МУ - М-7 (Механические колебания и волны в твердом теле)

Московский Государственный Технический Университет им. И. Э. БауманаА. М. Кириллов, Л. Н. КлимовМЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕМетодические указания к лабораторной работе М-7 по курсу общей физики.Под редакцией Л.К. МартинсонаМГТУ, 1992.Рассмотрены продольные колебания в металлическом стержне и поперечные колебания вслабо натянутой струне. Для студентов 1-го курса.Цель работы - определение скорости распространения механических колебаний в упругомстержне и слабо натянутой струне по параметрам возбужденной в них стоячей волне.ВВЕДЕНИЕЕсли в каком-либо участке сплошной упругой среды возникает механическая деформация, то,благодаря упругим силам, изменение этой деформации может иметь колебательный характер.

Этиколебания с конечной скоростью будут распространяться от данного участка среды к другим ееучасткам.Процесс распространения колебаний в среде (в общем случае - в пространстве) называют волной.Волна называется продольной, если смещение частиц среды происходит вдоль направленияраспространения колебаний, и поперечной, если смещение частиц перпендикулярно этомунаправлению.В общем случае отсчитанное от положения равновесия смещение ξ частицы среды, в которойраспространяется волна, есть функция координат x, у, z и времени t.

Для частного случая плоскойволны, распространяющейся в направлении оси x, ξ=ξξ(x, t)Можно показать [1, §94], что для незатухающей монохроматической плоской бегущей внаправлении х волныx2π 2π ξ = ξ MAX ⋅ cos[ω t − ] = acos ωt −x  = acos ωt x  = acos(ωt − kx) (1)vvT λ где a=ξξMAX амплитуда, т.е. максимальное смещение частицы от ее положения равновесия, х координата точки положения равновесия колеблющейся частицы, Т - период колебаний, ω круговая (циклическая) частота колебаний, v - фазовая скорость волны, t - текущее время, λ длина волны, 2π/λ - волновое число.В приведенной записи уравнение (1) не содержит начальной фазы колебаний, что вполневозможно при соответствующем выборе начал отсчета x и t.При наложении двух встречных, бегущей и отраженной, незатухающих волн с одинаковымиамплитудой а и частотой ω:ξ 1 = a cos(ωt − kx )ξ 2 = a cos(ωt + kx )возникает стоячая волна, уравнение которой имеет видξ = ξ 1 + ξ 2 = a cos(ωt − kx ) + a cos(ωt + kx ) = 2a cos kx ⋅ cos ωt = A cos kx ⋅ cos ωt(2)Из соотношения (2) следует, что в отличие от бегущей волны у стоячей волны амплитуда|А⋅cos(kx)| есть функция координаты x.

В точках, гдеkx = 2πx= ± nπ , (n = 0,1,2,3,...)λ(3)амплитуда стоячей волны достигает максимального значения. Эти точки называются пучностямистоячей волны. В точках, гдеx1= ±(n + )π , (n = 0,1,2,3,...)λ2kx = 2π(4)амплитуда стоячей волны обращается в нуль. В этих точках нет колебаний частиц среды и ониназываются узлами.Из (3) и (4) следует, что расстояние (xn+1 - xn) между соседними пучностями (или соседнимиузлами) равно половине длины волны:x n +1 − x n = (n + 1)λλ λ−n =22 2(5)В общем случае [1] уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения,называемого волновым:∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ1 ∂ 2ξ++=∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t 2(6)где v - скорость распространения волны. В одномерном случае (1) и (2) есть решения волновогоуравненияПоскольку∂ 2ξ1 ∂ 2ξ=∂x 2 v 2 ∂t 2(7)v = λν(8)то при экспериментальном определении v необходимо измерять частоту колебаний ν и длинуволны λ.А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ЗВУКОВЫХВОЛН В МЕТАЛЛИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.Рассмотрим элемент стержня длиной dx, заключенный между поперечными сечениями стержня вточках x и x+dx (pис. 1).ξ (x)ξ (x+dx)σ (x)xσ (x+dx)dxx+dxxРис. 1При распространении вдоль стержня (по оси x ) продольной волны в любом его поперечномсечении возникает напряжение σ, являющееся функцией координаты x и времени t.

На рис. 1показаны возникшие в некоторый момент времени напряжения на торцах рассматриваемогоэлемента dx стержня: σ(x) и σ(x+dx) при соответствующих смещениях из положений равновесияξ(x) и ξ(x+dx) колеблющихся частиц стержня. Сила, действующая в этот момент времени наэлемент dx стержня, равнаFx = S [σ (x + dx ) − σ (x )]где S - площадь поперечного сечения стержня, малые изменения которой при распространении внем колебаний учитывать не будем.Выражая массу m элемента стержня через плотность ρ, сечение S, длину dx и обозначая егоускорение aX=∂∂2ξ/∂∂x2 на основании второго закона Ньютона (maX=FX) можно написатьили с учетом малости dxт.е.∂ 2ξSρdx 2 = S [σ ( x + dx) − σ ( x)]∂t∂ 2ξ ∂σρdx 2 =dx∂x∂t∂ 2ξ ∂σρ 2 =∂x∂t(9)На основании закона Гука, обозначая изменение длины элемента стержня δ(dx) имеемσ =Eδ (dx)dxгде E - модуль Юнга, характеризующий упругие свойства вещества.

В свою очередь изменениедлины элемента стержня определяется разностью смещений его торцов:δ (dx) = ξ ( x + dx) − ξ ( x) =Следовательно,σ =EПродифференцировав (10) по координате x, имеем∂ξ∂x∂ξdx∂x(10)∂ 2ξ∂σ=E 2∂x∂x(11)∂ 2ξ E ∂ 2ξ=∂t 2 ρ ∂x 2(12)Подставив (11) в (9), получим волновое уравнениеРазмерность отношения Е/ρ, входящего в (12), совпадает с размерностью квадрата скорости:[Е/ρ]=Н⋅м-2/кг⋅м-3=м2/с2. Сопоставив (12) и (7), приходим к выводу, что скорость распространенияпродольной волны в упругом твердом теле определяется выражениемv=Eρ(13)С другой стороны, скорость распространения волны может быть найдена из соотношения (8).ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬЭкспериментальная установкаВ данном эксперименте определяется скорость v распространения продольной волны вметаллическом стержне АВ, жестко закрепленном посередине в т. С (рис.

2).ЛГЗ-33VRЛС1-68RПИАСВРис. 2К свободным концам А и В стержня прикреплены небольшие ферромагнитные диски. Если вблизиконца А расположить источник И переменного магнитного поля, то диск конца А начнетвибрировать и его колебания передадутся стержню. Источник И представляет собой катушку сферромагнитным сердечником, на которую подается переменное напряжение от генераторазвуковой частоты ГЗ-33, питающегося от сети.

Вблизи другого конца В стержня расположенприемник П, по конструкции аналогичный источнику И. Распространяющиеся вдоль стержняколебания вызывают вибрацию ферромагнитного диска, укрепленного на конце В. Это приводит кизменению магнитного поля сердечника приемника П, в результате чего в обмотке приемника Пиндуцируется переменное напряжение.

Обмотка подключена к электронному осциллографу C1-68,на экране которого можно наблюдать развертку колебаний индуцированного напряжения.С помощью регулировочного винта Rл, вращающего лимб Л генератора ГЗ-33, можно подобратьтакую частоту звуковых колебаний, при которой в стержне возникнут резонансные колебания иустановится стоячая волна. Если подобранная частота колебаний будет совпадать с наименьшей(основной) частотой ν0 собственных колебаний стержня, то в данном стержне длиной lустановится стоячая волна с наименьшим числом узлов и пучностей (первая гармоника), какпоказано на рис. 3 а (на стержне укладывается половина длины волны, так как между двумяпучностями на его концах есть только один узел в его середине).

В этом случае на экранеосциллографа C1-68 наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний.Увеличив с помощью лимба Л частоту колебаний до значения ν=3ν0, можно снова наблюдать наэкране C1-68 резонансное увеличение амплитуды колебаний, но на этот раз слабое.Регистрируемая по лимбу Л частота ν в этом случав является частотой второй гармоники, прикоторой в стержне укладывается три полуволны (рис. 3 6).ξ (x)ξ (x)xxλ 1/4λ 2/4λ 1/4λ 2/2λ 2/2llабλ 2/4Рис.3Выполнение эксперимента1.

Включить с помощью тумблера «Сеть» генератор ГЗ-33 и осциллограф C1-68.2. Установить в окошке ГЗ-33 «Пределы шкалы» набор пределов 3V, 10V, 30V, +30 dВ. Ручкой R«Рег.выхода» установить по вольтметру V такое напряжение, при котором его стрелка не выйдетза пределы шкалы.3. Установить множитель шкалы лимба ГЗ-33 на «X 100».4. Установить ручку усилителя Y осциллографа C1-68 в положение «0,1», а множитель усилителяY- в положение «X 1».5. Установить множитель развертки осциллографа C1-68 в положение «X 1».6.

Вращая ручку лимба «Частота Hz» генератора ГЗ-33 в пределах от 3000 до 8000 Гц, добитьсяпоявления на экране осциллографа резкого увеличения амплитуды колебаний и зарегистрироватьнайденную основную частоту колебаний стержня ν0.Примечание. При поиске основной частоты ν0 ручку лимба вблизи этой частоты надовращать медленно.7.

Вычислить скорость распространения колебаний в стержне по формуле(14)v=2lν0где l - длина стержня.Примечание. Формула (14) следует из формулы (8), поскольку при частоте ν0 λ=2l.8. Вычислить скорость распространения колебаний в стержне по формуле (13), воспользовавшисьзначениями Е и ρ, взятыми для данного стержня из справочника.9. Записать окончательный результат в виде v±±∆v, где ∆v - абсолютная погрешность измеренияскорости v, найденной по формуле (14).Расчет погрешности ∆v. Поскольку в используемом генераторе ГЗ-33 шкала лимба в областиизмеряемой частоты ν0 довольно грубая, многократные измерения частоты ν0 не приведут кзаметным отклонениям результатов измерения. Поэтому для оценки погрешности измерениячастоты ν0 необходимо воспользоваться паспортными данными генератора ГЗ-33, по которымотносительная погрешность показаний его лимба ∆v/v= + 0,02.