var3 (ФН2. ДЗ1. Вариант 3. 2020.)

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана(национальный исследовательский университет)»Кафедра «Прикладная математика»Домашнее заданиепо дисциплине «Математические модели прикладноймеханики»Упругие характеристики поликристаллическихматериаловВыполнилñòóäåíò ãðóïïû ÔÍ2È-71ÁСапрыкинс А.Р.Преподавательê.ô.-ì.í., äîöåíò êàôåäðû ÔÍ-2Савельева И.Ю.Индекс заданияMo+ZnÌîñêâà 2020Оглавление. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. .41.1. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè äëÿ Mo . . . . .41.2. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè äëÿ Zn . . . . . . .4Постановка исходной задачи1. Вычисление матриц коэффициентов податливости и упругости2. Зависимость линейной податливости от направления единичного. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.1. Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü äëÿ Zn (ÃÏÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2. Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü äëÿ Mo (ÎÖÊ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.2.1. Åäèíè÷íûé âåêòîð ëåæèò â ïëîñêîñòè ãðàíè . . . . . . . . . .

. .6вектора2.2.2. Åäèíè÷íûé âåêòîð ëåæèò â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé äèàãîíàëüêóáà è ðåáðî, èìåþùèå îáùóþ òî÷êó. . . . . . . . . . . . . . . .73. Экстремальные значения линейной податливости . . . . . . . . . . . .83.1. Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ Mo (ÎÖÊ) . . . . . . . . . . . . . . .

. . .83.2. Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ Zn (ÃÏÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .94. Вычисление относительного изменения величин . . . . . . . . . . . .95. Верхние и нижние оценки модуля объемной упругости . . . . . . . .105.1. Îáùèå ñîîòíîøåíèÿ . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Âåðõíèå îöåíêè äëÿ κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3. Íèæíèå îöåíêè äëÿ κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Код программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723Постановка исходной задачиПостановка исходной задачиÄëÿ çàäàííîé ïàðû ÷èñòûõ ìåòàëëîâ ïî çíà÷åíèþ êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè (èëèïîäàòëèâîñòè) êðèñòàëëîâ âû÷èñëèòü ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè (èëè óïðóãîñòè), ñðàâíèâ òî÷íîñòü îáðàùåíèÿ ìàòðèö ñ âû÷èñëåíèåì ïî ôîðìóëàì, è ïîñòðîèòü ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿåäèíè÷íîãî âåêòîðà äëÿ ãåêñàãîíàëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé îïòè÷åñêóþ îñü êðèñòàëëà, à äëÿ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêèâ ïëîñêîñòè ãðàíè è â ïëîñêîñòÿõ, ñîäåðæàùèõ äèàãîíàëü êóáà è ðåáðî.

Äëÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè êàæäîãî èç ìåòàëëîâ îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðûìëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü èìååò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Âû÷èñëèòü îòíîñèòåëüíûåèçìåíåíèÿ îáúåìà, ðàäèóñà è äëèíû êðóãîâîãî öèëèíäðà èç ìåòàëëà ñ êóáè÷åñêîéêðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé ïðè çàäàííîì íàãðóæåíèè: äàâëåíèå 20 ÌÏà ïðèëîæåíîê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè.Äëÿ êàæäîãî èç ìåòàëëîâ â ïðåäïîëîæåíèè õàîòè÷åñêîé îðèåíòàöèè çåðåí â ïîëèêðèñòàëëå íàéòè âåðõíþþ è íèæíþþ îöåíêè ìîäóëÿ îáúåìíîé óïðóãîñòè è ñðàâíèòüïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñ âû÷èñëåííûìè äëÿ ñëó÷àÿ ñòàòèñòè÷åñêè óñðåäíåííîé øàðîâîé ôîðìû êðèñòàëëè÷åñêèõ çåðåí. Ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû è ïîñòðîèòüãðàôèêè äëÿ ïîðèñòîãî äâóõôàçíîãî ñïëàâà-ñìåñè çàäàííîé ïàðû ìåòàëëîâ ïðè òðåõôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îáúåìíîé ïîðèñòîñòè, ðàâíûõ 0; 0.1 è 0.2, â çàâèñèìîñòèîò îòíîøåíèÿ 1 /(1 + 2 ) ∈ [0; 1], ãäå 1 è 2 îáúåìíûå äîëè ìåòàëëîâ â ñïëàâå.MoÃÏà44Zn1112133344441 177 104ÒÏà7.80-0.39-5.8526.824.81112−11.

Вычисление матриц коэффициентов податливости и упругости1.4Вычисление матриц коэффициентовподатливости и упругости1.1. Вычисление матрицы коэффициентов податливости для MoMo1112ÃÏà441177 10444Òàê êàê ìîëèáäåí ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì ñ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé(ÎÖÊ), òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:11 =11 + 12,12,44 =Mo1112 = −1,44 = (11 − 12 )(11 + 212 ).Îòêóäà ïîëó÷àåì ýëåìåíòû :ÒÏà−112442.94 −0.84 9.61Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎞⎛Mo2.94 −0.84 −0.84 000⎟⎜⎟⎜−0.84 2.94 −0.84 000⎟⎜⎟⎜⎜−0.84 −0.84 2.94000 ⎟⎟.⎜=⎜009.61 00 ⎟⎟⎜ 0⎟⎜⎜ 0000 9.61 0 ⎟⎠⎝00000 9.61Ïðè ñðàâíåíèè ìàòðèöû Mo , ïîëó÷åííîé ïóòåì îáðàùåíèÿ çàäàííîé ìàòðèöûMo , ñ ìàòðèöåé Mo , ïîëó÷åííîé âûøå ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïîëó÷àåì òî÷íîñòü: = 1.77636 · 10−15 .1.2.

Вычисление матрицы коэффициентов упругости для ZnZn1112133344ÒÏà−17.80-0.39-5.8526.824.8Öèíê ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì ñ ÃÏÓ-ðåøåòêîé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:2. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора5331/2331/213+, 12 =−, 13 = −,2 11 − 122 11 − 1211 + 12112.=, 44 =, 66 =, = (11 + 12 )33 − 213446611 =33Îòêóäà ïîëó÷àåì ýëåìåíòû :ZnÃÏà111213334466164.01 41.91 44.95 56.93 40.32 61.05Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎛Zn164.01⎜⎜ 41.91⎜⎜⎜ 44.95=⎜⎜ 0⎜⎜⎜ 0⎝041.9144.9500000⎞⎟0 ⎟⎟⎟56.93000 ⎟⎟.040.3200 ⎟⎟⎟0040.320 ⎟⎠00061.05164.01 44.9544.95000Ïðè ñðàâíåíèè ìàòðèöû Zn , ïîëó÷åííîé ïóòåì îáðàùåíèÿ çàäàííîé ìàòðèöûZn , ñ ìàòðèöåé Zn , ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïîëó÷àåì òî÷íîñòü: = 3.4529 · 10−14 .2.Зависимость линейной податливостиот направления единичного вектора2.1.

Линейная податливость для Zn (ГПУ)Ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëîâ ñ ÃÏÓ-ðåøåòêàìè çàâèñèò îò óãëà ìåæäó îïòè÷åñêîéêðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé îñüþ ′3 è íàïðàâëåíèåì ñèëû, îíà ðàâíà = 11 (1 − 23 ) + 33 43 + (213 + 44 )23 (1 − 23 ),ãäå 1 , 2 , 3 êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèå äåéñòâèÿ ñèëû.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà åäèíè÷íûé âåêòîð ⃗ = {1 , 2 , 3 } ëåæèò â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé îïòè÷åñêóþ îñü êðèñòàëëà. Ñëåäîâàòåëüíî, 3 =[︁cos ]︁, ãäå óãîë. Íèæå ïðåäìåæäó âåêòîðîì ⃗ è êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé îñüþ ′3 . Ïóñòü ∈ 0;2ñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè Σ () = (cos ) (ðèñ.

1). Ðàçìåðíîñòü [Σ ] = ÒÏà−1 .62. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектораΣn(γ)252015100.51.01.5γÐèñ. 1. Çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2.2. Линейная податливость для Mo (ОЦК)Ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëîâ ñ êóáè÷åñêèìè ðåøåòêàìè â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ ðàñòÿãèâàþùåé èëè ñæèìàþùåé ñèëû ðàâíà [1] = 11 − 44 (¯ − 1)(21 22 + 22 23 + 23 21 ),11 − 12¯ = 2,44(1)ïðè ¯ = 1 ïîäàòëèâîñòü íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû.2.2.1. Единичный вектор лежит в плоскости граниÐàññìîòðèì ïëîñêîñòè ãðàíè, êîòîðûå ñîäåðæàò íà÷àëî êîîðäèíàò êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìû. Òàêèõ ïëîñêîñòåé òðè ýòî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè.[︁ ]︁1. ⃗ ∈ 1 : 3 = 0, 1 = cos , 2 = sin , ∈ 0;.2[︁ ]︁2.

⃗ ∈ 2 : 2 = 0, 1 = cos , 3 = sin , ∈ 0;.2[︁ ]︁3. ⃗ ∈ 3 : 1 = 0, 2 = cos , 3 = sin , ∈ 0;.2Èç ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ è ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ áóäóò èìåòü îäèíàêîâûé âèä ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé óãëà. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íîðàññìîòðåòü ñëó÷àé ⃗ ∈ 1 .  ýòîì ñëó÷àåΣ () = (cos , sin , 0) = 11 − (2(11 − 12 ) − 44 ) cos2 sin2 .2. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора7Ãðàôèê çàâèñèìîñòè Σ () = (cos , sin , 0) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 2.

Ðàçìåðíîñòü [Σ ] = ÒÏà−1 .Σn(α)3.43.33.23.13.00.51.01.5αÐèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2.2.2. Единичный вектор лежит в плоскости, содержащейдиагональ куба и ребро, имеющие общую точкуÏóñòü äèàãîíàëü êóáà ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ðåáðî ëåæèò íà îñè1 . Âåêòîðû ⃗1 = ⃗, ⃗2 = ⃗ + ⃗ + ⃗ ëåæàò íà ðåáðå è äèàãîíàëè ñîîòâåòñòâåííî, àñëåäîâàòåëüíî,è â ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè. Íî îíè íå îðòîãîíàëüíû, òàê êàê(︂)︂1[cos ⃗1 , ⃗2 = √ .

Ïðèìåíèì ê íèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà:3⟩⟨1⃗2 = ⃗2 − ⃗1 , ⃗2 ⃗1 = ⃗ + ⃗, ⃗2 = √ (⃗ + ⃗).2Îñòàâøèéñÿ âåêòîð ⃗3 îïðåäåëèì èç ñîîòíîøåíèÿ)︁1 (︁⃗3 = ⃗1 × ⃗2 = √ −⃗ + ⃗ .2Òîãäà ìàòðèöà ïåðåõîäà èç áàçèñà (⃗, ⃗, ⃗) â áàçèñ (⃗1 , ⃗2 , ⃗3 ) áóäåò èìåòü âèä⎛⎞1 00⎜⎟⎜0 √1 − √1 ⎟⎜⎟ℬ→ℰ = ⎜22⎟ ,⎝11 ⎠√0 √2283.