Boit_K__Cifrovaya_yelektronika_BookZZ_or g (К. Бойт - Цифровая электроника), страница 8

Приоритет существует и в обычной алгебре. Умножение и деление имеют там более высокий приоритет перед сложением и вычитанием. В алгебре логики более высокий приоритет имеет операция логического умножения И. Операция логического умножения И выполняется перед логическим сложением ИЛИ. У=АчВл С==ЭАч(Вл С).

Теперь рассмотренное выше уравнение становится однозначным. Если в выражении алгебры логики присутствуют операции логического умножения и сложения, то переменные, связанные логическим умножением, должны читаться так, как будто взяты в скобки. 4.4. Функции И-НЕ и ИЛИ-НЕ Алгебра логики построена на трех основных логических операциях — И, ИЛИ и НЕ. На элементах, выполняющих эти операции, можно реализовать любую логическую функцию. Поэтому элементы И, ИЛИ и НЕ называются основными. Из первой теоремы де Моргана следует, что элемент логического умножения всегда может быть заменен элементом ИЛИ и несколькими элементами НЕ: АлВ=АчВ; АлВ=АчВ. Это означает, что без элементов И можно обойтись. Отсюда следует правило: Любая логическая функция может быть реализована только на элементах ИЛИ и НЕ.

Вентили ИЛИ и НЕ можно реализовать на элементах ИЛИ-НЕ (рис. 4.21). Если соединить входы элемента ИЛИ-НЕ вместе, то получится элемент НЕ. Элемент ИЛИ получается путем инвертирования выхода ИЛИ-НЕ. Для этого к выходу элемента ИЛИ-НЕ последовательно подключается еще один элемент ИЛИ-НЕ, который действует как элемент НЕ (рис. 4.21). Вентиль И может быть образован согласно уравнению, следующему из первой теоремы де Моргана: АлВ=АчВ. Рис.

4.2Е Вентили ИЛИ и НЕ, реа- лизованные на логических элемен- тах ИЛИ-НЕ. на я ~л а >~а"в л а1 а~ лвгл ° в или > в в л 6 л а л в и в ага В Рис. 4.22. Вентиль И, реалиэо- ванный на логических элемен- тах ИЛИ-НЕ. Для получения А и В применяют два элемента ИЛИ-НЕ. Для логической операции сложения используется еще один элемент ИЛИ-НЕ (рис. 4.22). Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ, то зто значит, что любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ.

Любая логическая Функция может быть реализована только на элементах ИЛИ-НЕ. Элементы ИЛИ-НЕ можно использовать как универсальные логические элементы. Из второй теоремы де Моргана следует, что логический элемент ИЛИ может быть заменен логическим элементом И и несколькими элементами НЕ: АчВ=АлВ; А г В = А л В. Это означает, что без элементов ИЛИ можно обойтись. Отсюда следует правило: Любая логическая Функция может быть реализована только на элементах И и НЕ. А ~~ В = А л В.

Вентиль НЕ можно реализовать на элементах И-НЕ. Если соединить входы элемента И-НЕ вместе, то получится элемент НЕ. Элемент И получается путем последовательного включения элемента И-НЕ и еще одного элемента И-НЕ, который действует как элемент НЕ (рис. 4.23). Вентили ИЛИ также можно реализовать на элементах И-НЕ. Из второй теоремы де Моргана следует: ~4А4 Г 4. 4 44 Рис. 4.23. Вентили НЕ и И, реа- лизованные на логичесюсс элемен- тах И-НЕ. ИЕ А =>А А-4~ВА в А а а АхВ=Я4В или в в А В Д-- о Рис. 4.24. Вентиль ИДИ, реали- зованный на логических элемен- тах И-НЕ.

Любая логическая Функция может быть реализована только нв элементах И-НЕ. Элементы И-НЕ, так же как и элементы ИЛИ-НЕ, можно использовать как универсальные логические элементы. Для синтеза цифровых схем только на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ часто требуется многошаговое преобразование уравнений алгебры логики. Такие преобразования могут быть произведены разными способами.

Путь, обычно ведущий к цели кратчайшей дорогой, начинается с операции двойного отрицания. Двойное отрицание не меняет результат выражения. Пример Преобразуйте уравнение У = (А л В л С) и (А л В л С) так, чтобы соответству- ющая схема содержала только элементы И-НЕ. У =(АлВлС)м(АлВлС); У = (А л В л С) л (А л В л С) . Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис.

4.25. Пример Преобразуйте уравнение л, = (А л В л С) и (А л В л С) так, чтобы соответству- ющая схема содержала только элементы ИЛИ-НЕ. У = (А л В л С) и (А л В л С); Для реализации вентиля ИЛИ требуются два элемента И-НЕ, вюпоченные как элементы НЕ. Еще один последовательно включенный элемент ИНЕ используется для логического умножения с инверсией (рис. 4.24). Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах И-НЕ, то любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах И-НЕ. ».» щ» «-хе Олх-их 4ф л е с Рне.

4.25. Схема только на элементах И-НЕ. У =(А лВлС)м(А л ВлС); У = (А л В л С) м (А л В л С) . Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис. 4.2б. На практике часто возникают трудности при преобразовании алгебраических уравнений в логические операции И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Есть способ избежать этих преобразований. В схеме, построенной из основных элементов, отдельные основные элементы можно заменить элементами И-НЕ и ИЛИ-НЕ, как указано на рис.

4.21, 4.22, 4.23 и 4.24. При этом получаются более сложные схемы, которые, тем не менее, легко упрощать. Так, например, часто встречаются два следующих друг за другом вентиля НЕ. Эти вентили можно вычеркнуть, так как их действия взаимно компенсируются (двойное инверпгрование переменной не меняет ее). Вследствие этого схема значительно упрощается.

Пример такого упрощения показан на рис. 4.27. В верхней части рисунка представлена схема, соответствующая функции У = (А л В л С) м (А л В л С) и состоящая из основных элементов. Преобразуем эту схему в схему, состоящую только из элементов И-НЕ. Для этого каждый основной элемент л в с Рне. 4.26. Схема только на элементах ИЛИ-НЕ. (БО Г 4. ~ бю л в с в с схемы заменяется соответствующим ему элементом И-НЕ. Последовательно включенные элементы НЕ можно вычеркнуть. В результате получается схема, функцию которой мы ранее определили расчетным путем (см.

рис. 4.25). Этот способ всегда работает на практике, однако требует немного больше времени. 4.5. Примеры Аксиомы и теоремы алгебры логики О1 Ох Первмвстителаный аннан Ою АлВлС=СлАлВ; 'Ои АчВчС=СчАчВ. АлО=О; Ал1=А; АлА=А; АлА=О; в ) И*в й Рис. 4.27. Схема с основными элементами, эамененными соответствующими элементами И-НЕ. ® АмО=А; ® Ам1=1; Ф АмА=А; ® АчА=1; 45ь ~ Д Сочетаюаееьяый закон О~~ Ал(ВлС)=(АлВ)лС; ® Ач(ВчС)=(АчВ)чС. Расаредеяытееьяыа залом ® Ал(ВчС) =(АлВ)ч(АлС); ® Ач(ВлС) =(АчВ)л(АчС); 6В Ал(АчВ) = А; 6-"ь) Ач(АлВ) = А. 'Теоремы де Моргана О~~ АлВ=АчВ; 6В АлВлСлЮл...=АчВчСчЮч...; ® АчВ=АлВ; ~ОБ) АчВчСчВч...=АлВлСлЮл... Уравнения 14а и 15а являются другой формой записи распределительного закона.

Они получаются следующим образом: Уравнения 16а и 17а являются расширением теорем де Моргана на любое число переменных. В предыдущих уравнениях переменные А, В, С и Ю подразумевают, что на их месте может быть любая переменная. В качестве переменных могут также записываться выражения в скобках и функции многих переменных. Примеры В последнем уравнении речь идет об операции ИЛИ над переменной и ее инвертированным значением. Переменной является выражение (Хл Т).

Согласно уравнению 8 (А ч А = 1) г равно 1. А л (А ч В) = (А ч О) л (А ч В) = А ч (О л В) = А ч О = А т А=АчО ОлВ=О А ч (А л В) = (А л 1) ч (А л В) = А л (1 ч В) = А л 1 = А т 4 А=Ал1 1чВ=1 г, =ЯлО=О; У=ЯлК=ЯчК; г, =(Хл Т) = Хл у =1. ( .ц (ураны. 16) (акс. 8) (3 г Г 4. ~ бр Примеры расчетов Упрощение выражений Пример 1 У=АчВчВчС; ВчВ=1; (акс. 8) Х = Ач1чС; У = (А ч С) ч 1. Логическое сложение ИЛИ в результате дает 1 (акс. 1).

Выражение в скобках (А ч С) рассматривается как одна переменная: Х = 1. Пример 2 Х = (М л Ф) ч (М л Ф л М); Х = (М л Ф) ч (М л М л Ф); (акс. 4) МлМ=О; Х = (М л Ф) ч (О л Ф); (акс. 1) ОлФ=О; Х =(Мл)У) О. Согласно аксиоме 5 логическое сложение переменной с нулем дает в результате саму переменную: Х=(Мл)У). (акс. 5) Пример 3 У = В ч (А л В л С) ч В. Порядок слагаемых при логическом сложении не имеет значения.

Выражение В ч В согласно аксиоме 8 равно 1: У = В ч В ч (А л В л С) = 1 ч (А л В л С), Выражение в скобках рассматривается как одна переменная. Логическое сложение переменной с единицей дает в результате единицу (акс. 6): Пример 4 У = Х л (Х ч Я). Согласно распределительному закону (уравн. 14), его можно «раскрыть»: А л(ВчС)=(Ал В)ч(АлС); У = Х л (Х ч Я) = (Х л Х) ч (Х л Я) . Выражение Х л Х равно О (акс.

4): У = Оч(ХлЯ). Выражение в скобках (Хл Я) рассматривается как одна переменная. Логическое сложение переменной с нулем дает в результате переменную ( 5): У=ХлХ С помощью таблицы истинности можно проверить правильность расчетов (рис. 4.28). Рис. 4.28. Таблица истинности даа проверки результата. Пример 5 У =АчВлАнВчС. Сначала уберем длинную инвертирующую черту согласно второму закону де Моргана: У = Ач(ВлА лВлС); У = Ам(ВлАлВлС). Поменяем переменные местами: У = Ач(В лВлАл А); ВлВ=О; (акс. 4) У = Ач(блАлС). Выражение Ал С рассматривается как одна переменная. Логическое умножение переменной с нулем дает в результате ноль: У=АчО; У = А. (акс.

5) (Ъ4 Г 4Л бр У=АлХчАлВлХчВлХ. Если они убираются, необходимо проверить, не надо ли вместо них поставить скобки. В этом примере скобки необходимы: У = А л Х ч А л В л Х ч В лХ; У = (А л Х ч А л В л Х) л В л Х. Теперь можно разбить короткие черты отрицания и сортировать переменные: У = (А ч Х ч А ч В ч Х) л В л Х; У =(АчАч ХчХч В)лВ л Х; АчА=1; ХчХ=Х; (акс. 8) (акс. 7) У = (1 ч Х ч В) л В л Х; 1 (Х В)=1; (акс.

б) У=1лВлХ; У = В л Х. Преобразование уравнений Пример 7 Преобразуйте следующую функцию так, чтобы реализующая ее схема со- стояла только из элементов И-НЕ. У = ] С ч (Ф л Р л Я)1 л (А ч В); У = [Сч(ФлРлв)]л(А ч В); У =ВлФлРлвлАлВ; У = С лил РлЯлАл В; У = С л Ж л Р л Я л А л В. Пример 6 Сначала следует разбить длинную верхнюю черту отрицания на отрезки согласно уравнению 17. Двойные черты отрицания равной длины взаимно сокращаются и могут быть вычеркнуты (акс. 9). Черты отрицания над не- сколькими переменными равносильны скобкам: К ~ Ы ф Пример 8 Преобразуйте следующую функцию так, чтобы реализующая ее схема состояла только из элементов ИЛИ-НЕ.