Экзам_Прогр_Аналит_Геом_2014-15 (К экзамену)

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»1 курс, 1 семестр, 2014-15 учебный год, для МТ, РК, Э5, СМ13 и ИБММодуль 1 Векторы, прямые и плоскости1. Скалярные и векторные величины. Определение геометрического вектора. Нулевойвектор, противоположный вектор, определение коллинеарных и компланарных векторов; равенствовекторов. Свободные векторы. Единичный вектор (орт). Определение линейных операций надгеометрическими векторами, их свойства. Правила вычитания векторов, правило многоугольниканахождения суммы нескольких векторов. Длина вектора, её свойства.2.

Определение линейной зависимости геометрических векторов. Критерий линейнойзависимости: (а) двух и (б) трех геометрических векторов, линейная зависимость любых четырехгеометрических векторов.3. Базис на плоскости и в пространстве. Ортонормированный канонический базисi, j, k .

Доказать единственность разложения вектора по базису. Определение координат вектора вданном базисе. Доказать теорему о линейных операциях над векторами в координатной форме.4. Определение ортогональной проекции геометрического вектора на ось (направление), еёсвойства, формула для её вычисления. Определение скалярного произведения геометрическихвекторов, его механический смысл. Доказать свойства скалярного произведения.

Признакперпендикулярности (ортогональности) двух векторов. Вывести формулы для нахожденияскалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора нанаправление в базисе i, j, k. Доказать теорему о связи координат вектора в этом базисе с егоортогональными проекциями на соответствующие направления. Определение направляющих углов(косинусов) вектора или луча. Доказать теорему о них.5. Правые и левые тройки геометрических векторов.

Определение векторного произведениядвух геометрических векторов, его геометрический смысл. Доказать свойства векторногопроизведения (дистрибутивность без док-ва). Критерий коллинеарности двух векторов. Вывестиформулу для вычисления векторного произведения в базисе i, j, k. Физические приложениявекторного произведения.6. Определение смешанного произведения трех геометрических векторов, его геометрическийсмысл. Доказать свойства смешанного произведения.

Вывести формулу для нахождениясмешанного произведения в базисе i, j, k. Вывод формулы объема треугольной пирамиды(тетраэдра). Условие компланарности трех векторов. Проверка ориентации тройки векторов.9. Определение: декартовой системы координат в пространстве, координаты точки. Радиусвектор точки. Связь координат вектора и его концов (вывод). Прямоугольная система координат,вывести формулу расстояния между двумя точками и формулу для координат точки, делящийотрезок в данном отношении α :β .10.

Геометрический смысл уравнения F ( x, y ) = 0 на плоскости, в пространстве.Геометрический смысл уравнения F ( x, y , z ) = 0 и системы двух таких уравнений в пространстве.Поверхность, заданная уравнением F ( x − a , y − b, z − c ) = 0 . Нахождение уравнение проекциилинии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость (для МТ и РК).11. Прямая на плоскости, ее направляющий и нормальный векторы. Различные виды уравненияпрямой на плоскости: прямая с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой, каноническое ипараметрические уравнения, уравнение в отрезках. Вывод этих уравнений, геометрический смыслих коэффициентов. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Вывод формулы длярасстояния от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Нахождениеугла между прямыми. Условия совпадения, параллельности и перпендикулярности двух прямых наплоскости.12. Плоскость в пространстве, ее нормальный вектор. Вывод уравнения плоскости, проходящейчерез данную точку перпендикулярно данному вектору. Вывод общего уравнения плоскости (ввекторной и координатной форме) и уравнения плоскости в отрезках, геометрический смыслкоэффициентов этих уравнений. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданныеЭкзаменационная программа.

Аналитическая геометрия. МТ и РК 2014-152точки, не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости в отрезках. Вывод формулы длянахождения расстояния от точки до плоскости.13. Прямая в пространстве и ее направляющий вектор. Общие уравнения прямой (в видесистемы двух уравнений). Вывод параметрических (в векторной и координатной форме) иканонических уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов этих уравнений.Нахождение канонических уравнений прямой, заданной общими уравнениями.

Вывод уравненийпрямой проходящей через две заданные точки. Определение и вывод уравнения пучка плоскостей.Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве14. Исследование взаимного расположения в пространстве: (а) двух плоскостей:(б) прямой и плоскости; (в) двух прямых. Нахождение угла между: (а) двумя плоскостями;(б) двумя прямыми; (в) прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения: (а) прямой иплоскости; (б) двух пересекающихся прямых. Нахождение расстояния между параллельнымиплоскостями. Нахождение расстояния между двумя параллельными или скрещивающимисяпрямыми.Модуль 2.

Кривые и поверхности второго порядка,матрицы и системы линейных алгебраических уравнений15. Кривые второго порядка. Определение, эллипса, гиперболы и параболы, выводы ихканонических уравнений. Определение эксцентриситета этих кривых, его смысл. Вывод уравненийасимптот гиперболы. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенным центром, параболы сосмещенной вершиной, координаты фокусов этих кривых. Исследование уравненияAx 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, ( A2 + C 2 > 0) на плоскости. Параметрические уравнения эллипса игиперболы. Свойство касательных эллипса, параболы и гиперболы и их оптическая интерпретация.Косые сечения цилиндра и конуса.16.

Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности, поверхности вращения и ихуравнения. Эллипсоид. Гиперболоиды, конус. Параболоиды. Их канонические уравнения.Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Вырожденные линии и поверхностивторого порядка. Нахождение проекции линии пересечения двух поверхностей (последняя тема –кроме ИБМ).17. Определение матрицы и её размера. Определение нулевой матрицы.

Виды квадратныхматриц: симметричные, кососимметричные, верхние треугольные и нижние треугольные,диагональные, скалярные, единичная матрица. Равенство матриц. Определение линейных операцийнад матрицами (не путать с элементарными преобразованиями).

Операция транспонированияматрицы. Свойства вышеуказанных операций. Определение произведения двух матриц, свойстваоперации умножения матриц. Экономическая интерпретация произведения двух матриц (для ИБМ).18. Определение элементарных преобразований строк и столбцов матрицы. Определениеотношения эквивалентности двух матриц, доказать его свойства (симметричность, транзитивность ирефлексивность).19. Аксиомы линейного пространства.

Следствия из аксиом. Примеры линейных пространств:пространства геометрических векторов: V , Vπ , V ; арифметическое пространство Rn иарифметические векторы; *пространство матриц M m×n ; *пространство многочленов Рп[х].20. Определение линейной комбинации векторов произвольного линейного пространства,линейной зависимости и независимости векторов. Доказать общий критерий линейной зависимостивекторов и его следствия. Критерий линейной зависимости двух векторов произвольного линейногопространства. Критерий линейной зависимости m арифметических векторов пространства Rn.Определение ранга системы векторов произвольного линейного пространства.21.

Определение базиса и размерности линейного пространства. Доказать единственностьразложения вектора по базису. Сформулировать теоремы о базисе и размерности. Размерность ибазис конкретных линейных пространств: пространства геометрических векторов V , Vπ , V;арифметического пространства Rn; *пространства многочленов Рn[x], *пространства матриц M m×n .22. Определение подпространства линейного пространства. Примеры. Определение линейнойоболочки системы векторов, ее основное свойство. Примеры.Экзаменационная программа.

Аналитическая геометрия. МТ и РК 2014-15323. Определение ступенчатой матрицы. Теорема (и алгоритм) Гаусса о приведениипроизвольной матрицы к ступенчатому виду.24. Вычисление определителя первого, второго и третьего порядка. Свойства определителялюбого порядка. Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Вычислениеопределителя любого порядка (а) разложением по строке или по столбцу; (б) с помощьюэлементарных преобразований.

Свойства определителя произведения двух квадратных матриц.25. Определение присоединённой матрицы, доказать её свойство. Определение вырожденной иневырожденной квадратной матрицы. Алгоритм приведения невырожденной квадратной матрицы кединичной. Определение обратной матрицы, доказать её единственность. Доказать критерийсуществования обратной матрицы, и вывести метод её нахождения с помощью алгебраическихдополнений. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.26.

Доказать теоремы о: (а) матрице, обратной произведению двух невырожденных матриц; (б)транспонировании обратной матрицы. Решение матричных уравнений вида AX = C , XB = C иAXB = C с помощью обратной матрицы (вывод).27. Определение минора прямоугольной матрицы, определение ранга матрицы. Определениебазисного минора матрицы, окаймляющего минора матрицы. Теорема об окаймляющих минорах (обазисном миноре) и её следствия. Доказать критерий вырожденности квадратной матрицы (втерминах её ранга). Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы.28.