var3 (ФН2. ДЗ1. Вариант 3. 2020.), страница 2
Описание файла
Файл "var3" внутри архива находится в папке "texthing". PDF-файл из архива "ФН2. ДЗ1. Вариант 3. 2020.", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели прикладной механики (ммпм)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Экстремальные значения линейной податливости⎛⎞⎛ ⎞cos 1⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ √1 sin ⎟⎜2 ⎟ = ⎜⎟.⎟⎝ ⎠ ⎜ 2⎝ 1⎠3√ sin 2 ]︁âåêòîð ⃗ ðàñïîëîæåí âíóòðè êóáà â ïëîñêîñòè −2 + 3 = 0. ÍàÏðè ∈ 0;2ðèñóíêå 3 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè)︂(︂11Σ () = cos , √ sin , √ sin .22[︁Σn(α), ТПа-13.63.53.43.33.23.13.00.51.01.5αÐèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà.3.Экстремальные значениялинейной податливостиÄëÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè êàæäîãî èç ìåòàëëîâ îïðåäåëèì íàïðàâëåíèÿ, ïîêîòîðûì ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü äîñòèãàåò ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé.3.1. Экстремальные значения для Mo (ОЦК)Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëà ñ êóáè÷åñêîé ðåøåòêîé â íàïðàâëåíèè äåéñòâóþùåé ðàñòÿãèâàþùåé èëè ñæèìàþùåé ñèëû = 11 − 44 (* − 1)(21 22 + 22 23 + 21 23 ).Ïîäñòàâëÿÿ ðàíåå íàéäåííûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ïîëó÷èì = 2.9445 + 2.0396(21 22 + 22 23 + 21 23 ).4.
Вычисление относительного изменения величин9Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 21 + 22 + 23 = 1, íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà,÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå () = 3.6244 äîñòèãàåòñÿ ïðè 1 = 2 = 3 = 0.5773.3.2. Экстремальные значения для Zn (ГПУ)Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëà ñ ÃÏÓ-ðåøåòêîé = 11 (1 − 23 ) + 33 43 + (213 + 44 )23 (1 − 23 ),òî åñòü çàâèñèò ëèøü îò óãëà ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñèëû è îñüþ ′3 .Ïîäñòàâëÿÿ ðàíåå íàéäåííûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ïîëó÷èì = 7.8(1 − 23 ) + 26.843 + 13.123 (1 − 23 ).Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 21 + 22 + 23 = 1, íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà,÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå () = 26.8 äîñòèãàåòñÿ ïðè 1 = 2 = 0, 3 = 1.4.Вычисление относительного изменения величинÐàññìîòðèì öèëèíäð èç çàäàííîãî ìåòàëëà.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ê åãî áîêîâîéïîâåðõíîñòè ïðèëîæåíî íàãðóæåíèå = 20 ÌÏà. Ïóñòü åãî âûñîòà ñîíàïðàâëåíà ñîñüþ 3 . Òîãäà îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ðàäèóñà ìîæíî âû÷èñëèòü èç ñëåäóþùèõñîîáðàæåíèé:∆= ,ãäå = {0, 1, 0} âåêòîð íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñà (îäíîãî èç âîçìîæíûõ), à () = òàêæå îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå â íàïðàâëåíèè ⃗ = {1 , 2 , 3 }. Âûðàçèìòåíçîð äåôîðìàöèé ñ ïîìîùüþ òåíçîðà íàïðÿæåíèé∆= = = = .Òàê êàê íàïðàâëåíèå ⃗ = {0, −, 0} (ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ðàäèóñà), à = −,òî îêíî÷àòåëüíî ïîëó÷èì∆= = − = −58.89 · 10−6 .⃗ = {0, 0, 1}):Èçìåíåíèå âûñîòû ìîæíî âû÷èñëèòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé (∆= = = = .5. Верхние и нижние оценки модуля объемной упругости10Òàê êàê íàïðàâëåíèå ⃗ = {0, −, 0}, à = −, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì∆= = = − = 16.86 · 10−6 .Òàêæå íàéä¼ì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà∆= = = − = −25.15 · 10−6 .5.Верхние и нижние оценкимодуля объемной упругости5.1.
Общие соотношенияÑïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ èçîòðîïíûõ ñðåä, êîòîðûå áóäóò ïðèìåíåíû äàëåå:1 010κ = , , = 1, 2, 3,= .9κÒàêæå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå , , , ñ ýëåìåíòàìè ìàòðèö , . Ñîãëàñíî [1] = 11 + 22 + 33 + 212 + 213 + 223 , = 11 + 22 + 33 + 266 + 255 + 244 , = 11 + 22 + 33 + 212 + 213 + 223 ,66 55 44 = 11 + 22 + 33 +++.2225.2. Верхние оценки для κÄëÿ Mo, ìàòåðèàëà ñ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé, èìååì:κ+ =11(311 + 612 ) = (11 + 212 ) = 265 ÃÏà.93Äëÿ Zn, ìàòåðèàëà ñ ÃÏÓ-ðåøåòêîé, èìååì:κ+ =11(211 + 33 + 212 + 413 ) = (211 + 33 + 2(12 + 213 )) = 72.066 ÃÏà.99Код программы115.3. Нижние оценки для κÄëÿ Mo, ìàòåðèàëà ñ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé, èìååì:κ− =1= 265 ÃÏà.3(11 + 212 )Äëÿ Zn, ìàòåðèàëà ñ ÃÏÓ-ðåøåòêîé, èìååì:κ− =1= 54.88ÃÏà.211 + 33 + 2(12 + 213 )Код программыДомашнее задание по ММПМСапрыкинс, ФН271.
Вариант 3 (Mo + Zn).Вычисление матриц коэффициентов податливости и упругости.1) Молибден (Mo)ClearAll["Global‘*"];C11 = 441 10^9; C12 = 177 10^9; C44 = 104 10^9;CMo = {{C11, C12, C12, 0, 0, 0}, {C12, C11, C12, 0, 0, 0}, {C12, C12, C11, 0,0, 0}, {0, 0, 0, C44, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, C44, 0}, {0, 0, 0, 0, 0,C44}} 10^-9;Text["Матрица коэффициентов упругости: "]CMo // MatrixFormCK = (C11 - C12) (C11 + 2 C12);S11 = N[(C11 + C12)/CK] 10^12; S12 = N[-C12/CK] 10^12; S44 = N[1/C44] 10^12;dLabel = {"Mo", "S11", "S12", "S44"};Data = Table[Table[{}, {j, 1, Length[dLabel]}], {i, 1, 2}];Data[[1, 1]] = "\!\(\*SuperscriptBox[\(ТПа\), \(-1\)]\)"; Data[[1, 2]] = S11;Data[[1, 3]] = S12; Data[[1, 4]] = S44; Data = {dLabel}~Join~Data;Grid[Data[[1 ;; 2]], Frame -> All, FrameStyle -> Thick, Spacings -> {2, 2},ItemStyle -> Directive[FontSize -> 15]]SMo = {{S11, S12, S12, 0, 0, 0}, {S12, S11, S12, 0, 0, 0}, {S12, S12, S11, 0,0, 0}, {0, 0, 0, S44, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, S44, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, S44}};Text["Матрица коэффициентов податливости: "]Код программы12SMo // MatrixFormSMoEx = Inverse[N[CMo]] 10^3;normMo = Norm[SMo - SMoEx]2) Цинк (Zn)ClearAll["Global‘*"];S11 = 7.8 10^-12; S12 = -0.39 10^-12; S13 = -5.85 10^-12; S33 =26.8 10^-12; S44 = 24.8 10^-12;S66 = 2 (S11 - S12);SZnEx = {{S11, S12, S13, 0, 0, 0}, {S12, S11, S13, 0, 0, 0}, {S13, S13, S33,0, 0, 0}, {0, 0, 0, S44, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, S44, 0}, {0, 0, 0, 0, 0,S66}} 10^12;Text["Матрица коэффициентов податливости: "]SZnEx // MatrixFormSr = (S11 + S12) S33 - 2 S13^2;C11 = N[(S33/(2 Sr) + (1/2)/(S11 - S12))] 10^-9; C12 =N[S33/(2 Sr) - (1/2)/(S11 - S12)] 10^-9; C13 = N[-S13/Sr] 10^-9; C33 =N[(S11 + S12)/Sr] 10^-9; C44 = N[1/S44] 10^-9; C66 = N[1/S66] 10^-9;dLabel = {"Zn", "C11", "C12", "C13", "C33", "C44", "C66"};Data = Table[Table[{}, {j, 1, Length[dLabel]}], {i, 1, 2}];Data[[1, 1]] = "ГПа"; Data[[1, 2]] = C11; Data[[1, 3]] = C12;Data[[1, 4]] = C13; Data[[1, 5]] = C33; Data[[1, 6]] = C44; Data[[1, 7]] = C66;Data = {dLabel}~Join~Data;Grid[Data[[1 ;; 2]], Frame -> All, FrameStyle -> Thick, Spacings -> {2, 2},ItemStyle -> Directive[FontSize -> 15]]CZn = {{C11, C12, C13, 0, 0, 0}, {C12, C11, C13, 0, 0, 0}, {C13, C13, C33, 0,0, 0}, {0, 0, 0, C44, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, C44, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, C66}};Text["Матрица коэффициентов упругости: "]CZn // MatrixFormCZnEx = Inverse[SZnEx 10^-3];Код программы13normZn = Norm[CZnEx - CZn]Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора.1) Цинк (Zn)ClearAll["Global‘*"];S11 = 7.8; S12 = -0.39; S13 = -5.85; S33 = 26.8; S44 = 24.8;S66 = 2 (S11 - S12);\[CapitalSigma]n[\[Gamma]_] :=S11 (1 - (Cos[\[Gamma]])^2) +S33 (Cos[\[Gamma]])^4 + (2 S13 + S44) (Cos[\[Gamma]])^2 (1 - (Cos[\[Gamma]])^2)Plot[\[CapitalSigma]n[\[Gamma]], {\[Gamma], 0, \[Pi]/2},PlotStyle -> {Orange, Thick},AxesLabel -> {Style["\[Gamma]", Large, Black],Style["\!\(\*SubscriptBox[\(\[CapitalSigma]\), \(n\)]\)(\[Gamma])", Large,Black]}, AxesStyle -> Directive[Black, 14],BaseStyle -> Directive[FontSize -> 14], ImageSize -> 500]2) Молибден (M o)1.
Единичный вектор лежит в плоскости граниClearAll["Global‘*"];C11 = 441 10^9; C12 = 177 10^9; C44 = 104 10^9;CK = (C11 - C12) (C11 + 2 C12);S11 = N[(C11 + C12)/CK] 10^12; S12 = N[-C12/CK] 10^12; S44 = N[1/C44] 10^12;\[CapitalSigma]n[\[Gamma]_] :=S11 - (2 (S11 - S12) - S44) (Cos[\[Gamma]])^2 (Sin[\[Gamma]])^2Plot[\[CapitalSigma]n[\[Gamma]], {\[Gamma], 0, \[Pi]/2},PlotStyle -> {Orange, Thick},AxesLabel -> {Style["\[Alpha]", Large, Black],Код программы14Style["\!\(\*SubscriptBox[\(\[CapitalSigma]\), \(n\)]\)(\[Alpha])", Large,Black]}, AxesStyle -> Directive[Black, 14],BaseStyle -> Directive[FontSize -> 14], ImageSize -> 500]2.
Единичный вектор лежит в плоскости, содержащей диагональ куба и ребро, \имеющие общую точкуSS = (2 (S11 - S12))/S44;Sn[n1_, n2_, n3_] := S11 - S44 (SS - 1) (n1^2 n2^2 + n2^2 n3^2 + n3^2 n1^2)\[CapitalSigma]n[\[Gamma]_] :=Sn[Cos[\[Gamma]], 1/Sqrt[2] Sin[\[Gamma]], 1/Sqrt[2]Sin[\[Gamma]]]Plot[\[CapitalSigma]n[\[Gamma]], {\[Gamma], 0, \[Pi]/2},PlotStyle -> {Orange, Thick},AxesLabel -> {Style["\[Alpha]", Large, Black],Style["\!\(\*SubscriptBox[\(\[CapitalSigma]\), \(n\)]\)(\[Alpha]), \\!\(\*SuperscriptBox[\(ТПа\), \(-1\)]\)", Large, Black]},AxesStyle -> Directive[Black, 14], BaseStyle -> Directive[FontSize -> 14],ImageSize -> 500]Определение экстремальных значений линейной податливости.1) Молибден (M o)ClearAll["Global‘*"];C11 = 441 10^9; C12 = 177 10^9; C44 = 104 10^9;CK = (C11 - C12) (C11 + 2 C12);S11 = N[(C11 + C12)/CK] 10^12; S12 = N[-C12/CK] 10^12; S44 = N[1/C44] 10^12;FindMaximum[{S11 S44*(2*(S11 - S12)/S44 - 1)*(n1^2 n2^2 + n2^2 n3^2 + n1^2 n3^2),n1^2 + n2^2 + n3^2 == 1}, {n1, n2, n3}]2) Цинк (Zn)ClearAll["Global‘*"];Код программы15S11 = 7.8; S12 = -0.39; S13 = -5.85 ; S33 = 26.8 ; S44 = 24.8;S66 = 2 (S11 - S12);Sr = (S11 + S12) S33 - 2 S13^2;FindMaximum[{S11*(1 - n3^2) + S33*n3^4 + (2 S13 + S44) n3^2 (1 - n3^2),n1^2 + n2^2 + n3^2 == 1}, {n1, n2, n3}]Относительное изменение величинClearAll["Global‘*"];PV = 20*10^6; n1 = {1, 0, 0}; n2 = {0, 1, 0}; n3 = {0, 0, 1};C11 = 441 *10^9; C12 = 177 *10^9; C44 = 104 *10^9;CMo = {{C11, C12, C12, 0, 0, 0}, {C12, C11, C12, 0, 0, 0}, {C12, C12, C11, 0,0, 0}, {0, 0, 0, C44, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, C44, 0}, {0, 0, 0, 0, 0,C44}} ;SMoInv = Inverse[CMo] // FullSimplify ;np[i_, j_] :=If[(i == 1 && j == 1), 1,If[(i == 2 && j == 2), 2,If[(i == 3 && j == 3), 3,If[(i == 2 && j == 3) || (i == 3 && j == 2), 4,If[(i == 1 && j == 3) || (i == 3 && j == 1), 5,If[(i == 2 && j == 1) || (i == 1 && j == 2), 6]]]]] ];\[CapitalDelta]R = \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(l = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(3\)]\((\(-PV\))\)*SMoInv[[np[k, l], np[i, j]]] n2[[k]] n2[[l]] n2[[i]] n2[[j]]\)\)\)\) // N\[CapitalDelta]H = \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(l = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(3\)]\(Код программы\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(3\)]\((\(-PV\))\)*SMoInv[[np[k, l], np[i, j]]] n1[[k]] n1[[l]] n3[[i]] n3[[j]]\)\)\)\) // N\[CapitalDelta]V = \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(l = 1\), \(3\)]\((\(-PV\))\)*SMoInv[[np[1, 1], np[k, l]]] n2[[k]] n2[[l]]\)\) + \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(l = 1\), \(3\)]\((\(-PV\))\)*SMoInv[[np[2, 2], np[k, l]]] n2[[k]] n2[[l]]\)\) + \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(3\)]\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(l = 1\), \(3\)]\((\(-PV\))\)*SMoInv[[np[3, 3], np[k, l]]] n2[[k]] n2[[l]]\)\) // NВерхняя и нижняя оценки модуля объемной упругости1) Молибден (M o)ClearAll["Global‘*"];C11 = 441; C12 = 177; C44 = 104;CK = (C11 - C12) (C11 + 2 C12);S11 = N[(C11 + C12)/CK]; S12 = N[-C12/CK]; S44 = N[1/C44];\[Kappa]MoUP = (C11 + 2 C12)/3 // N\[Kappa]MoDown = 1/(3 (S11 + 2 S12))2) Цинк (Zn)ClearAll["Global‘*"];S11 = 7.8; S12 = -0.39; S13 = -5.85; S33 = 26.8 ; S44 = 24.8 ;S66 = 2 (S11 - S12);Sr = (S11 + S12) S33 - 2 S13^2;C11 = N[(S33/(2 Sr) + (1/2)/(S11 - S12))] ; C12 =N[S33/(2 Sr) - (1/2)/(S11 - S12)] ; C13 = N[-S13/Sr] ; C33 =N[(S11 + S12)/Sr]; C44 = N[1/S44]; C66 = N[1/S66] ;\[Kappa]ZnUP = 1/9 (2 C11 + C33 + 2*(C12 + 2 C13)) 10^3 // N\[Kappa]ZnDown = 1/(2 S11 + S33 + 2 (S12 + 2 S13)) 10^3 // N16Список литературы17Список литературы1.Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н.Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ìåõàíèêè è ýëåêòðîäèíà-ìèêè ñïëîøíîé ñðåäû.
Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2008. 512 ñ.2.Зарубин В.С.Ïðèêëàäíûå çàäà÷è òåðìîïðî÷íîñòè ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé. Ì.:Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. 296 ñ.3.Гантмахер Ф.Р.4.Най Дж.Òåîðèÿ ìàòðèö. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2010. 560 ñ.Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèñòàëëîâ è èõ îïèñàíèå ïðè ïîìîùè òåíçîðîâ èìàòðèö: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1967.
384 ñ..
