Презентация 12. Произведение векторов (Лекции в виде презентаций)

4.4. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯРассмотрим матричное уравнение вида(4.3)A⋅ X = B ,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу X , удовлетворяющую уравнению (4.3).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то матричное уравнение (4.3) имеетединственное решение X = A−1 ⋅ B .Рассмотрим также матричное уравнение вида(4.4)Y ⋅A= B,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу Y , удовлетворяющую уравнению (4.4).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то уравнение (4.4) имеетединственное решение Y = B ⋅ A−1 .Пример 4.3.

Даны матрицы1 2  ,A = 1 4 1 3 5 ,B =  2 4 61 2C = 3 4 .5 6Решить уравнения: а) A ⋅ X = B ; б) Y ⋅ A = B ; в) Y ⋅ A = C . 21− 2 Обратная матрица A−1 = − 11 2 была найдена в примере 4.1.а) Решение уравнения A ⋅ X = B находим, умножая обе его части слева на A −1 :− 1  1 3 5   0 2 4   =  1 1 1  .1 ⋅2   2 4 6  222так как матрицы A и B имеют разное 2X = A−1 ⋅ B =  1− 2б) Уравнение не имеет решений,количествостолбцов ( 2 ≠ 3 ).в) Решение уравнения YA = C находим, умножая обе его части справа на A −1 :Y = CA−11 2  2=  3 4  ⋅  15 6  − 21 0 − 1 1  =  4 −1 . 2  7 − 21Пример 4.7.

Решить уравнение A ⋅ X ⋅ B = C , где1 2  ,A = 141 2 1B = 0 1 0 ,0 2 2 Обратные матрицы A−1 2=  1− 21 3 5 .C = 2461 −1 − 1 2− 1−1= 0 10 1  и B2  0 − 1 1 2 были найдены в примерах 4.1 и 4.2 соответственно. Решениеуравнения находим по формуле−1X = A ⋅C ⋅ B−1 2=  1− 2 1 − 1 − 12 − 1  1 3 5  0 =1 ⋅ 2 4 6  ⋅  0 1 0 −1 1 2  2  1 − 1 − 12   0 − 2 2 0 2 4 .=  1 1 1  ⋅0 10  =  110−2 2 2 2  0 −1 1   22 25. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯСистемой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называетсясистема уравнений видаa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 ,a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = b2 ,am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm .(5.1)Числа aij , i = 1,, m , j = 1,, n называются коэффициентами системы; b1 , b2 ,…, bm –свободными членами; x1 , x2 ,…, xn – неизвестными.

Количество m уравнений в системеможет быть меньше, больше или равно числу n неизвестных.Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел (α1 , α 2 ,, α n )такая, что после замены неизвестных x1 , x2 ,…, xn соответственно числами α1 , α 2 ,…, α nкаждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Еслисистема не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.Совместная система называется определенной, если ее решение единственное,в противном случае, если решений больше чем одно, система называется неопределенной.Система (5.1) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0,a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = 0,am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = 0 .В отличие от однородной систему общего вида (5.1) называют неоднородной.(5.2)3Систему (5.1) принято записывать в матричной форме.Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системысвободные члены записываем в столбец свободных членова неизвестные – в столбец неизвестных a11  a1n A=    ,a m1  a mn  b1  b=  ,  bm  x1  x=  .x  nМатричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет видAx = b ,(5.3)а однородной системы уравнений (5.2) –Ax = o ,(5.4)где символ o в правой части обозначает нулевой столбец размеров m ×1 .Матричную запись (5.3) системы уравнений можно представить в эквивалентной форме:Тогда решение a11  a12  a1n  b1     ⋅ x1 +    ⋅ x2 +    ⋅ xn =    .a a a b  m1  m2  mn  m α1  системы представляется столбцом x =    и удовлетворяетα  n b1  a1n  a12  a11     ⋅ α1 +    ⋅ α 2 +    ⋅ α n =    ,b a a a  m mn  m2  m1 равенству(5.5)т.е.

столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы.45.2. ПРАВИЛО КРАМЕРАРассмотрим случай, когда число m уравнений равно числу n неизвестных ( m = n ), т.е.системуa11 x1 +  + a1n xn = b1 ,a x +  + a x = b ,nn nn n1 1где матрица системы – квадратная n -го порядка:Ее определитель обозначим ∆ = det A = a11 a12a22aA =  21a n1 an 2 a1n a2 n a11a12a21a22an1an 2  ann(5.6) a1n  a2 n .   ann .Правило Крамера.

Если определитель ∆ матрицы системы n линейных уравнений с nнеизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится поформуламxi =∆i,∆i = 1,  , n ,a1 i +1a2 i +1an i +1 a1n a2 n  annгде ∆ i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i -го столбца столбцомсвободных членов, т.е.a11a21∆i =an1 a1 i −1 b1 a2 i −1 b2 an i −1 bn.Если ∆ = 0 и хотя бы один определитель ∆ i ≠ 0 , то система несовместна.Если ∆ = ∆1 = ... = ∆ n = 0 , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеетбесконечно много решений.5Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений2 x1 + 2 x2 + x3 = 9 ,=3, x1 + x22 x2 + x3 = 7 .Составимматрицу 2 2 1A = 1 1 0 .0 2 1системыВычислимееопределитель2 2 1∆ = 1 1 0 = 2+2−2= 20 2 1(см.

пример 2.1). Так как определитель отличен от нуля, системаимеет единственное решение (см. правило Крамера). Находим определители ∆ i и неизвестныеxi ( i = 1, 2, 3 ):9 2 1∆1 = 3 1 0 = 9 + 6 − 7 − 6 = 2 ,7 2 1x1 =2= 1;22 9 1∆2 = 1 3 0 = 6 + 7 − 9 = 4 ,x2 =0 7 12 2 9∆ 3 = 1 1 3 = 14 + 18 − 12 − 14 = 6 ,0 2 7x3 =4=2;26= 3.265.3. УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙРассмотрим систему (5.3) m линейных уравнений с n неизвестными. Составимблочную матрицу, приписав к матрице A справа столбец свободных членов.

Получимрасширенную матрицу системы: a11a( A b ) =  21 a m1a1n b1  a2 n b2    amn bm .(5.7)m× ( n +1)Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключениемобозначений неизвестных.Теорема Кронекера–Капелли. Система Ax = b совместна тогда и только тогда,когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: rg A = rg ( A b ) .7Пример 5.2. Имеет ли система x1 + 2 x3 + x4 = 1,2 x1 + x2 + x4 = 0 ,3 x + x + 2 x + 2 x = 234 1 2решения? Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы:1 0 2 1A = 2 1 0 1 , 3 1 2 21 0 2 1 1(A b) =  2 1 0 1 0  . 3 1 2 2 2Ранг матрицы A равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядкаи третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк.

Следовательно, третьюстроку можно вычеркнуть по свойству 4 (см. разд.3.2), при этом ранг матрицы не изменится.Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минортретьего порядка, например минор, составленный из первого, второго и последнего столбцоврасширенной матрицы:1 0 1M 1122 53 = 2 1 0 = 2 + 2 − 3 = 1 ≠ 0 .3 1 2Следовательно, rg A ≠ rg( A b ) . Поэтому система несовместна (не имеет решений). 8.