраэдраили прямоугольного параллелепипеда. Несложно убедиться и в том, что приэтом отсутствует и линейная деформация, т.е.

длина любого малого отрезкаdl изменится на величину более высокого порядка малости. Например,отрезок ОА на рис.3 длиной dx перейдет в отрезок ОА'', длина которогоOA  OB 22 u y u y OA 2  AA 2  dx 2  dxdt   dx 1  dt  .xxПоэтому деформация при наличии только косых составляющихускорения называется угловой деформацией или деформацией сдвига, вотличие от объемной деформации, возникающей при ненулевых прямыхсоставляющих ускорения.Для описания общей деформации, или деформационного движения  xx  xy  xz жидкости вводят матрицу скоростей деформации     yx  yy  yz  , zx  zy  zz называемуютакжетензоромдеформации,элементыкоторойu j 1  u , i, j  x , y, z .

Как видно из полученных выше соотношений, ij   i 2  ji диагональные элементы этой матрицы, определяемые прямымипроизводными скорости, показывают скорость относительной деформациивдоль осей (деформации растяжения-сжатия, приводящей к изменениюобъема), а внедиагональные, определяемые косыми производными, являютсяскоростями угловой деформации.Таким образом, движение в окрестности любой рассматриваемойточки жидкости можно представить состоящим из движений трех видов:поступательного (определяемого скоростью в этой точке), вращательногоотносительно этой точки и деформационного.

Два последние вида движенияопределяются конвективными производными скорости.9Формально этот факт принято записывать в виде соотношения,связывающего скорости в двух близких точках установившегося течения.Если, например, известны скорость и ее конвективные производные впроизвольной точке А, то скорость в близкой к ней точке В, очевидно, можноuuuнайти из соотношения u B  u A  du , где du  dx  dy  dz . Здесь dx,xyzdy, dz - составляющие вектора dr  (dx dy dz) T ), соединяющего точку А сточкой В.Проекция дифференциала скорости вдоль оси хuuudu x  x dx  x dy  x dz xyzu y u u x1  u1  udy   x  y dy dx   x x2  yx 2  yx u u 1  u1  u  x  z dz   x  z dz x 2  zx 2  z  xx dx   z dy   xy dy   y dz   xz dz   y dz   z dy   xx dx   xy dy   xz dz .Последнее выражение можно представить в видеdu x   y dz  z dy   xx dx   xy dy   xz dz    dr x   xx  xy  xz  dr ,или в видеdu x  0dx  z dy   y dz   xx dx   xy dy   xz dz  0 y z  dr   xx xy xz  dr.Проделав аналогичные действия для остальных проекций вектора du ,1легкополучить,чтоdu    dr  dr  rotu  dr  dr ,или2du  dr  dr , где  - матрица, составленная из проекций вектора 0 z  y угловых скоростей   ( x ,  y , z ) T :    z0 x  . x0 yТаким образомu B  u A  du  u A  dr  dr  u A    dr  dr  u A  u вр  u деф ,1где u вр    dr  rotu  dr  dr - скорость вращения (поворота), а2u деф  dr - скорость деформации.

Это соотношение известно как теоремаГельмгольца о составляющих скорости течения.Сравнить с соотношением для твердых тел.10Особые случаи движения жидкостей.1. Движение при отсутствии объемных деформаций, условиемu x u y u z divu  0 .которого являетсяxyzДля сплошных несжимаемых жидкостей, в которых невозможныобъемные деформации, это уравнение должно выполняться при любомхарактере их движения. Для таких жидкостей невыполнение этого уравнениявозможно лишь при разрывах (нарушениях сплошности) среды. Поэтомууравнение divu  0 является условием неразрывности и называетсяуравнением неразрывности.2.

Движение при отсутствии вращения частиц, или безвихревоедвижение, условие которого   0 ,u y uu 1 u1  u1  u =0,  y   x  z  =0, z   y  x  =0,или  x   z 2  yz 2  zx 2  xy u y u xu x u zu z u yили,,.zxyyzxБезвихревым такое движение называется потому, что условие   01эквивалентно rotu  0 (так как   rotu ), а ротор имеет эквивалентное2название вихрь.Безвихревое движение (течение) называется также потенциальным,так как при таком движении поле скоростей является потенциальным, т.е.,для каждой точки этого поля существует функция ( x , y, z) , называемаяпотенциалом, градиент которой совпадает с вектором скоростиgrad( x , y, z)   u ( x , y, z) , или ux, uy, uz .yxzu y u xu x u zu z u yДругими словами, если равенства,,yzxyxzвыполняются, то существует функция ( x , y, z) , являющаяся решениемсистемы уравнений ux, uy, u z .

Это утверждение не требуетyxzспециального доказательства, так как почти точно совпадает с известной изматематического анализа теоремой Фробениуса о существовании иединственности решения систем уравнений в частных производных, точнее со следствием, или частным случаем этой фундаментальной теоремы длясистемы уравнений вида ux, uy, u z . Для полного совпаденияyxzнужно, чтобы существовали все вторые производные функций u x ( x , y, z) ,u y ( x , y, z) , u z ( x , y, z) ). Нужно также обратить внимание, что по теореме11Фробениуса такая функция ( x , y, z) существует для малых или односвязныхокрестностей рассматриваемой точки.Легко также увидеть, что всякое потенциальное поле являетсябезвихревым.