Konspekt_lektsy_tekhmash_ne_dlya_pidaras ov (Лекции в PDF), страница 4

Геометрически этосвойство проявляется в том, что рассеяние случайного вектора на плоскости независит от выбора начала отсчета, что позволяет рассматривать рассеяниеотклонений случайного вектора от его математического ожидания вместорассеяния самого случайного вектора.При распределении по нормальному закону, рассеяние на плоскости егоотклонений от математического ожидания, ограничивается эллипсом,называемым эллипсом рассеяния. Центр эллипса находится в точке скоординатами.

Оси эллипса называются осями рассеяния, а(рис.3.4).характеристики рассеяния – главными дисперсиями иРис.3.4. Эллипс рассеяния.Эллипс рассеяния представляет собой геометрическое место точек равныхплотностей вероятности. Полуоси эллипса пропорциональны главным среднимквадратичным отклонениям:.Большая ось эллипса рассеяния наклонена к осипод углом :.Приугол лежит в 1 и 3 четверти, а приЗначения дисперсий:— во 2 и 4 четверти.Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальномузакону, в область S, ограниченную эллипсом рассеяния:,где – размеры полуосей эллипса в средних квадратичных отклонениях.Если 1= 2= , то рассеяние по нормальному закону называется круговым.На практике возникает задача определения характеристик рассеянияслучайного вектора на основании наблюдаемых значений случайного вектора внескольких несвязанных опытах.

Ограниченность числа опытов позволяет лишьпредполагать приближение к теоретическим значениям характеристик,найденных по формулам:где…,иколичество опытов.…,составляющие случайного вектора,–3.2. Функции случайных аргументовВ практике технологии машиностроения часто приходится определятьвероятностные характеристики случайной величины по известнымхарактеристикам распределения других случайных величин, связанных с первойфункциональной зависимостью типа:Если функция не линейна, но может быть с достаточной степенью точностилиниаризирована (заменена линейной функцией) и приведена к виду:гдечастная производная функция по аргументу хi, в которую вместо каждогоаргумента подставлено математическое ожидание, то приближенныехарактеристики распределения такой функции могут быть вычислены последующим формулам.Математическое ожидание.Дисперсия,где— дисперсия случайной величины— корреляционный момент величинКогда случайные аргументы… не коррелированны:Если функция линейна и представляет собой алгебраическую суммунесвязанных случайных аргументов, то ее математическойожидание, а дисперсияЛЕКЦИЯ 44.

Производственный и технологический процессы4.1. Свойства и характеристики процессаПроцесс (в широком смысле слова) – последовательные изменения какоголибо предмета (явления) или совокупность последовательных действий,направленных на достижение определенного результата.Реальный ход процесса, выполняемого машиной, отличается от идеальногоиз-за непрерывно меняющихся условий. Не остаются постоянными во временикачество исходного продукта, количество сообщаемой энергии, изменяетсясостояние окружающей среды и самой машины, что приводит к нестабильностикачества, количества продукции, производимой в единицу времени, и еестоимости (рис.4.1).Рис.

4.1. Нарушения намеченного хода процессаЕсли в промежутке временипроследить за изменением какой-либохарактеристики исходного продукта, энергии, состояния внешней среды,количества, качества и стоимости продукта, то можно построить график,подобный представленному на рис.4.2. Для любого другого промежуткавремени, равного, получился бы график по виду отличный отпервого, что на рисунке показано путем наложения второго графика на первый.Таким образом, для любого момента времени (как и для других моментов)невозможно предсказать значение, то естьявляется случайнойвеличиной, а зависимость– случайной функцией.Рис. 4.2. График случайной функцииназывают такую функцию аргумента , значениеСлучайной функциейкоторой при любом значении является случайной величиной .Роль аргумента на практике часто играет: время, путь, порядковый номер ит.д.

Случайную функцию можно рассматривать как бесконечнуюпоследовательность значений случайной величины, зависящую от одного илинескольких непрерывно изменяющихся параметров . Каждому значениюпараметра (параметров) соответствует одно значениеот величины . Всевместе случайные величиныопределяют случайную функциюЕслиаргумент случайной функции может принимать любые значения в заданноминтервале, то в этом случае случайную функцию называют случайнымпроцессом. Если же значения аргумента дискретны, то случайную функциюназывают случайной последовательностью. Графическое отображениеслучайной последовательности в технологии машиностроения получилоназвание точечной диаграммы (рис.4.3).Рис.4.3.

Точечная диаграмма обработки деталей на станкеДля характеристик случайной функции при изменении аргумента в областитребуетсявыявить—мерныйдифференциальныйзакон, совместного распределения ее случайных ординат.Существующие способы построения многомерных законов распределениянеудобны из-за громоздкости. На практике поэтому пользуются вместо законових отдельными параметрами. Одним из таких параметров являетсяматематическое ожидание.называют такуюМатематическим ожиданием случайной функциифункциюзначение которой при каждом данном значении аргументаравно математическому ожиданию значения случайной величины при этом :Математическое ожидание случайной функции представляет собойнекоторую среднюю функцию, около которой группируются иотносительно которой колеблются все возможные реализации случайнойфункции (рис.4.4):,где— одномерная плотность вероятности.Рис.4.4.

Геометрический смысл математического ожиданияМерой рассеяния значения случайной функции является дисперсия.Дисперсия случайной функции – функция, значения которой при каждомданном значении аргумента равно дисперсии значений случайной величиныпри этом значении аргумента. Дисперсия случайной функции..Математическое ожидание и дисперсия не являются полнымихарактеристиками случайной функции, так как не отражают характер изменениязначений случайных ординат во времени. Две случайные функции, имеющиеодинаковыеиа интенсивность изменения значений случайныхординат у них различна (рис.4.5).Для того чтобы учесть степень изменчивости случайной функции сизменением аргумента необходимо определить корреляционные связи междупарами ее ординат.

Корреляционная функцияявляется функцией двухнезависимых переменных:Рис.4.5. Две случайные функции, отличающиеся интенсивностью изменения вовремени их ординатСлучайные процессы и последовательности подразделяются на группы поряду признаков, они могут быть: стационарные и нестационарные; нормальные и ненормальные; марковские и немарковские (в зависимости от поведения случайнойфункции от ее значений в предшествующий промежуток времени).Наряду сна практике часто рассеяние случайнойвеличины характеризуются величиной t, называемой мгновенным полемрассеяния.

Поле рассеяния случайной величины в совокупности случайныхвеличин определяется:Для зафиксированного момента (мгновения) процесса такой совокупностибыть не может, поскольку моменту может соответствовать лишь единственноезначение случайной величины X. Однако о пределах, в которых можетпроявиться это значение, можно судить по разности крайних значений ординат,находящихся поблизости от моментапроцесса. Это позволяет определитьчерез разность значений таких ординат:На точечной диаграмме, образующей случайную последовательность,мгновенное поле характеризует ширину полосы точек, в пределах которойнаблюдается рассеяние значений случайных ординат в интервалеизменения аргумента. Характеристику , как и дисперсию случайной функции,следует рассматривать как функцию (рис.4.6).Рис.4.6.

Геометрический смысл понятия «мгновенное поле рассеяния»точечная диаграмма: б) - как функция аргумента t: а) –Положение мгновенного поля рассеяния характеризуют либо среднимзначением случайной функции, либо значением ординатсерединмгновенных полей рассеяния.Средним значением случайной функции следует считать такуюфункцию, значения которой равны среднему значениювозможныхзначений случайной величины при данном значении аргумента.Существуют различные приемы нахожденияслучайной функции. Частопользуются приемом, основанным на использовании средних групповыхзначений случайной величины.

При этом используется положение теориивероятностей о том, что рассеяние групповыхзначений случайной величиныменьше враз рассеяния значений самой случайной величины , где числозначений, объединенных в группу:Значения группируются без нарушения последовательности по отношению каргументу . В каждой группе определяется , для представления обслучайной функции, необходимо на средних групповых значениях построитькривую.Другая характеристика положения мгновенного поля рассеяния – ординатаего середины, рассматриваемая как функция аргумента . В примере длямомента :4.2. Понятие о точностиЛюбой процесс сопровождается действием большого количества случайныхфакторов, которые вызывают отклонения показателей качества и количестваизделий, выпущенных в единицу времени, и их стоимости от стоимостирасчетных значений.

То есть, между расчетными и действительнымирезультатами процесса всегда бывают расхождения. К тому же, определитьдействительные результаты можно с ошибками. Поэтому различают три видазначений любого показателя: номинальное или теоретическое (расчетное);действительное(объективносуществующее);измеренное,тоестьдействительное значение, познанное с каким-то отклонением.Например, в процессе изготовления изделия необходимо обеспечить некийпоказатель(рис.4.7).