maall (Лекции с сайта ФН), страница 2

Если p2 /q 2 = 2, то p2 = 2q 2 , и число pдолжно быть чётным, т.е. p = 2r. Тогда 4r2 = 2q 2 , 2r2 = q 2 , и q — также чётное число.Таким образом, p и q — чётные числа, что противоречит несократимости дроби p/q, инаше утверждение доказано. ∗Если в теореме утверждается, что некоторое высказывание A(n) истинно при всехнатуральных значениях n, т.е. при n = 1, 2, 3, . . . , то для доказательства можно применить метод математической индукции. Он состоит в следующем. Сначала проверяетсяистинность A(1).

Затем, исходя из предположения об истинности A(n), доказывается,что истинным является и высказывание A(n + 1). Если перечисленные действия удаётсяосуществить, то теорема считается доказанной.Пример. C помощью индукции можно доказать неравенство Бернулли: при любомx > −1 и при любом натуральном n(1 + x)n > 1 + nx.∗ Пусть n = 1; в этом случае имеем неравенство 1 + x > 1 + x, которое, очевидно,справедливо. Пусть доказываемое неравенство справедливо при некотором натуральномn. Умножим обе его части на неотрицательное по условию число 1 + x; имеем(1 + x)n+1 > (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 > 1 + (n + 1)x,т.е.

(1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. По индукции неравенство доказано. ∗Обобщением известных школьных формул (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 == a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 является формула бинома Ньютона, т.е. равенство n Xn n−1n n−2 2n n−k kna b+a b + ... + b =a b ,(a + b) = a +12kk=0nn(7)n!— биномиальные коэффициенты. Они определены при неотрицательныхгде nk = (n−k)!k!целых n и при 0 6 k 6 n; при этом n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1.

∗ Основное свойствобиномиальных коэффициентов, используемое при доказательстве формулы (7), состоит втом, что n+1nn=+,kkk−14n > 1, 1 6 k 6 n. Это равенство проверяется непосредственно: nnn!n!n!(n + 1 − k)+=+=+kk−1(n − k)!k! (n − k + 1)!(k − 1)!(n + 1 − k)!k!(n + 1)!n+1n!k==.+(n + 1 − k)!k!(n + 1 − k)!k!kДокажем формулу бинома Ньютона по индукции. При n = 1 равенство (7), очевидно,справедливо. Пусть оно верно при некотором n. Умножим обе его части на a + b:n+1(a + b)= (a + b)n Xnkk=0=an+1+ab =n Xnk=0n Xnk=1n−k kkan+1−k kb +kan+1−k kk=0n−1 Xnk=0b +n Xnkkan−k bk+1 =an−k bk+1 + bn+1 .(8)В последней сумме новым индексом суммирования будем считать l = k + 1; тогдаn−1 Xnk=0kan−k k+1bn Xn=an+1−l bl .l−1l=1Подставляя это в (8) (и возвращаясь к прежнему обозначению индекса суммирования),получим:n Xnnn+1n+1(a + b)=a++an+1−k bk + bn+1 =kk−1k=1nn X n+1Xn + 1 n+1−k kn+1n+1−k kn+1=a+ab +b=ab .kkk=1k=0По индукции формула (7) доказана.

∗5кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 2.Множества, операции над ними, их свойства. Множество действительных чисел, его полнота. Промежутки. Окрестности конечнойточки и бесконечности. Принцип вложенных отрезков. Ограниченные и неограниченные множества. Точная верхняя и нижняя гранимножества.ОЛ-1 гл. 1.Предварительно обратимся вновь к общей теории множеств, а именно рассмотрим способы задания множеств.

Если множество A конечно, и число элементов в нём не слишкомвелико, то A можно задать, перечислив его элементы:A = {a, b, . . . , c}.В случае бесконечного множества или множества, содержащего слишком много элементов,такой способ не годится, и множество задают, указывая характеристическое свойство егоэлементов (т.е. свойство, присущее тем и только тем элементам, из которых состоит данное множество). Например, если множество X состоит из всех элементов x, для которыхвыполняется свойство P (x), то пишутX = {x | P (x)}Пустое множество ∅, которое не содержит элементов, пользуясь этим способом, можнозадать так:∅ = {x |(x ∈ X)&(x 6= x)} = {x|x ∈ X, x 6= x},где X — какое-либо множество (любое).Говорят, что множество A есть подмножество множества B, если для любого x ∈ Aвыполняется также включение x ∈ B.

В этом случае пишут A ⊂ B. Если A ⊂ B иB ⊂ A, то множества A и B равны: A = B. Рассмотрим стандартные операции надмножествами. Объединением A ∪ B множеств A и B называется множество, состоящееиз всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B. Аналогичноопределяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если Ai— произвольныеS множества, занумерованные с помощью множества индексов I, то ихобъединениеAi есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотяi∈Iбы одному из множеств Ai .1Назовём пересечением A ∩ B множеств A и B множество, состоящее из всех элементов,принадлежащихT как A, так и B. Пересечением любого числа множеств Ai называетсясовокупностьAi элементов, принадлежащих каждому из множеств Ai (как и выше, Ii∈Iесть некоторое множество индексов, с помощью которого занумерованы множества Ai ).Операции объединения и пересечения множеств, очевидно, коммутативны и ассоциативны,т.е.A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),A ∩ B = B ∩ A,(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).Кроме того, эти операции взаимно дистрибутивны:(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).Докажем, например, последнее из этих равенств.

В соответствии с определением равенства множеств, надо доказать два включения(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)(9)(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ C.(10)иПусть x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Тогда x ∈ A ∩ B или x ∈ C. Если x ∈ A ∩ B, то x ∈ A и x ∈ B,следовательно, x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C, т.е. x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Если же x ∈ C, то, каки выше, x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C, и x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Таким образом, включение (9)доказано.Пусть теперь x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Тогда x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C. Если x ∈ C, тоx ∈ (A ∩ B) ∪ C. Если же x ∈/ C, то x ∈ A и x ∈ B, т.е. x ∈ A ∩ B, и x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Мывидим, что включение (10) также справедливо. Из (9) и (10) следует требуемое равенство.Рассмотрим ещё разность множеств A \ B. Так называется множество, состоящие извсех элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B.

Часто приходится рассматривать множества, являющиеся подмножествами некоторого основного множества M . Вэтом случае (т.е. если A ⊂ M ) разность M \ A называют дополнением множества A домножества M и обозначают Ā.Перейдём теперь к множеству действительных чисел R. Перечислим основные свойства элементов этого множества. Действительные числа можно складывать, получая вкачестве суммы вновь действительные числа.

При этом для любых действительных чисел a, b, c выполняются равенства:1) a + b = b + a — сложение коммутативно;2) (a + b) + c = a + (b + c) — сложение ассоциативно;3) существует 0, т.е. такое число, что a + 0 = a для любого a;4) у каждого числа a есть противоположное число −a такое, что a + (−a) = 0.Действительные числа можно перемножать, получая в результате вновь действительные числа. При этом5) ab = ba — умножение коммутативно;6) (ab)c = a(bc) — умножение ассоциативно;7) существует единица 1 6= 0, т.е. такое число, что для любого aвыполняется равенство a · 1 = a;8) для любого a 6= 0 существует обратное число a−1 , для которого a · a−1 = 1.Умножение дистрибутивно по отношению к сложению:9) (a + b)c = ac + bc.Множество действительных чисел упорядочено. Это значит, что для любых действительных чисел a и b выполняется одно (и только одно) из соотношений:2a < b,b < a,a = b.При этом10) если a < b и b < c, то a < c — отношение порядка транзитивно;11) если a < b, то a + c < b + c;12) если a < b, и c > 0, то ac < bc.Следующее (и последнее) свойство характеризует полноту множества R действительных чисел.13) Для любых непустых множеств A ⊂ R и B ⊂ R таких,что для каждой пары чиселa ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство a 6 b, существует число c, которое не меньшелюбого числа из A и не больше любого числа из B.В формулировке этого свойства запись a 6 b означает, что либо a < b, либо a = b, т.е.(a 6 b) ⇔ ((a < b) ∨ (a = b)).Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел втом смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства.Напомним, что осью называют прямую, на которой зафиксировано одно из двух возможных направлений.

Рассмотрим некоторую ось l. Будем считать, что она расположенагоризонтально, а направление на ней выбрано слева направо. Как известно, между множеством R действительных чисел и множеством точек оси l можно установить взаимнооднозначное соответствие (это означает, что разным числам соответствуют разные точкиоси, и каждой точке соответствует хотя бы одно (а на деле в точности одно) действительное число).

Для установления такого соответствия надо выбрать на оси l начало отсчётат.е. точку, которой соответствует число 0 и справа от неё — точку 1 (точнее, точку, которой соответствует число 1). В результате на оси появится единичный отрезок, с помощьюкоторого можно измерять расстояния между её точками. Затем каждому числу x ∈ Rпоставим в соответствие точку на расстоянии |x| от начала отсчёта слева или справа взависимости от знака x. Подробности не рассматриваем, т.к. они хорошо известны; напомним лишь определение понятия абсолютной величины (модуля) действительного числа:x, если x > 0,|x| =−x, если x < 0.Мы будем использовать геометрический язык, связанный с установленным соответствием:ось l будем называть числовой осью или числовой прямой, действительные числа будемотождествлять с точками этой прямой. Рассмотрим наиболее часто используемые в анализе подмножества R.