МУ-О-72 (Дифракция ультразвуковых волн на двойной щели и дифракционной решетке)

МГТУ им. Н.Э. БауманаЮ.Ю. Инфимовский, Е.В. ОнуфриеваДИФРАКЦИЯ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН НАДВОЙНОЙ ЩЕЛИ И ДИФРАКЦИОННОЙРЕШЕТКЕМетодические указания к лабораторной работе O-72по курсу общей физики2015 г.Цель работы: изучение дифракции плоской УЗ-волны на щелях и решетке.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬПродольные упругие волны, имеющие частоту более 22 кГц называютсяультразвуковыми. Ультразвуковым волнам, как и волнам иной природы(электромагнитным, например) присущи явления интерференции и дифракции.Описание дифракции основывается на принципе Гюйгенса - Френеля,согласно которому каждая точка волнового фронта является источникомвторичных сферических волн, которые интерферируют между собой.

В случаеотсутствияпрепятствийнапутираспространенияволнырезультатоминтерференции является равномерное распределение интенсивности волны вместах наблюдения (регистрации). Под интенсивностью (I) волны понимаютсреднее по времени значение плотности потока энергии, которую переноситволна.Наличие препятствия на пути распространения волны приводит к тому,что интенсивность волны в области наблюдения зависит от расположения точкинаблюдения (регистрации). Возникающее при этом чередование максимумов иминимумов интенсивности называют дифракционной картиной.Для ультразвуковых волн интенсивностью является среднее по временизначениемодулявектораУмова.Интенсивностьультразвуковыхволнаналогично интенсивности звуковых волн (ν = 16...22 кГц) изменяется от 10 −12Вт/м2 (порог слышимости) до 10 Вт/м2 (порог болевого ощущения).

На практикеудобнее регистрировать не саму интенсивность, а амплитуду избыточногодавления∆p , создаваемогоультразвуковой волной. Интенсивность I иамплитуда избыточного давления ∆p связаны известным соотношением2( ∆p ) ,I=2 ρV(1)где ρ - плотность невозмущенной газовой среды, где распространяютсяволны;V - фазовая скорость волны.2Если источник волн и точки наблюдения расположены от препятствиянастолько далеко, что волновые поверхности можно рассматривать какплоскости, то говорят о дифракции в параллельных лучах или дифракции поФраунгоферу. В противном случае говорят о дифракции по Френелю.Впредлагаемомэкспериментепрактическиточечныйисточникультразвуковых волн расположен в фокусе сферического отражателя. Поэтомуна препятствие падает плоская ультразвуковая волна и можно воспользоватьсярезультатами, полученными для дифракции по Фраунгоферу.

Так, зависимостьамплитуды избыточного давления P от угла наблюдения ϕ для одиночной щелишириной b описывается выражением:  π b sin ϕ   sin  λ   ,P (ϕ ) = p0  cπbsinϕλ(2)где λ - длина ультразвуковой волны. Очевидно, что в направлении ϕ = 0возникает неопределенность типа0, которую легко раскрыть по правилу0Лопиталя и получить значение дроби, равное 1. Следовательно, в направленииϕ = 0 наблюдается максимум дифракционной картины. Положение минимумовлегко определить, приравняв числитель дроби в выражении (2) к нулю: π b sin ϕ sin  = 0 , следовательно: λπ b sin ϕ= mπ (где m = ±1, ±2, ±3...

)λилиМежду(3)b sin ϕ = mλ .двумясоседнимиминимумамирасполагаютсямаксимумысоответствующих порядков m. Их положения определяются из решенияуравнения:π b sin ϕπ b sin ϕπ b sin ϕ⋅ cos− sin=0 .λλλ(4)3Так как решение этого трансцендентного уравнения связано с некоторымитрудностями, то практически принимают, что максимумы располагаютсяпосередине соседних максимумов.Отношение амплитуд давлений в боковых максимумах дифракционнойкартины к амплитуде давления в центральном максимуме можно определить из(2):ppp= 0, 21 ; 2 = 0,13 ; 3 = 0, 09 .p0p0p0Анализсоотношения(2) приводитквыводу.(5)осимметричностидифракционной картины p (−ϕ ) = p (ϕ ) .А из (3), с учетом того ,что sin ϕ ≤ 1 , можно оценить количествонаблюдаемых минимумов:m≤b.λ(6)На рис.

1 и 2 представлены расчетные распределения амплитудизбыточных давлений при дифракции на щелях различной ширины ( b1 = 60 мм иb2 = 40 мм) для длины волны λ = 8, 58 мм, что соответствует частоте 40 кГц итемпературе воздуха t ° = 20°C .4Рис. 1 Расчетное распределение амплитуды избыточного давления придифракции на одиночной щели ширины b1 = 60 мм.Рис. 2 Расчетное распределение амплитуды избыточного давления придифракции на одиночной щели ширины b2 = 40 мм.5Если препятствием для распространения ультразвуковых волн являютсядве щели одинаковой ширины b, расположенные на расстоянии d друг от друга,то распределение амплитуды избыточного давления p (ϕ ) для каждой щелиописывается выражением (2), а сами щели необходимо рассматривать как двакогерентных источника, волны от которых интерферируют между собой.

В итогеπполучим выражение (2), промоделированное функцией cos  d ⋅ sin ϕ  ;λπbsin  sin ϕ λπp(ϕ ) = 2 p0 cos  d ⋅ sin ϕ  ⋅ λ  π b sin ϕ  λ.(7)На рис. 3 приведена расчетная дифракционная картина от двух щелей с b=20 мм и d = 50 мм. Для наглядности также показана дифракционная картина отодиночной щели (такой же) ширины b= 20 мм. Очевидно, что картина отодиночной щели является огибающей картины от двух щелей.Рис. 3 Расчетная дифракционная картина от двух щелей с b= 20 мм и d =50 мм6В завершении рассмотрим систему из N щелей одинаковой ширины b,расположенных на равных расстояниях d друг от друга. Такая системаназывается дифракционной решеткой, а расстояние d - периодом дифракционнойрешетки. Для описания дифракционной картины от решетки необходимокаждующельрассматриватькаксамостоятельныйисточникволнивоспользоваться результатами, известными в многолучевой интерференции: Nδ sin 2 p реш (ϕ ) = pщели (ϕ ) ⋅ ,δsin2где δ = 2π(8)∆ 2π=d sin ϕ - разность фаз волн от двух соседних щелей;λ λ∆ - разность хода от двух соседних щелей.В направлении ϕ = 0 как и для одиночной щели будет наблюдатьсяцентральный максимум, а при выполнении условия:d sin ϕ = k λ( k = ±1, ±2,....

).(9)также будут наблюдаться максимумы в N раз превосходящие амплитудудавления исходной волны. Но помимо минимумов, определяемых выражением(3), описывающим дифракцию наодиночной щели, будем наблюдатьдобавочные минимумы приd sin ϕ = ±k′λ ( k ′ = 1, 2,..., N − 1, N + 1,..., 2 N − 1, 2 N + 1,...) ,N(10)т.е. k ′ принимает все целочисленные значения кроме тех ( 0, N , 2 N ,...) прикоторых (10) переходит в (9).

А между дополнительными минимумами должнырасполагатьсядополнительные(вторичные)максимумы.Числотакихмаксимумов равно N-2. Отношение амплитуд избыточных давлений в этихвторичных максимумах не превышает 0,21 амплитуды ближайшего главногомаксимума, положение которого определится соотношением (9).Выражение (10) позволяет определитьугловуюширинуглавныхмаксимумов:δϕ m ≈12mλ1− 2d2⋅2λ.Nd(11)7В частности, для центрального максимума угловая ширина получается:δϕ0 =2λ.Nd(12)На рис.

4 приведена расчетная дифракционная картина от 5 щелей с b =12,5 мм и d = 18,5 мм.Рис. 4 Расчетная дифракционная картина от 5 щелей с b = 12,5 мм и d =18,5 мм.φМалая угловая ширина главных максимумов (обратно пропорциональначислу щелей) позволяет получать весьма контрастные дифракционные картины.Это позволяет использовать дифракционные решетки для измерения длиныволны λ по известному периоду решетки d и измеренному значению ϕmax .8Описание лабораторной установкиВнешний вид установки для исследования дифракции ультразвуковыхволн на различных препятствиях представлен на рис.

5.Рис. 5 Схема экспериментальной установкиУстановкасостоитизгенераторапеременногонапряженияультразвуковых частот (1); ультразвукового излучателя (2); ультразвуковогоприемника(3);усилителясигналасультразвуковогоприемника(4),сферического зеркала (5) для формирования плоского фронта ультразвуковойволны; гониометра (6) для определения углового положения приемника,относительно фронта волны; держателя (7) для исследуемых объектов;дифракционной решетки (8); полосок для формирования одиночной и двойнойщели; компьютера и соединительных кабелей.Установка позволяет проводить эксперименты как в автоматическом, таки в ручном режимах.

При проведении экспериментов в ручном режимевыходной сигнал регистрируется с помощью мультиметра. В автоматическомрежиме сигнал с приемника ультразвука совместно с сигналом гониометра,зависящим от углового положения гониометра, подаются на компьютер. При9этом на дисплей выводится график зависимости давления ультразвуковой волныот углового положения приемника ультразвука.Принцип работы ультразвукового излучателя основан на обратномпьезоэлектрическом(пьезоэлектрика)эффектепри-деформацияприложениикособогоповерхностиродадиэлектрикапоследнегоразностипотенциалов. Следовательно, прилагая переменное электрическое напряжение счастотой, соответствующей частоте ультразвуковых колебаний, получимколебания поверхности пьезокристалла с той же частотой.

Если эта поверхностьграничит с воздушной средой, то в среде будут распространяться эти колебания- ультразвуковые волны.Работаприемникаультразвуковыхволносновананапрямомпьезоэлектрическом эффекте - возникновение разноименных связанных зарядовна противоположных гранях деформируемой пластинки из пьезокристалла.Порядок выполнения работы.1. Проверьте правильность подключения узлов установки согласно схеме(рис. 5 )2.

С помощью шаблона проверьте фокусное расстояние от передатчика досферического зеркала. Оно должно составлять 155 мм.3. Визуально оцените соосность сферического зеркала и излучателя. Принеобходимости подкорректируйте высоту приемника и горизонтальность осисферического зеркала.4. После разрешения лаборанта или преподавателя включите питаниегенератора, блока измерения гониометра и персонального компьютера.Внимание:1. Во время проведения эксперимента старайтесь, чтобы в области междуизлучателем и приемником не было посторонних объектов, отражениеультразвуковых волн от которых может привести к искажению дифракционнойкартины.102.