maall (Лекции с сайта ФН), страница 9

если limx→x0 ψ(x)функции ϕ(x) и ψ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут ϕ(x) ∼ ψ(x),x → x0 . Если при x → x0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношенияϕ(x), то говорят, что ϕ(x) и ψ(x) не сравнимы при x → x0 .ψ(x)Примеры. 1. При x → 0 имеем 1 − cos x = o(x), т.к.limx→01 − cos x= limx→0xxx2 x2x · sin2sin12 = lim x 22 = · lim x · lim x 22 = 0 .x→0x2 x→0 x→04·222 sin21√√2. Функции ϕ(x) = √2 + x2 − √2 и ψ(x) = x2 являются бесконечно малыми одного порядка12 + x2 − 2x2√√√=. Отсюда следует, чтопри x → 0, т.к. lim=limx→0x→0 x2 ( 2 + x2 +x22)2 2√√x22 + x2 − 2 ∼ √ при x → 0.2 213. Бесконечно малые при x → 0 функции ϕ(x) = x и ψ(x) = x arctg не сравнимы приxψ(x)1указанном предельном переходе, т.к.= arctg не имеет ни конечного, ни бесконечϕ(x)xπ1π1ного предела при x → 0.

В самом деле, lim arctg = , lim arctg = − .x→0−x→0+x2x2Рассмотрим некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.Теорема (о транзитивности отношения эквивалентности бесконечно малых). Отношение эквивалентности бесконечно малых (как и всякое отношение эквивалентности)обладает свойствами рефлексивности, т.е. ϕ(x) ∼ ϕ(x), симметричности, т.е. еслиϕ(x) ∼ ψ(x), то ψ(x) ∼ ϕ(x), и транзитивности, т.е. если ϕ(x) ∼ ψ(x), а ψ(x) ∼ η(x),то ϕ(x) ∼ η(x); везде x → x0 .В доказательстве здесь нуждается лишь последнее свойство. Пусть функции ϕ(x),ψ(x) и η(x) определены и отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности точкиϕ(x)ψ(x)x0 и бесконечно малы при x → x0 . По условию lim= lim= 1. Тогдаx→x0 ψ(x)x→x0 η(x)ϕ(x) ψ(x)ϕ(x)= lim·= 1, т.е. ϕ(x) ∼ η(x) при x → x0 .

Теорема доказана.limx→x0 ψ(x) η(x)x→x0 η(x)Теорема (о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых). Бесконечно малые ϕ(x) и ψ(x) эквивалентны (при x → x0 ) тогда и только тогда,когда их разность имеет более высокий порядок малости при x → x0 по сравнению скаждой из них.Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ(x) ∼ ψ(x) при x → x0 .

Требуется доказать, что разность ϕ(x) − ψ(x) имеет более высокий порядок малости при x → x0 посравнению с каждой их функций ϕ(x) и ψ(x). По определению эквивалентных бесконечноϕ(x)малых имеем lim= 1; по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малойx→x0 ψ(x)ϕ(x) − ψ(x)ϕ(x)выполняется равенство= 1 + ε(x), ε(x) → 0 при x → x0 . Отсюда= ε(x).ψ(x)ψ(x)Т.к. ε(x) – бесконечно малая при x → x0 , то ϕ(x) − ψ(x) = o ψ(x) , x → x0 . Аналогичноможно показать, что ϕ(x) − ψ(x) = o ϕ(x) при x → x0 . Необходимость доказана.ϕ(x) − ψ(x)Достаточность. Пусть ϕ(x) − ψ(x) = o ψ(x) , x → x0 .

Тогда= o(1), иψ(x)ϕ(x)= 1 + o(1), x → x0 . Через o(1) обозначают бесконечно малую величину, характерψ(x)стремления которой к нулю неизвестен или не представляет интереса. Из последнегоравенства следует, что ϕ(x) ∼ ψ(x) при x → x0 . К такому же выводу можно прийти,2рассматривая равенство ϕ(x) − ψ(x) = o ϕ(x) , x → x0 . Достаточность доказана. Теоремадоказана.Теорема (об использовании эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов). Пусть f (x) и g(x) — бесконечно малые при x → x0 функции, отличные от нуля внекоторой проколотой окрестности точки x0 , и пусть f (x) ∼ ϕ(x) при x → x0 .

Тогда, еслиf (x)ϕ(x)= A, то существует и предел limтакже равный A.существует предел limx→x0 g(x)x→x0 g(x)Доказательство. Имеем:limx→x0ϕ(x) f (x)ϕ(x)f (x)= lim·= lim=A,g(x) x→x0 g(x) ϕ(x) x→x0 g(x)f (x)= 1. Теорема доказана.x→x0 ϕ(x)Заметим, что при вычислении предела произведения бесконечно малых сомножителитакже можно заменять на эквивалентные.Пусть теперь f (x) и g(x) — бесконечно большие функции при x → x0 . Говорят, чтоэти функции являются бесконечно большими одного порядка (при x → x0 ) еслит.к.

limlimx→x0f (x)=C,g(x)(1)Где C — отличное от нуля число. При этом пишут f (x) = O g(x) , x → x0 . При C = 1бесконечно большие f (x) и g(x) называют эквивалентными и пишут f (x) ∼ g(x), x → x0 .Если в (1) число C равно нулю, то говорят, что g(x) есть бесконечно большая более высокого порядка роста по сравнению с f (x) (а f (x) есть бесконечнобольшая более низкогопорядка роста по сравнению с g(x)) и пишут f (x) = o g(x) , x → x0 .

Для бесконечнобольших справедливы аналоги доказанных выше теорем (кроме теоремы о необходимоми достаточном условии эквивалентности бесконечно малых). Как обычно, все рассматриваемые понятия и теоремы можно распространить и на другие предельные процессы(включая односторонние пределы).Пусть ϕ(x) и ψ(x) бесконечно малые при x → x0 . Если при некотором k бесконечноkмалые ϕ(x) и ψ(x) являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что ϕ(x)kимеет порядок малости k по сравнению с ψ(x) при x → x0 . Если ϕ(x) ∼ A ψ(x) , гдеkA 6= 0 — некоторое число, то ϕ(x) = A ψ(x) +o (ψ(x))k , x → x0 .

В этом случае говорят,kчто выделена главная часть вида A ψ(x) бесконечно малой ϕ(x). Определение порядкамалости и выделение главной части не всегда возможно. В качестве ψ(x) для выделенияглавной части обычно выбирают более простую (или лучше изученную) бесконечно малую.1Например, если x → x0 , то часто берут ψ(x) = x−x0 , а если x → ∞, то полагают ψ(x) = .xАналогичные понятия вводятся и для бесконечно больших функций. Пусть f (x) и g(x) —бесконечно большие при x → x0 функции. Говорят, что f (x) имеет порядок роста k поkсравнению с g(x), если f (x) и g(x) имеют одинаковый порядок роста при x → x0 . ЕслиkA — ненулевое число, и f (x) = A g(x) + o (g(x))k , x → x0 , то говорят, что у бесконечноkбольшой функции f (x) выделена главная часть вида A g(x) .

При x → x0 обычно берут1g(x) =, а при x → ∞ полагают g(x) = x. Как и в случае бесконечно малыхx − x0выделение главной части (и определение порядка роста) не всегда возможно.Примеры. 1. Функции ϕ(x) = arccos x и ψ(x) = 1 − x бесконечно малы при x → 1−(для ψ(x) это очевидно; равенство lim arccos x = 0 уже рассматривалось выше).

Опредеx→1−3лим порядок малости ϕ(x) относительно ψ(x). Имеемarccos xarccos cos t=lim= lim x→1− (1 − x)kt→0+ (1 − cos t)kt→0+limtt1 − 1 − 2 sin22k == limt→0+t2k · sin2kt2.1Ясно, что конечный отличный от нуля предел получается лишь при k = . При этом2значении k имеем√arccos xtlim √= 2.= lim √tx→1−t→0+1−x2 · sin2Для раскрытия последней неопределённости мы воспользовались теоремой о первом замечательном пределе. Итак, ϕ(x) = arccos x есть бесконечно малая порядка 1/2 посравнениюpс ψ(x) = 1 −√x при x → 1−. Из наших вычислений следует также, чтоarccos x = 2(1 − x) + o(p 1 − x), x → 1−. Если в качестве ψ(x) взять бесконечно малую√√√√1 − x2 , то, поскольку 2(1 − x) ∼ 1 − x2 , arccos x = 1 − x2 + o( 1 − x2 ), x → 1−.При решении некоторых задач это равенство может оказаться удобнее предыдущего.2. Пусть a > 1, и пусть f (x) = ax , g(x) = x.

В дальнейшем будет доказано, что при любомaxk имеет место равенство lim k = ∞. Поэтому нельзя определить порядок роста f (x)x→+∞ xотносительно g(x); нельзя также выделить у функции f (x) главную часть вида A · xk приx → +∞.Теорема (о сумме бесконечно малых разных порядков). Пусть ϕ1 (x), . . . , ϕn (x), ψ(x)— бесконечно малые при x → x0 функции, и пусть ki — порядок малости функций ϕi (x)относительно ψ(x), i = 1, . . .

, n, причём числа k1 , . . . , kn попарно различны. Тогда суммаϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) эквивалентна при x → x0 слагаемому минимального порядка относительно ψ(x).Доказательство проведём по индукции. При n = 1 нечего доказывать. Пусть принекотором n > 1 утверждение теоремы справедливо, и пусть даны бесконечно малыеϕ1 (x), . . . , ϕn (x), ϕn+1 (x), ψ(x), удовлетворяющие условиям теоремы. Пусть (для определённости) kn+1 — минимальное среди чисел k1 , . . . , kn , kn+1 , а kn — минимальное средичисел k1 , . . . , kn . Тогда по предположению индукции ϕ1 (x) + .

. . + ϕn (x) ∼ ϕn (x), x → x0 .Далее,ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x)ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) + ϕn+1 (x)lim= lim+1 =x→x0x→x0ϕn+1 (x)ϕn+1 (x)ϕn (x)= 1 + lim= 1 + lim (ψ(x))kn −kn+1 .x→x0 ϕn+1 (x)x→x0kn −kn+1Последний предел равен нулю, т.к. ψ(x)→ 0 при kn > kn+1 . Таким образом,ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) + ϕn+1 (x) ∼ ϕn+1 (x) при x → x0 , и по индукции теорема доказана.Аналогичная теорема справедлива и для бесконечно больших функций: сумма бесконечно больших различных порядков эквивалентна слагаемому наивысшего порядка.√√√Пример.

√Если x → +∞, то x2 + x + x ∼ x2 , 2x2 + x + 3 x ∼ 2x2 ; поэтомуx2 + x + xx21√√lim=lim=.3x→∞ 2x2 +2x + x x→∞ 2x2Мы пока не располагаем общими методами выделения главной части, поэтому болееподробно на этом способе вычисления пределов не останавливаемся.4кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 9.Непрерывность функции в точке: равносильные определения.

Непрерывность суммы, произведения, композиции непрерывных функций.Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность функции. Непрерывность функции на промежутке (на интервале, полуинтервале и отрезке). Непрерывность основных элементарных функций (док-во для многочлена и синуса). Точки разрывафункций, их классификация.ОЛ-1, пп. 9.1-9.3Пусть X ⊂ R, и пусть на X задана числовая функция f (x). Эта функция называетсянепрерывной в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое,что при всех x, |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε.

Если x0 —изолированная точка множества X (т.е у этой точки имеется окрестность, не содержащаяточек множества X, отличных от x0 ), то в соответствии с этим определением функцияf (x) непрерывна в точке x0 . Например, последовательность {xn }, являющаяся, как известно, функцией натурального аргумента, непрерывна в каждой точке области своегоопределения (здесь для произвольного ε > 0 можно взять δ = 1/2). Такая «непрерывность» интереса не представляет. Мы будем, в основном, применять понятие непрерывности к функциям, заданным на промежутках. Пусть I — промежуток, f : I → R, ипусть x0 ∈ I, причём x0 является внутренней точкой этого промежутка.