МУ - М-7 (Механические колебания и волны в твердом теле), страница 2

Таким образом, можно подсчитатьотносительную погрешность ε скорости по формуле2∆v ∆l   ∆νε==   +  0v l   ν02ν0= + 0,02 ∆l=1 мм (для длины стержня l указанной на установке).принимая ∆ν0/νПо ε можно оценить и значение погрешности ∆v=εεv.Контрольные вопросы1. От каких параметров среды зависит скорость распространения продольной волны в упругомстержне?2. Чем отличается стоячая волна от бегущей?3. Каково отношение v1/v2 продольных волн в двух стержнях, если для них (E1/ρρ1):(E2/ρρ2)=100:81?Б.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯКОЛЕБАНИЙ В СЛАБО НАТЯНУТОЙ СТРУНЕТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬПусть y=ξξ(x,t) - уравнение, описывающее смещение точек колеблющейся однородной струны внекоторый момент времени t, концы которой находятся на оси x.

Для малых смещений при слабомнатяжении струны можно полагать, что это натяжение неизменно по всей длине струны и независит от времени. Рассмотрим в некоторый момент времени смещенный из положенияравновесия в направлении оси у малый отрезок струны ∆l (рис. 4). К его концам по касательным кструне приложены равные по модулю силы натяжения F, образующие с направлением оси x углыπ+ϕϕ1 и ϕ2.yFϕ1ϕ2π +ϕϕ1 ∆lF0x+dxxxРис.4При малых смещениях отрезка ∆l можно считать ϕ1 и ϕ2 малыми углами, разность модулейкоторых в общем случае не равна нулю.

Поскольку при малых углах ϕ1 и ϕ2 имеем sin ϕ 1 ≈ tg ϕ 1 иsin ϕ 2 ≈ tg ϕ 2 , то для проекций сил F на ось у, учитывая, что y=f(x, t) можно написать соотношения:F sin(π + ϕ 1 ) = − F sin ϕ 1 ≈ Ftgϕ 1 = − FF sin ϕ 2 ≈ Ftgϕ 2 = F∂ξ∂x∂ξ∂xxx + ∆xОчевидно, что сумма проекций сил F на ось y является силой, возвращающей отрезок ∆l вположение равновесия. На основании второго закона Ньютона имеем ∂ξF ⋅ ∂x−x + ∆x∂ 2ξ∂ξ β=∆x∂x x ∂t 2(15)где β - линейная плотность, численно равная массе отрезке единичной длины струны,находящейся в положении равновесия; ∂2ξ/∂∂t2 - ускорение, сообщаемое отрезку ∆l струнывозвращающей силой.

С учетом малости ∆x получаемили∂ 2ξ∂ 2ξF 2 ∆x = β∆x 2∂x∂tF ∂ 2ξ ∂ 2ξ=β ∂x 2 ∂t 2(16)Сопоставляя (16) и (7), находимv=Fβ(17)Таким образом, скорость v распространения волны в слабо натянутой струне зависит от еелинейной плотности и от того, как она была натянута в положении равновесия, но не зависит отупругих свойств струны. Независимость скорости волны от упругих свойств струны в данномслучае объясняется тем, что возвращающая сила, действующая на каждый отрезок ∆l струны,является суммой проекций на ось у неизменных во времени сил F (по модулю).Линейная плотность струны β связана с обычной плотность струны ρ соотношениемβ = ρ⋅S = ρπd 24(18)где S- площадь поперечного сечений струны, d - диаметр сечения струны, С учетом (18) формула(17) переходит в формулуv=2 Fd πρ(19)ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬЭкспериментальная установкаУстановка (рис.

5) для проведения эксперимента состоит из горизонтальной струны, конец Акоторой закреплен, а другой, имеющий чашечку для гирь, перекинут через металлический блок В.К концу А и блоку В подводится переменный ток от выходных клемм генератора звуковойчастоты ГЗ-33, питающегося от сети. Постоянный магнит М, в горизонтальном магнитном полекоторого находится небольшой участок струны, вызывает появление периодически меняющейся ввертикальном направлении силы Ампера, приложенной к этому участку струны.

При некоторомнатяжении струны частота ее собственных колебаний может оказаться совпадающей с частотойизменения силы Ампера, т.е. с частотой переменного тока генератора. В этом случае наступаетрезонанс, что легко обнаружить по отчетливому появлению узлов и пучностей поперечнойстоячей волны в струне.Скорость распространения колебаний в струне можно найти либо по силе ее натяжения спомощью формулы (17), либо по частоте ее резонансных колебаний, используя формулуv=2lνn(20)где l - длина струны, ν - частота колебаний, n - число пучностей (для основного тона n=1).Примечание.

Формула (20) следует из формулы (8), поскольку при возникновении в струнестоячей волны длина l струны должна содержать целое число n (n = 1,2,3,...) полуволн:l=nλ2ЛVГЗ-33RRЛМВАРис. 5Выполнение эксперимента1. Ознакомиться с экспериментальной установкой. Проверить, правильно ли подведенонапряжение от выходных клемм генератора ГЗ-33, не соскочила ли струна с металлическогоблока.2. Установить в окошке ГЗ-33 «Пределы шкалы» набор пределов 3V, 10V, 30V, +30dB.

Ручкой«Рег. выхода» установить по вольтметру V такое напряжение, при котором его стрелка не выйдетза пределы шкалы.3. Поставить переключатель множителя частот генератора ГЗ-33 в положение «X 1», лимб частотгенератора установить в положение, соответствующее частоте 25 Гц, и включить генератор в сеть.4. Установить частоту 25 Гц с помощью регулятора RЛ генератора ГЗ-33 (см. рис. 5). Нагружаячашку гирями (вначале около 10 гс (в соответствии с правилами ГОСТ грамм-сила имеетобозначение гс)), подобрать такое натяжение струны, при котором возникает стоячая волна содной пучностью (колебания основного тона), За натяжение F струны принять F=P1+P2, где P1 вес гирь, Р2 - вес чашки (вес чашки Р2 для данной установки должен быть известен).5.

Не меняя полученного в п. 4 натяжения струны, увеличить с помощью винта RЛ лимба Лчастоту 25 Гц в два, три, четыре и т.д., раз, наблюдая в каждом случав стоячую волну с разнымчислом n пучностей, т.е. высшие гармоники • вторую, третью, четвертую и т.д.6. Повторить измерения, проделанные в п. 4, задавая лимбом генератора ГЗ-33 частоты 30, 35, 40,45, 50 Гц. Подобранное в каждом случае натяжение струны F в грамм-силах (гс) и ньютонах (Н), атакже соответствующую частоту основного тона в герцах (Гц), занести в таблицу.Частотаосновного тонаν, ГЦF, гсF, Нv=F[см.

(17)]βv±±∆v, м/с∆v/v, 100%v=2lνnv±±∆v, м/с[см. (20)]∆v/v, 100%7. Рассчитать в каждом случае скорость волны по формуле (17). Относительная погрешностьскорости, вычисленной по формуле (17), может быть найдена из равенства2∆v 1  ∆F   ∆ β ε== +v2  F   β 2где ∆F=+1 гс,2 ∆m1   ∆l1 ∆β + = βml 1   1 2так как β=m1/l1 (m1 измеренная масса отрезка l1 струны из такого же материала и того жедиаметра, как в установке).Линейная плотность β и ее относительная погрешность ∆β/ββ для данной струны обычноуказываются.Зная ε, можно подсчитать значение абсолютной погрешности скорости ∆v:∆v = ε ⋅ v8. Рассчитать в каждом случае скорость волны по формуле (20), полагая n=1.9. Результаты вычислений в пп.

7 и 8 занести в таблицу (см. п. 6) и по этим данным построить наодних осях координат (v и F ) два графика зависимости скорости v, найденной по формулам (17) и(20), от натяжения F.Контрольные вопросы.1. Чем отличается стоячая волна от бегущей?2. Почему оказалось, что скорость волны в струне не зависит от модуля Юнга Е материаластруны?3. В струне, имеющей длину l, плотность ρ, диаметр сечения d и натяжение F, возникла стоячаяволна с одной пучностью частотой ν.

Возникнет ли стоячая волна с той же частотой ν при том женатяжения F в такой же струне, но имеющей диаметр сечения (1/2)d, (3/2)d, 2d, 3d,...? Есливозникнет, то с каким числом пучностей?ЛИТЕРАТУРА1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: Наука, 1988, 496 с.2. Кириллов A.M., Климов Л.Н., Расторгуева А.В.

Изучение механических колебаний и волн. М.:МВТУ, 1983. 16 с..