var3 (823441)
Текст из файла
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана(национальный исследовательский университет)»Кафедра «Прикладная математика»Домашнее заданиепо дисциплине «Математические модели прикладноймеханики»Упругие характеристики поликристаллическихматериаловВыполнилñòóäåíò ãðóïïû ÔÍ2È-71ÁСапрыкинс А.Р.Преподавательê.ô.-ì.í., äîöåíò êàôåäðû ÔÍ-2Савельева И.Ю.Индекс заданияMo+ZnÌîñêâà 2020Оглавление. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. .41.1. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè äëÿ Mo . . . . .41.2. Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè äëÿ Zn . . . . . . .4Постановка исходной задачи1. Вычисление матриц коэффициентов податливости и упругости2. Зависимость линейной податливости от направления единичного. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.1. Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü äëÿ Zn (ÃÏÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2. Ëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü äëÿ Mo (ÎÖÊ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.2.1. Åäèíè÷íûé âåêòîð ëåæèò â ïëîñêîñòè ãðàíè . . . . . . . . . .
. .6вектора2.2.2. Åäèíè÷íûé âåêòîð ëåæèò â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé äèàãîíàëüêóáà è ðåáðî, èìåþùèå îáùóþ òî÷êó. . . . . . . . . . . . . . . .73. Экстремальные значения линейной податливости . . . . . . . . . . . .83.1. Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ Mo (ÎÖÊ) . . . . . . . . . . . . . . .
. . .83.2. Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ Zn (ÃÏÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .94. Вычисление относительного изменения величин . . . . . . . . . . . .95. Верхние и нижние оценки модуля объемной упругости . . . . . . . .105.1. Îáùèå ñîîòíîøåíèÿ . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Âåðõíèå îöåíêè äëÿ κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3. Íèæíèå îöåíêè äëÿ κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Код программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723Постановка исходной задачиПостановка исходной задачиÄëÿ çàäàííîé ïàðû ÷èñòûõ ìåòàëëîâ ïî çíà÷åíèþ êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè (èëèïîäàòëèâîñòè) êðèñòàëëîâ âû÷èñëèòü ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè (èëè óïðóãîñòè), ñðàâíèâ òî÷íîñòü îáðàùåíèÿ ìàòðèö ñ âû÷èñëåíèåì ïî ôîðìóëàì, è ïîñòðîèòü ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿåäèíè÷íîãî âåêòîðà äëÿ ãåêñàãîíàëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé îïòè÷åñêóþ îñü êðèñòàëëà, à äëÿ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêèâ ïëîñêîñòè ãðàíè è â ïëîñêîñòÿõ, ñîäåðæàùèõ äèàãîíàëü êóáà è ðåáðî.
Äëÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè êàæäîãî èç ìåòàëëîâ îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðûìëèíåéíàÿ ïîäàòëèâîñòü èìååò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Âû÷èñëèòü îòíîñèòåëüíûåèçìåíåíèÿ îáúåìà, ðàäèóñà è äëèíû êðóãîâîãî öèëèíäðà èç ìåòàëëà ñ êóáè÷åñêîéêðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé ïðè çàäàííîì íàãðóæåíèè: äàâëåíèå 20 ÌÏà ïðèëîæåíîê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè.Äëÿ êàæäîãî èç ìåòàëëîâ â ïðåäïîëîæåíèè õàîòè÷åñêîé îðèåíòàöèè çåðåí â ïîëèêðèñòàëëå íàéòè âåðõíþþ è íèæíþþ îöåíêè ìîäóëÿ îáúåìíîé óïðóãîñòè è ñðàâíèòüïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñ âû÷èñëåííûìè äëÿ ñëó÷àÿ ñòàòèñòè÷åñêè óñðåäíåííîé øàðîâîé ôîðìû êðèñòàëëè÷åñêèõ çåðåí. Ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû è ïîñòðîèòüãðàôèêè äëÿ ïîðèñòîãî äâóõôàçíîãî ñïëàâà-ñìåñè çàäàííîé ïàðû ìåòàëëîâ ïðè òðåõôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îáúåìíîé ïîðèñòîñòè, ðàâíûõ 0; 0.1 è 0.2, â çàâèñèìîñòèîò îòíîøåíèÿ 1 /(1 + 2 ) ∈ [0; 1], ãäå 1 è 2 îáúåìíûå äîëè ìåòàëëîâ â ñïëàâå.MoÃÏà44Zn1112133344441 177 104ÒÏà7.80-0.39-5.8526.824.81112−11.
Вычисление матриц коэффициентов податливости и упругости1.4Вычисление матриц коэффициентовподатливости и упругости1.1. Вычисление матрицы коэффициентов податливости для MoMo1112ÃÏà441177 10444Òàê êàê ìîëèáäåí ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì ñ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé(ÎÖÊ), òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:11 =11 + 12,12,44 =Mo1112 = −1,44 = (11 − 12 )(11 + 212 ).Îòêóäà ïîëó÷àåì ýëåìåíòû :ÒÏà−112442.94 −0.84 9.61Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîäàòëèâîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎞⎛Mo2.94 −0.84 −0.84 000⎟⎜⎟⎜−0.84 2.94 −0.84 000⎟⎜⎟⎜⎜−0.84 −0.84 2.94000 ⎟⎟.⎜=⎜009.61 00 ⎟⎟⎜ 0⎟⎜⎜ 0000 9.61 0 ⎟⎠⎝00000 9.61Ïðè ñðàâíåíèè ìàòðèöû Mo , ïîëó÷åííîé ïóòåì îáðàùåíèÿ çàäàííîé ìàòðèöûMo , ñ ìàòðèöåé Mo , ïîëó÷åííîé âûøå ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïîëó÷àåì òî÷íîñòü: = 1.77636 · 10−15 .1.2.
Вычисление матрицы коэффициентов упругости для ZnZn1112133344ÒÏà−17.80-0.39-5.8526.824.8Öèíê ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì ñ ÃÏÓ-ðåøåòêîé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:2. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора5331/2331/213+, 12 =−, 13 = −,2 11 − 122 11 − 1211 + 12112.=, 44 =, 66 =, = (11 + 12 )33 − 213446611 =33Îòêóäà ïîëó÷àåì ýëåìåíòû :ZnÃÏà111213334466164.01 41.91 44.95 56.93 40.32 61.05Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎛Zn164.01⎜⎜ 41.91⎜⎜⎜ 44.95=⎜⎜ 0⎜⎜⎜ 0⎝041.9144.9500000⎞⎟0 ⎟⎟⎟56.93000 ⎟⎟.040.3200 ⎟⎟⎟0040.320 ⎟⎠00061.05164.01 44.9544.95000Ïðè ñðàâíåíèè ìàòðèöû Zn , ïîëó÷åííîé ïóòåì îáðàùåíèÿ çàäàííîé ìàòðèöûZn , ñ ìàòðèöåé Zn , ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïîëó÷àåì òî÷íîñòü: = 3.4529 · 10−14 .2.Зависимость линейной податливостиот направления единичного вектора2.1.
Линейная податливость для Zn (ГПУ)Ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëîâ ñ ÃÏÓ-ðåøåòêàìè çàâèñèò îò óãëà ìåæäó îïòè÷åñêîéêðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé îñüþ ′3 è íàïðàâëåíèåì ñèëû, îíà ðàâíà = 11 (1 − 23 ) + 33 43 + (213 + 44 )23 (1 − 23 ),ãäå 1 , 2 , 3 êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèå äåéñòâèÿ ñèëû.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà åäèíè÷íûé âåêòîð ⃗ = {1 , 2 , 3 } ëåæèò â ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé îïòè÷åñêóþ îñü êðèñòàëëà. Ñëåäîâàòåëüíî, 3 =[︁cos ]︁, ãäå óãîë. Íèæå ïðåäìåæäó âåêòîðîì ⃗ è êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé îñüþ ′3 . Ïóñòü ∈ 0;2ñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè Σ () = (cos ) (ðèñ.
1). Ðàçìåðíîñòü [Σ ] = ÒÏà−1 .62. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектораΣn(γ)252015100.51.01.5γÐèñ. 1. Çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2.2. Линейная податливость для Mo (ОЦК)Ïîäàòëèâîñòü êðèñòàëëîâ ñ êóáè÷åñêèìè ðåøåòêàìè â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ ðàñòÿãèâàþùåé èëè ñæèìàþùåé ñèëû ðàâíà [1] = 11 − 44 (¯ − 1)(21 22 + 22 23 + 23 21 ),11 − 12¯ = 2,44(1)ïðè ¯ = 1 ïîäàòëèâîñòü íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû.2.2.1. Единичный вектор лежит в плоскости граниÐàññìîòðèì ïëîñêîñòè ãðàíè, êîòîðûå ñîäåðæàò íà÷àëî êîîðäèíàò êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìû. Òàêèõ ïëîñêîñòåé òðè ýòî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè.[︁ ]︁1. ⃗ ∈ 1 : 3 = 0, 1 = cos , 2 = sin , ∈ 0;.2[︁ ]︁2.
⃗ ∈ 2 : 2 = 0, 1 = cos , 3 = sin , ∈ 0;.2[︁ ]︁3. ⃗ ∈ 3 : 1 = 0, 2 = cos , 3 = sin , ∈ 0;.2Èç ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ è ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ áóäóò èìåòü îäèíàêîâûé âèä ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé óãëà. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íîðàññìîòðåòü ñëó÷àé ⃗ ∈ 1 .  ýòîì ñëó÷àåΣ () = (cos , sin , 0) = 11 − (2(11 − 12 ) − 44 ) cos2 sin2 .2. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора7Ãðàôèê çàâèñèìîñòè Σ () = (cos , sin , 0) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 2.
Ðàçìåðíîñòü [Σ ] = ÒÏà−1 .Σn(α)3.43.33.23.13.00.51.01.5αÐèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé ïîäàòëèâîñòè îò íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2.2.2. Единичный вектор лежит в плоскости, содержащейдиагональ куба и ребро, имеющие общую точкуÏóñòü äèàãîíàëü êóáà ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ðåáðî ëåæèò íà îñè1 . Âåêòîðû ⃗1 = ⃗, ⃗2 = ⃗ + ⃗ + ⃗ ëåæàò íà ðåáðå è äèàãîíàëè ñîîòâåòñòâåííî, àñëåäîâàòåëüíî,è â ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè. Íî îíè íå îðòîãîíàëüíû, òàê êàê(︂)︂1[cos ⃗1 , ⃗2 = √ .
Ïðèìåíèì ê íèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà:3⟩⟨1⃗2 = ⃗2 − ⃗1 , ⃗2 ⃗1 = ⃗ + ⃗, ⃗2 = √ (⃗ + ⃗).2Îñòàâøèéñÿ âåêòîð ⃗3 îïðåäåëèì èç ñîîòíîøåíèÿ)︁1 (︁⃗3 = ⃗1 × ⃗2 = √ −⃗ + ⃗ .2Òîãäà ìàòðèöà ïåðåõîäà èç áàçèñà (⃗, ⃗, ⃗) â áàçèñ (⃗1 , ⃗2 , ⃗3 ) áóäåò èìåòü âèä⎛⎞1 00⎜⎟⎜0 √1 − √1 ⎟⎜⎟ℬ→ℰ = ⎜22⎟ ,⎝11 ⎠√0 √2283.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
