МУ - М-31 (Изучение явления центрального удара шаров)

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаВ.И.Васюков, А.М.Кириллов, М.Б.ЧелноковИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО УДАРА ШАРОВМетодические указания к лабораторной работе М-31 по курсу обшей физикиПод редакцией Н.А.ГладковаИздательство МГТУ, 1992Рассмотрены различные виды ударов, их аналитическое описание на основе законов сохранения энергии и импульса. Изложены экспериментальные методы исследования явленияудара. Для студентов 1-го курса МГТУ.Цель работы - изучение закона сохранения импульса при прямом центральном ударе шаров, определение коэффициента восстановления и времени соударения шаров.Теоретическая частьУдару принадлежит особое, почетное место в истории развития человечества: именно удар былтем физическим явлением, которое человек начал использовать в трудовом процессе при изготовлении орудий труда.

В современной науке и технике удар продолжает оставаться в центре внимания ученых и инженеров благодаря тому, что он является эффективным средством концентрацииэнергии и импульса в пространстве и времени.Ударом называется Кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, приводящее к значительному изменению их движения. Явление удара протекает обычно в сотые, тысячные и миллионные доли секунды.

Чем меньше время соударения, тем меньше деформации тел. Так как приэтом импульс тел изменяется на конечное значение, то в месте соударения развиваются огромныесилы. Так, если при ударе Двух одинаковых стальных шаров диаметром 0,1 м, сближающихся соскоростью 5 м/с, явление протекает 5⋅10-4 с, то средняя сила, действующая в период соударения,составляет более 40⋅103 Н.Процесс удара в общем случае обычно разделяют на две фазы.

Первая фаза - с момента соприкос-абV10V10V20V20вгV10V20V10V20Рис. 1новения тел до момента, когда относительная скорость центров масс тел становится равной нулю.Вторая фаза - от этого последнего момента до момента, когда соприкосновение тел прекращается.С момента возникновения деформаций в месте соприкосновения тел начинают действовать силы,направленные противоположно относительным скоростям тел. Возникшие в результате действиясил ускорения уменьшают скорости тел до тех пор, пока они не станут одинаковыми, или, что тоже, пока относительная скорость тел не станет равной нулю.

При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию деформации. С момента, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление деформаций.Силы, продолжая действовать в прежнем направлении, сообщают теперь ускорение, совпадающеепо направлению со скоростью. Скорости тел возрастают по абсолютной величине, направление ихменяется на противоположное по сравнению с первоначальным. Наконец, тела расходятся, и ударзаканчивается.

В этой фазе кинетическая энергия системы растет за счет положительной работыупругих тел. У реальных тел относительная скорость после удара не достигает того значения, которое имелось до удара, так как часть механического движения необратимо переходит в молекулярно-тепловую и другие формы.Различают следующие виды ударов: центральный - прямой и косой (рис.

1 а,б), нецентральный прямой и косой (рис. 1 в, г). Прямая, совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центры масс тел. Если векторы скоростей шаров до удара лежат на линии удара, то ударназывается прямым, а если они не лежат на этой линии - косым.Для характеристики потери кинетической энергии и относительной скорости при ударе вводитсякоэффициент восстановления к, определяемый по формуле!!! !v1 − v 2k= !!v10 − v 20,(1)Где v10 и v 20 - скорости центров масс соответственно первого и второго шаров до удара; v1 и v2 их скорости после удара.

Если k =1, то потери кинетической энергии нет, такой удар называетсяабсолютно упругим, при k = 0 удар называется абсолютно неупругим и при 0<k<1 - неупругим.Абсолютно неупругий удар (k=0) характеризуется тем, что потенциальная энергия упругих деформаций не возникает. При абсолютно неупругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения полной энергии. В этом случае оба тела движутся после удара как одно це!лое, с одной и той же скоростью u . определяемой из закона сохранения импульса!!! m1 v10 + m 2 v 20u=m1 + m 2(2)До удара общая кинетическая энергия системы E0 равна сумме кинетических энергий первого E10и второго E20 тел (в работе рассматриваются шары):m v2 m v2E 0 = E10 + E 20 = 1 10 + 2 20 ,(3)22а после удара(m + m 2 )u 2 (m1 v10 + m 2 v 20 )2E = E1 + E 2 = 1=,(4)22(m1 + m 2 )где Е1, Е2 - кинетическая энергия соответственно первого и второго шаров после удара. Следовательно, потеря кинетической энергии, или работа при неупругой деформации телEдеф = E0 − E =m 1m 2(v10 − v 20 )22(m1 + m 2 )(5)Для случая, когда один из шаров, например второй, до удара неподвижен ( v20= 0), получим2Eдеф =m1m 2m22v10E10=2(m1 + m 2 )m1 + m 2(6)Абсолютно упругим ударом (k=1) называется такой, при котором суммарная механическая энергия тел к концу удара не переходит ни во внутреннюю, ни в какие другие виды энергии.

При такомударе кинетическая энергия на первой фазе удара переходит полностью или частично в потенциальную энергию деформации, которая затем опять переходит в кинетическую энергию. Приабсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения механической энергии Ек+Еп = const.Поэтому закон сохранения энергии до и после удара можно записать как закон сохранения кинетической энергии Е10+Е20=Е1+Е2,или,!2!!!p10p 220p12p 22+=+(7)2m1 2m 2 2m1 2m 2где!!p10 = m1 v10 ,!!p20 = m2 v20 ,!!p1 = m1 v1 ,!!p2 = m 2 v 2Уравнение (7) можно записать в виде!! !!!! !!m2 (p10 − p1 )(p10 + p1 ) = m1 (p 20 − p 2 )(p 20 + p2 )!!! !По закону сохранения p10 + p 20 = p1 + p 2 или!! ! !p10 − p1 = p2 − p20 .(8)(9)Используя уравнение (9), из уравнения (8) получим!!!!(10)m2p10 + m2p1 = m1p2 + m1p 20!!Решая совместно (9) и (10), найдём p1 и p 2 :!! m − m2 !2m1 + p 20p1 = p10 1,m1 + m 2m1 + m 2 (11)!! m − m1 !2m 2 + p10p 2 = p 20 2.m 2 + m1m1 + m 2 !!!!Если массы шаров одинаковы, то p1 = p 20 и p 2 = p10 , т.е.

шары одинаковой массы при абсолютноупругом ударе обмениваются импульсами. B частности, если второй шар до удара покоился, топервый шар после соударения остановится. Факт такой остановки может служить подтверждениемабсолютно упругого удара. Когда масса одного из тел, находящегося в покое, много больше массыдругого (например, m2>>m1), то неподвижное большое тело, получившее удар, практически остается в покое, а ударившее его малое тело отскочит от него с первоначальной по модулю и противоположной по направление скоростью.Неупругий удар сопровождается остаточной деформацией (0<k<1). О степени деформации можносудить по значению энергии, затраченной на эту деформацию.

Энергии остаточной деформацииЕДЕФ можно определить, зная коэффициент восстановления. Если второй шар до удара покоился,то закон сохранения энергии при ударе двух одинаковых шаров запишется так:2mv 10mv 22=+ 2E ДЕФ(12)22где ЕДЕФ – энергия остаточной деформации одного шара (шары одинаковы).Преобразуя выражение (12), получимE ДЕФ21 mv10E)(1 − k 2 ) = 10 (1 − k 2 )= (2 22(12а)На практике применяют удар для двух случаев. В первом случав удар используется для измененияформы тел (деформации), например при ковке, чеканке и штамповке металла, при раздроблениитела и т.д.Из формулы (6) видно, что в этом, случае выгодно, чтобы масса неподвижного тела m2 была3больше массы ударявшего тела m1, поэтому, в частности, наковальни делают возможно более массивными.Во втором случае удар используется для перемещения тел после удара и преодоления при этомсопротивлений, например, при забивке свай в землю, вбивании гвоздей, клиньев и т.д. В этом случае используется энергия Е0 – EДЕФ и выгодно, чтобы масса неподвижного тела была мала в сравнении с массой ударяющего тела.Упругая сила взаимодействия и время соударения.

Изменение импульса каждого из шаров происходит благодаря упругой силе взаимодействия шаров при ударе. В течение соударения сила меня!ется со временем по определенному закону. Найдем среднюю по времени силу <|F|> , действующую на один из шаров. Согласно второму закону динамики,!!(13)<| F |> ∆t = ∆p ,где ∆t=t2-t1 (t1, t2 - моменты начала и конца соударения соответственно).Таким образом, зная изменение импульса одного из шаров и время соударения, можно найтисреднюю силу взаимодействия шаров!!| ∆p |< F >=,(14)∆tСреди вопросов, связанных с ударом, интересен вопрос о времени соударения (продолжительности удара). В 1861 г.

Герц, исходя из теории упругости, предложил теорию деформации при ударе,в которой решал также вопрос и о времени соударения. По этой теории, например, для двух латунных шариков диаметром 25⋅10-3 м с относительной скоростью около 7⋅10-2 м/с продолжительность удара получается порядка 2⋅10-4 с (200 мкс), а при скорости 7 м/с - около 10-4 с (100 мкс).Для иллюстрации влияния масс и размеров шаров на время удара интересно сопоставить времяудара двух одинаковых стальных шаров малой массы, например 0,5 кг, и двух стальных шаров гигантской массы, например равной массе Земли, при начальной относительной скорости 103 м/с.

Впервом случае удар длился бы десятитысячные доли секунды, во втором - несколько часов.Чтобы понять, от чего зависит время соударения тел, рассмотрим более простой случай удара, аименно - удар прямого цилиндрического стержня о жесткую стенку (рис. 2). При скоростях v10примерно от 1 до 10 м/с процесс деформирования стержня носит упругий характер. Этот процессхарактеризуется тем, что вдоль стержня от границы со стенкой распространяется упругая волнасжатия (рис. 2а), отразившись от свободного торца, вдоль стержня распространяется упругая волна разрежения (рис. 2б), в результате чего время соударения (время контакта ∆t) определяетсяформулой∆t =2la(15)v0uабv10uv0Рис.2Рис.34где l – длина стержня; a = E ρ - скорость распространения продольной упругой волны; здесь Е модуль Юнга; ρ - плотность материала стержня.