Презентация 6. СЛАУ, правило Крамера (Лекции в виде презентаций)

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ10.1. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ)10.1.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИНенулевой вектор n , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальнымвектором (или, короче, нормалью) для этой прямой. Направляющим вектором прямойназывается ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е.

принадлежащий илипараллельный ей. Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны илисовпадают.Общее уравнение прямой на плоскости:A2 + B 2 ≠ 0 .A⋅ x + B ⋅ y + C = 0 ,(10.1)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 ) перпендикулярно векторуn = A ⋅ i + B ⋅ j (рис.10.1,а). Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициенты A ,B – координаты нормали n = A ⋅ i + B ⋅ j ; свободный член C = − A x0 − B y0 .y M (x , y )0 0 0r0 M ( x, y )j riаНормальНормированное уравнение прямойyx ⋅ cos α + y ⋅ cos β − ρ = 0n = A⋅i + B ⋅ jβxOnα ρРис.10.1xбОбозначая через r0 и r радиус-векторы точек M 0 ( x0 , y 0 ) и M ( x, y ) соответственно, можнозаписать векторное уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y 0 )перпендикулярно нормали n = A ⋅ i + B ⋅ j :( r − r0 , n ) = 0 .Равенство нулю скалярного произведения выражает условие перпендикулярности векторовr − r0 и n (см.

разд.9.7). В координатной форме уравнение имеет вид:A ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) = 0 .(10.2)1Нормированное уравнение прямой на плоскости:x ⋅ cos α + y ⋅ cos β − ρ = 0 ,ρ≥0.(10.3)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 ) перпендикулярно векторуn = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j (рис.10.1,а). Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициентыcos α , cos β – направляющие косинусы нормали n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j ; свободный членρ=A x0 + B y 0A +B22– расстояние от начала координат до прямой (рис.10.1,б).Векторное параметрическое уравнение прямой на плоскости:r = r0 + t ⋅ p , t ∈  ,p≠o .(10.4)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 ) ,определяемую радиус-вектором r0 , коллинеарно направляющемуp = a ⋅i + b ⋅ jвектору p ≠ o (рис.10.2). Параметр t в уравнении (10.4) имеетyM 0 ( x0 , y 0 )следующий геометрический смысл: величина t пропорциональнаM ( x, y )расстоянию от начальной точки M 0 до точки M , определяемой радиусrr0вектором r .

Физический смысл параметра t – это время приxOравномерном и прямолинейном движении точки M по прямой. ПриРис.10.2t = 0 точка M совпадает с начальной точкой M 0 ( r = r0 ), привозрастании t движение происходит в направлении, определяемом направляющим вектором p .Направляющийвектор прямой2Параметрическое уравнение прямой на плоскости: x = x0 + a ⋅ t , y = y0 + b ⋅ t ,t ∈  , a2 + b2 ≠ 0 .(10.5)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 ) коллинеарно векторуp = a ⋅ i + b ⋅ j (рис.10.3).

Геометрический смысл коэффициентов: a и b – координатынаправляющего вектора p = a ⋅ i + b ⋅ j прямой; x0 , y0 – координаты точки M 0 ( x0 , y 0 ) ,принадлежащей прямой. Параметр t имеет тот же смысл, что и в уравнении (10.4).Заметим, что уравнение (10.5) есть координатная форма записи уравнения (10.4).Каноническое уравнение прямой на плоскости:x − x0a=y − y0b, a2 + b2 ≠ 0 .(10.6)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 ) коллинеарно вектору(см.рис.10.3).Геометрическийсмыслp = a ⋅i + b⋅ jyНаправляющийкоэффициентов: a и b – координаты направляющего векторавектор прямойM 0 ( x0 , y 0 )p = a ⋅ i + b ⋅ j прямой; x0 , y0 – координаты точки M 0 ( x0 , y 0 ) ,p = a ⋅i + b ⋅ jпринадлежащей прямой.xOОдин из знаменателей a или b в уравнении (10.6) можетРис.10.3быть равен нулю, при этом считается, что соответствующийчислитель дроби равен нулю:x − x00x − x0a==y − y0by − y00⇔ x = x0– это уравнение прямой, параллельной оси ординат;⇔ y = y0 –это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.3Аффинное уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданныеточки:r = (1 − t ) ⋅ r0 + t ⋅ r1 , t ∈  .(10.7)Уравнение (10.7) можно записать в координатной форме: x = (1 − t ) ⋅ x0 + t ⋅ x1 ,t∈. y = (1 − t ) ⋅ y 0 + t ⋅ y1 ,Способ задания: прямая проходит через две заданные точки M 0 ( x0 , y 0 ) и M 1 ( x1 , y1 ) ,определяемые радиус-векторами r0 и r1 соответственно (рис.10.4).

Радиус-вектор rопределяет положение точки M (x, y ) , принадлежащей прямой. Геометрический смыслкоэффициентов: x0 , y0 и x1 , y1 – координаты точек M 0 ( x0 , y 0 ) и M 1 ( x1 , y1 ) , через которыепроходит прямая (10.7). Параметр t в уравнении (10.7) определяет положение точки M ( x, y ) ,принадлежащей прямой. Например, при t = 0 точка M совпадает с точкой M 0 ( r = r0 ), а приt = 1 – с точкой M 1 ( r = r1 ).rOyM ( x, y )yM 1 ( x1 , y1 )r1M 0 ( x0 , y0 )r0Рис.10.4xyy1 Y1 (0, y1 )X 1 ( x1 ,0)x1xOРис.10.5y0OУгловойкоэффициентY0 (0, y0 )k =tg ααРис.10.6x4Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки M 0 ( x0 , y0 ) иM 1 ( x1 , y1 ) :x − x0x1 − x0=y − y0y1 − y0.(10.8)Способ задания: прямая проходит через две заданные точки M 0 ( x0 , y 0 ) и M 1 ( x1 , y1 ) (см.рис.10.4).

Геометрический смысл коэффициентов: x0 , y0 и x1 , y1 – координаты точекM 0 ( x0 , y 0 ) и M 1 ( x1 , y1 ) , через которые проходит прямая (10.8). Как и в каноническомуравнении, один из знаменателей дробей в (10.8) может быть равен нулю, при этомсчитается, что соответствующий числитель этой дроби равен нулю.Уравнение прямой "в отрезках":xy= 1 , x1 ≠ 0 , y1 ≠ 0 .+x1 y1(10.9)Способ задания: прямая проходит через две заданные точки X 1 ( x1 ,0) и Y1 (0, y1 )(рис.10.5). Геометрический смысл коэффициентов: прямая (10.9) отсекает на координатныхосях "отрезки" x1 на оси абсцисс и y1 на оси ординат.Уравнение прямой с угловымразрешенное относительно y ):коэффициентомy = k ⋅ x + y0 , k = tg α .(илиуравнениепрямой,(10.10)Способ задания: прямая проходит через точку Y0 (0, y 0 ) и образует угол α ( 0 ≤ α < π ,α ≠ π2 ) с положительным направлением оси абсцисс (рис.10.6).

Геометрический смыслкоэффициентов: k – угловой коэффициент прямой, а y0 – ордината точки Y0 (0, y 0 ) , черезкоторую проходит прямая (10.10).Если прямая проходит через заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) , то применяется уравнениепрямой с угловым коэффициентом вида: y − y 0 = k ⋅ ( x − x0 ) .5Способы перехода от одного типа уравнения прямой к другому1. Для перехода от общего уравнения прямой (10.1) к нормированному уравнению(10.3) достаточно разделить обе части общего уравнения на длину нормали n = A2 + B 2 ,если свободный член отрицательный ( С < 0 ), либо разделить на противоположную величину− n =−A2 + B 2 , если свободный член неотрицательный ( С ≥ 0 ).2. Для перехода от общего уравнения прямой (10.1) к каноническому уравнению(10.6) нужно выполнить следующие действия:1) найти любое решение ( x0 , y 0 ) уравнения A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 , определяя тем самымкоординаты точки M 0 ( x0 , y 0 ) , принадлежащей прямой;2) найти любое ненулевое решение (a, b) однородного уравнения A ⋅ a + B ⋅ b = 0 ,определяя тем самым координаты a , b направляющего вектора p , в частности можно взятьa = B , b = −A ;3) записать каноническое уравнение (10.6).3.

Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно перенести всечлены уравнения (10.6) в левую часть:x − x0a−y − y0b=0⇔yx11⋅x− ⋅y+ 0 − 0 =0 .abba1aПолученное уравнение (при a ≠ 0 , b ≠ 0 ) имеет вид (10.1) с A = , B = −yx1, C= 0− 0 .bba64. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следуетприравнять левую и правую части уравнения (10.6) параметру t и записать полученноедвойное равенство в виде системы (10.5):x − x0a=t =y − y0⇔b x = x0 + a ⋅ t , y = y0 + b ⋅ t ,t∈.5.

Перейти от общего уравнения прямой (10.1) к уравнению "в отрезках" (10.9) можнопри условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужноперенести свободный член в правую часть уравнения: A ⋅ x + B ⋅ y = − C , а затем разделить обечасти уравнения на − C :"в отрезках" (10.9):AB⋅x+⋅ y =1.−C−CОбозначая x1 = −CC, y1 = − ,ABполучить уравнениеyx+=1.x1 y16. Чтобы перейти от общего уравнения прямой (10.1) A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 к уравнению сугловым коэффициентом (10.10), нужно разрешить общее уравнение относительнонеизвестной y :y=−ABAC⋅x−BB⇔y = k ⋅ x + y0 ,CBгде k = − , y 0 = − .

Такой переход возможен при условии B ≠ 0 .7Пример 10.1. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат)заданы точки K (1, 2) и L(5, 0) . Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезкуKL (рис.10.7). Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезкуKL через его середину. Находим координаты середины M отрезка KL (см. частный случайформулы (9.1) в разд.9.1.1): M  1 + 5 , 2 + 0  , т.е. M (3, 1) . Вектор KL можно взять в качестве 22 нормали для серединного перпендикуляра. Определяем координаты этого вектора, вычитаяиз координат его конца соответствующие координаты его начала: 5  1   4   AKL =   −   =   =   = n .0  2  − 2  B yKOMxLРис.10.7Отсюда C = −10 .Следовательно, уравнение (10.1) искомой прямой имеет вид4⋅ x − 2⋅ y + C = 0 .Осталось найти величину свободного члена С .

Поскольку точкаM (3, 1) принадлежит прямой, то ее координаты x = 3 , y = 1 должныудовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, 4 ⋅ 3 − 2 ⋅1 + C = 0 .Таким образом, серединный перпендикуляр задается общим уравнением4 ⋅ x − 2 ⋅ y − 10 = 0 ⇔ 2 ⋅ x − y − 5 = 0 .Уравнение этой прямой можно было получить в виде (10.2), подставляя координатынормали n = (4 − 2)T и точки M (3, 1) :4 ⋅ (x − 3) − 2 ⋅ ( y − 1) = 0 .Решение задачи получено аналитически без использования графическогоизображения (см. рис.10.7).