Angem_ch_3 (Все лекции по АнГему)

Лекция 9.Глава 3. Линейные пространстваВ этой главе мы приведем краткие сведения о линейных пространствах, которыезатем будут использованы в главе 5 при исследовании систем линейных алгебраическихуравнений.§3.1. Понятие линейного пространства.r r r3.1.1. Определение. Множество L, содержащее элементы произвольной природы x , y, z ,…,называется линейным пространством, а его элементы – векторами линейногопространства, еслиr ra) задана операция сложения элементов L, т.е.

каждой паре элементов x , y множества Lrможно поставить в соответствие элемент z , называемый суммой элементов:r rrr r r"x , y Î L a z Î L : z = x + y ;b) задана операция умножения элементов L на действительные числа, т.е. каждомуrrэлементу x множества L и числу a Î можно поставить в соответствие элемент y ,rrrrra y Î L : y= a x ;называемый произведением элемента x на число a : "x Î L "a Îc) для указанных операций справедливы свойства, называемые также аксиомамилинейного пространства:r rr r r r1.

" x , y Î L x + y = y + x (коммутативность операции сложения)r r rr r r rr r2. "x , y , z Î L ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (ассоциативность операции сложения)rrr r r r r3. $0 Î L " x Î L x + 0= 0 + x= x (существование нулевого вектора)rrrrr r r4."x Î L $ ( - x ) Î L x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0(существование противоположноговектора)rr r5. "x Î L 1× x = x (унитарность)rrr6. "x Î L "a , b Îa ( b x ) = (ab ) xчисло)r7. "x Î L "a , b Îr r8.

"x , y Î L "a Îrr(ассоциативность операции умножения наr(a + b ) x = a x + b x (дистрибутивность по числам);r rrra ( x + y ) = a x + a y (дистрибутивность по векторам).Замечание. Из указанных аксиом вытекают следующие дополнительные свойствавекторов линейного пространства:а) единственность нулевого вектора;b) единственность противоположного элемента;c) свойства нулевого элемента:r r· "a Îa ×0 = 0 ;rr r· "x Î L 0 × x = 0 ;d) определение операции разности векторов линейного пространства:r rr r rr"x , y Î L x - y = x + ( - y ) .Приведем некоторые примеры линейных пространств:1. множества коллинеарных, компланарных и всех свободных геометрическихвекторов − V1 , V2 и V3 , соответственно;2.

множество многочленов степени не выше n − Pn ( x) ;3. множество функций, непрерывных на заданном отрезке [ a; b ] − C [ a; b ] .§3.2. Линейная зависимость и линейная независимостьвекторов линейного пространстваr rr3.2.1. Определение. Линейной комбинацией векторов x1 , x2 ,..., xn с коэффициентамиrrrra1 , a 2 ,..., a n называется вектор x = a1 x1 + a 2 x2 + ...

+ a n xn . Здесь a1 , a 2 ,..., a n − заданныечисла.Замечание. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю a1 = a 2 = ... = a n = 0 ,то она называется тривиальной. Если же среди коэффициентов линейной комбинациинайдется хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной.r rr3.2.2.

Определение. Система векторов x1 , x2 ,..., xn называется линейно зависимой, еслисуществует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е.nrrr r2xxx$a1 , a 2 ,..., a n Îa¹0a+a+...+aå kn n = 0.1 12 2k= 1r rr3.2.3. Определение. Система векторов x1 , x2 ,..., xn называется линейно независимой, еслитолько их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е.rrr r"a1 , a 2 ,..., a n Îa1 x1 + a 2 x2 + ...

+ a n xn = 0 Þ a1 = a 2 = ... = a n = 0.3.2.4. Теорема. (Критерий линейной зависимости системы векторов линейногопространства)Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима,необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинациейостальных векторов системы.Доказательство: полностью аналогично доказательству соответствующей теоремы длясвободных геометрических векторов 1.4.5.3.2.5. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов линейногопространства.1.

Всякая система векторов линейного пространства, включающая нулевой вектор,является линейно зависимой.2. Система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимуюподсистему, является линейно зависимой.3. Всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейногопространства является линейной независимой.Доказательство приведенных свойств полностью аналогично доказательствамсоответствующих теорем 1.4.6.1-1.4.6.3 для свободных геометрических векторов.3.2.6.

Определение. Базисом линейного пространства называется упорядоченнаясовокупность линейно независимых векторов, таких, что всякий вектор линейногопространства может быть представлен в виде линейной комбинации этой совокупностивекторов.3.2.7. Определение. Представление вектора в виде линейной комбинации векторов базисаназывается его разложением по данному базису.3.2.8. Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если число векторов вего произвольном базисе равно n.

При этом число n называется размерностью линейногопространства.Примеры:dim V3 = 3;dim Pn ( x) = n + 1.3.2.9. Теорема. (О разложении вектора линейного пространства по базису)Всякий вектор конечномерного линейного пространства может быть разложен по егопроизвольному базису, притом единственным образом.Доказательство полностью опирается на приведенное определение 3.2.6 и доказательствоаналогичной теоремы 1.5.5 для геометрических векторов.3.2.10. Определение. Коэффициенты разложения вектора конечномерного линейногопространства по некоторому базису называются координатами вектора в этом базисе.3.2.11. Теорема. (Операции с векторами линейного пространства в координатной форме)При сложении двух векторов линейного пространства их координаты в произвольномбазисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются наэто же число.Доказательство полностью аналогично приведенному в теореме 1.5.6 для геометрическихвекторов.§3.3.

Подпространство линейного пространства3.3.1. Определение. Подмножество M линейного пространства L называетсяподпространством исходного линейного пространства L, если оно является замкнутымотносительно введенных операций сложения векторов и умножения их на число, т.е.r rr r· "x , y Î M x + y Î M ;rr· "x Î M "a ÎaxÎM.Примеры:V2 является подпространством V3 ; Pn ( x) является подпространством C [ a; b ] .Замечание.

Можно показать, что всякое подпространство линейного пространства в своюочередь является линейным пространством относительно введенных операций сложениявекторов и их умножения на число.r rr3.3.2. Определение. Линейной оболочкой векторов x1 , x2 ,..., xn линейного пространстваназывается совокупность всевозможных линейных комбинаций этих векторов:r rrrrrspan { x1 , x2 ,..., xn } = {a1 x1 + a 2 x2 + ... + a n xn | a1 , a 2 ,..., a n Î } .r rrЗамечание. Легко проверить, что линейная оболочка векторов x1 , x2 ,..., xn являетсяподпространством линейного пространства. С другой стороны ясно, что всякоеrrrподпространство, содержащее элементы вида a1 x1 + a 2 x2 + ...

+ a n xn , должно содержать иr rrвекторы x1 , x2 ,..., xn . Таким образом, можно сделать вывод о том, что линейная оболочкаr rrвекторов x1 , x2 ,..., xn является наименьшим подпространством исходного линейногоr rrпространства, содержащим векторы x1 , x2 ,..., xn ..