МУ-О-70 (Дифракция Фраунгофера)

1Московский государственный технический университет имени Н.Э.БауманаА.В. Косогоров, С.В.Чумакова, С.О.ЮрченкоДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРАМетодические указания к лабораторной работе О-70 по курсу общей физикиМосква, 2010Цель работы – определение длины волны монохроматического излучения полупроводникового лазера с помощью прозрачной дифракционнойрешетки и измерение размеров малых объектов дифракционным методом.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬВолновой характер света отчетливо обнаруживается в дифракции, проявляющейся при распространении света в среде с резкими неоднородностями. Дифракция выражается в проникновении света в область геометрическойтени, а также в специфическом рассеянии света на неоднородностях с образованием в общем случае максимумов и минимумов интенсивности дифрагированной волны по разным направлениям как в области тени, так и вне ее.Обнаруживающееся в явлении дифракции отступление от законов геометрической оптики, в частности, закона прямолинейного распространения света,не всегда наблюдается вследствие малости длины волны света по сравнениюс размерами привычно наблюдаемых нами неоднородностей среды – преград,отверстий и т.п.

Однако при уменьшении размеров этих неоднородностей довеличины порядка длины волны дифракция становится заметной. Ее можнообнаружить и тогда, когда размеры неоднородностей велики по сравнению сдлиной волны, но только при специальных условиях наблюдения.Проникновение световой волны в область геометрической тени можетбыть объяснено с помощью принципа Гюйгенса, который утверждает, чтоточку волнового фронта можно рассматривать как источник новой элементарной сферической волны. Зная положение фронта волны в некоторый момент времени t , можно построить положение фронта волны в следующиймомент времени t +∆t , построив огибающую к фронтам всех элементарныхволн, испускаемых такими источниками.Чтобы объяснить различие в интенсивности дифрагированной на отверстии или препятствии световой волны по различным направлениям и вразличных точках, Френель дополнил принцип Гюйгенса принципом интерференции.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля интенсивность света в некоторой точке ( например, Р ) - есть результат наложения световых волн, источниками которых являются элементы волновой поверхности, расположенной между реальным источником света и данной точкой. При этом следует2считать, что все «источники» колеблются синфазно, так как они располагаются на одной и той же волновой поверхности; амплитуды складываемыхколебаний в точке наблюдения зависят от расстояния до нее от «источников»(обратно пропорционально), площади элементов поверхности (прямо пропорционально) и угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на избранную точку ( амплитуды уменьшаются с увеличением угла).Предполагается, что«источники» создают когерентные (или частично когерентные) волны.Существует строгое обоснование принципа Гюйгенса-Френеля, являющееся основой расчёта дифракционной картины.

В общем случае такойрасчёт оказывается технически сложным. Но при наличии определённойсимметрии вычисления упрощаются.Структура дифракционного поля существенно зависит от расстояния lмежду излучателем и точкой наблюдения. Различают дифракцию Френеляпри l ~ a2/λ и дифракцию Фраунгофера при l >> a2/λ , где a - характерныйразмер излучателя ( диаметр отверстия, ширина щели или радиус кривизныкрая препятствия и т.п.) , λ – длина волны.Дифракция Фраунгофера имеет большее практическое применение воптике, поскольку приводит к более простым закономерностям (формулам).При дифракции Фраунгофера на дифракционный объект (отверстие, щель,дифракционную решетку и т.д.) направляют параллельный пучок света (плоскую волну) и дифракционную картину наблюдают на достаточно большомрасстоянии, то есть практически в параллельных лучах или на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы.В данной лабораторной работе рассматриваются эксперименты по дифракции Фраунгофера.1.

Дифракция Фраунгофера на щелиПусть параллельный пучок лучей падает перпендикулярно на непроницаемую плоскость П с длинной прямоугольной щелью, ширина которой aсоизмерима с длиной волны света: АВ = a (рис.1). За плоскостью П , параллельно ей ставится линза Л , в фокальной плоскости которой на экране Эможно наблюдать дифракционную картину – чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные щели.3Рис.1Для расчета дифракционной картины используется принцип ГюйгенсаФренеля, согласно которому каждая точка волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, становится источником новых когерентныхволн, то есть из каждой точки под всевозможными углами будут выходитькогерентные лучи.

Линза собирает пучок параллельных лучей, выходящих източек щели под некоторым углом ϕ к падающим на нее лучам в одну точку вфокальной плоскости. В результате наложения всех волн в этой точке в зависимости от фазовых соотношений между колебаниями, возбуждаемыми волнами, может получиться усиление или, наоборот, ослабление интенсивностивплоть до гашения света. Так, все лучи, идущие от щели в том же направлении, что и падающие, собираясь в главном фокусе линзы, придут в одинаковой фазе ( сама линза не вносит разности хода между этими лучами).

Следовательно в центре дифракционной картины в точке Ро (см. рис.1 ) получаетсямаксимум.В точку Рφ дифракционной картины (рис.1) придут когерентные волныс одинаковой амплитудой от разных точек щели, но с разными фазами: разность фаз δ от волн, идущих от краев щели, зависит от оптической разностихода этих волн ∆ = a,sin φ согласно известному соотношениюδ=2π ⋅ ∆λ,(1)где λ – длина волны света, то естьδ=2π ⋅ аλsin ϕ .(2)Разобьем щель a на очень узкие по ширине одинаковые зоны-полоски,параллельные боковым граням щели. Суммирование волн, пришедших в точку Рφ проведем с помощью векторной диаграммы.

От каждой полоски амплитуда в точке наблюдения (в точке Рφ) одинакова и равна dA (здесь для удобства dEm заменили на dA). В точке Ро между dA нет сдвига по фазе и поэтому4АО(1) = dA + dA + ... + dA ,(3)где индекс (1) у АО отмечает, что это амплитуда волны от одной щели.То есть эта цепочка образует прямую, что соответствует максимуму интенсивности (рис.2).Рис.2Вточке Рφ при графическом изображении мы получим цепочку векторов d Аi , одинаковых по модулю и повернутых друг относительно друга наодин и тот же угол; а разность фаз между d A1 и d AN , где N – число полосок вщели, равно δ =2πаλsin ϕ (см.

(3)). Это сложение показано на рис.3.Рис.3Результирующая амплитуда изобразится вектором Аϕ(1) – хордой окружности с центром в точке С .Из рис.3 видно, чтоАϕ(1)2= R sin(δ/2), Ао=R.δ , где R - радиус окружности.Исключив R, получимАϕ(1) = АО(1) sin(δ / 2) .δ /2Ноδ2=π∆λ=πa sin ϕλ. В итоге5πa sin ϕ)λπa sin ϕλsin(Аϕ(1) = АО(1),(4)где АО(1) – амплитуда колебаний дифракционного максимума нулевого порядка, то есть при φ=0. Модуль ставится потому, что амплитуда всегда положительна.Выражение (4) обращается в нуль для углов φ , удовлетворяющих условиюπa sin ϕ= mπ или a sin ϕ = mλ, где m= ± 1,±2,±3 ...λ(5)Выражение (5) определяет положение минимумов (число m являетсяномером минимума).

Кроме того из этого выражения видно, что уменьшениеширины щели a приводит к расширению дифракционной картины.Между минимумами располагаются максимумы. Амплитуда Аϕ(1) в максимумах определяется максимумами функцииπa sin ϕ)sinψπa sin ϕλ) , или, где ψ =πa sin ϕψλλsin(Амплитуда имеет максимум при выполнении условияd sinψcosψ sinψ() = 0 , то есть− 2 = 0 , или tgψ=ψ.dψ ψψψОчевидное решение ψ=0 илиπa sin ϕ 0= 0 , что соответствует центральλному максимуму. Последующие решения даютπa sin ϕ 3πa sin ϕ1πa sin ϕ 2= ±1,43π ;= ±2,46π ;= ±3,47π ; …λλλ(6)Условия 1-го, 2-го и 3-го максимумов можно записать в виде:a sin ϕ1 = ±1,43λ ; a sin ϕ 2 = ±2,46λ ; a sin ϕ 3 = ±3,47λ .(7)Так как интенсивность монохроматической волны пропорциональнаквадрату амплитуды Аϕ(1) , то с учетом формулы (4) можно записать6I ϕ(1)  πa sin sin ϕ  λ= I O(1)   πasin ϕ λ2(8)Приняв I O(1) = 1 и подставив значения (6) в выражение (8), получим, чтоинтенсивности центрального (нулевого) и боковых (первого, второго, третьего) максимумов относятся друг к другу, какI O(1) : I 1(1) : I 2(1) : I 3(1) : … = 1 : 0,047 : 0,016 : 0,008 : … .Таким образом, в центральном максимуме сосредоточена основная доля световой энергии, проходящей через щель.

На рис.4 представлено распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы (без соблюдениямасштаба). Угловая полуширина центрального максимума равна λ /a ( длямалых углов sinφ=φ).Дифракционная картина в монохроматическом свете имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели. Такую же картинуможно наблюдать и без линзы на достаточно большом расстоянии от щели,при котором лучи от краев щели идут приблизительно параллельно до точкинаблюдения.Рис.42. Дифракция Фраунгофера от круглого отверстияДифракцию Фраунгофера от круглого отверстия диаметром D можнонаблюдать на удаленном экране или в фокальной плоскости собирающейлинзы (рис.5), направив на отверстие в непрозрачной преграде нормальноплоскую световую волну. Дифракционная картина будет иметь вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.7Рис.5Вычисление зависимости интенсивности света от угла φ требует знаниябесселевых функций и представляет большие трудности.

Приведем лишь готовый результат.На рис.6 изображена зависимость интенсивности света I ϕ( o ) от величиныФ=πDsin ϕ . Имеется главный максимум при φ = 0 (в него все вторичныеλволны приходят в одинаковых фазах) и ряд максимумов (светлые кольца) иминимумов (темные кольца), тем более близких между собой, чем больше Dи чем меньше λ. Индекс (о) у I ϕ отмечает, что это интенсивность света придифракции от круглого отверстия.Рис.6Соответствующий расчет дает для первого минимума (первого темногокольца):8sin ϕ1 = 1,22λ(9)DДля экрана установленного на большом расстоянии L от преграды с отверстием, с учётом малости угла φ1 ( sin ϕ1 = tgϕ1 =d 1 = 2,44 Ld1), получаем:2Lλ(10).DДанные по четырём тёмным и светлым кольцам приведены в Таблице 1.Таблица 1.Минимумыsin ϕ1 = 1.22sin ϕ 2 = 2,24sin ϕ 3 = 3.24sin ϕ 4 = 4,24λМаксимумыsin ϕ O/ = 0Интенсивность в максимумах1DλDλDλDλsin ϕ1/ = 1,62Dsin ϕ 2/ = 2,66sin ϕ 3/ = 3,70,0175λ0,0042Dλ0,0016DИз этой таблицы видно, что около 98% света приходится на центральный максимум.

Если исключить центральный максимум, то остальные тёмные и светлые кольца практически равноотстоящие.Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес,так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму.3. Дифракция Фраунгофера на дифракционнойрешёткеДифракционную решётку может представлять система параллельныхщелей одинаковой ширины a , находящихся друг от друга на одинаковомрасстоянии b .Величина d = a + b называется постоянной решётки или её периодом.Традиционным способом изготовления дифракционной решётки является нанесение на стеклянную пластинку параллельных штрихов через одинаковые интервалы с помощью делительной машины, снабжённой алмазнымрезцом (штрихи свет не пропускают, обеспечивая одинаковые непрозрачныепромежутки между щелями).

В настоящее время разработаны и другие технологии изготовления дифракционных решёток.9Общий размер решётки в направлении, перпендикулярном к её элементамl = N.d , гдеN – число штрихов решётки.Пусть на решётку падает плоская монохроматическая волна перпендикулярно её плоскости. Наблюдение дифракционной картины производится впараллельных лучах с помощью линзы, собирающей свет на экран, помещённый в её фокальной плоскости (рис.7).Рис.7При дифракции на решётке колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, поскольку эти точки принадлежат одной и той же волновойповерхности.

Следовательно, колебания, приходящие в точку наблюденияРО , Рϕ , ... от разных щелей когерентны. Для нахождения результирующей амплитуды (и интенсивности) необходимо найти фазовые соотношения междуэтими когерентными колебаниями. Здесь удобно использовать метод векторных диаграмм.В фокус линзы, т.е. в середину дифракционной картины, когерентныеколебания от всех щелей приходят в одинаковой фазе. Это означает, что еслиамплитуда от одной щели равна А01 , а число щелей в решётке N , то результирующая амплитуда в точке Р0 равнаA0 = A01.NВ точку Рφ (см.