Учебник - Вариационное исчисление и интегральные уравнения - Цлаф Л.Я.

Л.Я.ЦлафВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯСуществующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, несодержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям.Между тем эти разделы высшей математики широко используются висследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин,изучаемых в ряде технических учебных заведений.

Данное справочноеруководство имеет своей целью восполнить указанный пробел.Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теорииинтегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики иматематической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимумаЛ. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельныеположения теории поясняются примерами и решениями задач.Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению спредыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывныхзадачах с подвижными концами в пространстве, сведения из теории экстремумафункционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальныесвойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля и др.Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов иаспирантов высших технических учебных заведений.ОГЛАВЛЕНИЕ.Предисловие ко второму изданию8Предисловие к первому изданию9Глава I.

Вариационное исчисление11§ 0. Введение111.0.1. Функционал (11). 1.0.2. Предмет вариационного исчисления(11). 1.0.3. Некоторые определении и обозначения (12).§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые условия14экстремума1.1.1. Постановка задачи (14). 1.1.2. Первая и вторая вариациифункционала (11). 1.1.3. Первое необходимое условие экстремума.Дифференциальное уравнение Эйлера— Лагранжа.

Экстремали (15).1.1.4. Регулярные (или неособенные) экстремали (16). 1.1.5. Случаипонижения порядка уравнения Эйлера— Лагранжа (17). 1.1.6.Условия Вейерштрасса— Эрдмана. Ломаные экстремали (18). 1.1.7.Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (18).1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условиеВейерштрасса (19).

1.1.9. Четвертое необходимое условие экстремума— условие Якоби (19). 1.1.10. Инвариантность уравнения Эйлера —Лагранжа (20).§ 2. Вариационные задачи с подвижными концами201.2.1. Постановка задачи (20). 1.2.2. Вспомогательная формула (21).1.2.3. Условие трансверсальности (22). 1.2.4. Трансверсальность иортогональность (23).§ 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего отнескольких функций1.3.1. Постановка задачи (23).

1.3.2. Первое необходимое условиеэкстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Экстремали (24). 1.3.3.Условия Вейерштрасса— Эрдмана. Ломаные экстремали (24). 1.3.4.Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (24).1.3.5. Третье необходимое условие экстремума — условиеВейерштрасса (25). 1.3.6. Четвертое необходимое условиеэкстремума— условие Якоби (25). 1.3.7. Условие трансверсальности(25).§ 4.

Необходимые условия экстремума функционала, содержащегопроизводные высших порядков ,1.4.1. Постановка задачи (26). 1.4.2. Первое необходимое условиеэкстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Пуассона.Экстремали (26). 1.4.3. Случаи понижения порядка уравнения ЭйлераПуассона (27). 1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче наусловный экстремум. Дальнейшие необходимые условия (27). 1.4.5.Условие трансверсальности (28).§ 5.

Вариационные задачи в параметрической форме1.5.1. Параметрическое задание линий (29). 1.5.2. Функционалы отлиний. Сильные и слабые окрестности (29). 1.53. Первое необходимоеусловие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа (30). 1.5.4.Вейерштрассова форма уравнений Эйлера— Лагранжа. Экстремали(31). 1.5.5. Условие Вейерштрасса — Эрдмана (31). 1.5.6. Второенеобходимое условие экстремума (аналог условия Лежандра) (32).1.5.7. Третье необходимое условие экстремума — условиеВейерштрасса (32).

1.5.8. Четвертое необходимое условие экстремума— условие Якоби 133). 1.5.9. Условия трансверсальности (33).§ 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала(34). 1.6.2. Разрывные задачи второго рода (35). 1.6.3. Разрывныезадачи для функционала, зависящего от нескольких функций (36).1.6.4.

Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве (37).1.6.5. Односторонние экстремумы (39).§ 7. Канонические уравнения. Теория Гамильтона — Якоби1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнении Эйлера (41).1.7.2. Первые интегралы канонической системы (42). 1.7.3. Теорема Э.Нётер (43). 1.7.4. Уравнение Гамильтона — Якоби.

Теорема Якоби(44). 1.7.5. Канонические преобразования (45).§ 8. Некоторые сведения из теории поля экстремалей1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные (46). 1.8.2. Поле232629344146экстремалей (48). 1.8.3. Выражение геодезического расстояния междудвумя точками через инвариантный интеграл Гильберта (48). 1.8.4.Другие определения поля (50). 1.8.5. Условия Лежандра и Якобивключения экстремамали функционалав поле (50). 1.8.6.Построение полей экстремалей для некоторых вариационных задач сподвижными концами (51). 1.8.7. Определение поля длявариационных задач в параметрической форме (52).§ 9.

Достаточные условия экстремума1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса (52). 1.9.2. Упрощенноедостаточное условие сильного экстремума (55). 1.9.3. Достаточныеусловия сильного экстремума в задачах с подвижными концами (55).1.9.4. Достаточные условия слабого экстремума функционала,зависящего от нескольких функций (56). 1.9.5. Достаточные условияэкстремума для вариационных задач в параметрической форме (57).§ 10. Вариационные задачи с частными производными1.10.1. Первое необходимое условие.

Уравнение Эйлера —Остроградского (58). 1.10.2. Инвариантность уравнения Эйлера —Остроградского (59). 1.10.3. Второе необходимое условие дляэкстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра) (59).1.10.4. Вариация функционала с переменной областьюинтегрирования (60). 1.10.5. Инвариантные вариационные задачи.Теорема Э. Нётер (61).

1.10.6. Разрывная задача первого рода (62).§11. Вариационные задачи на условный экстремум1.11.1. Изопериметрическая задача (64). 1.11.2. Правило множителей(65). 1.11.3. Условия трансверсальности (66). 1.11.4. Необходимоеусловие Клебша (67). 1.11.5. Необходимое условие Якоби (67).

1.11.6.Достаточные условия экстремума в изопериметрической задаче (69).1.11.7. Задачи Лагранжа, Манера и Больца (69). 1.11.8. Связь задачизопериметрической, Лагранжа, Майера и Больца (73). 1.М.9. Правиломножителей для задач Лагранжа, Майера и Больца (74). 1.11.10.Условия трансверсальности (76). 1.11.11. Необходимые условияэкстремума Вейерштрасса и Клебша (76). 1.11.12. Вторая вариация взадаче Больца (77). 1.11.13. Присоединенная или акцессорная задачаБольца (77).

1.11.14. Достаточные условия сильного относительногоминимума (78). 1.11.15. Условие Якоби положительнойопределенности второй вариации (79).§ 12. Оптимальные принципы1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи (79).1.12.2. Формулировка принципа максимума (81). 1.12.3. Принципмаксимума и вариационное исчисление (82). 1.12.4. Принцип52586470оптимальности Беллмана (динамическое программирование) (84).1.12.5. Вариационное исчисление и принцип оптимальности Беллмана(85).

1.12.6. Связь динамического программирования с задачамиусловного экстремума и принципом максимума (86).§ 13. Линейное программирование1.13.1. Постановка задачи (88). 1.13.2. Геометрическая интерпретация(88). 1.13.3. Симплекс-метод (89). 1.13.4. Связь с динамическимпрограммированием (90).§ 14. Прямые методы вариационного исчисления1.14.1.

Постановка задачи (91). 1.14.2. Метод Ритца. Примеры (92).1.14.3. Метод конечных разностей (96).§ 15. Некоторые сведения из теории экстремума функционалов в линейныхнормированных пространствах1.15.1. Линейные нормированные пространства (97). 1.15.2. Факторпространство (98). 1.15.3. Линейные функционалы (98).

1.15.4.Билинейные и квадратичные функционалы (99). 1.15.5.Дифференцируемые функционалы (99). 1.15.6. Второй дифференциалфункционала (101). 1.15.7. Необходимые условия экстремума (101).1.15.8. Достаточные условия экстремума (102). 1.15.9.Изопериметрическая задача. Правило множителей (202). 1.15.10.Общая задача на условный экстремум (103).Глава II. Интегральные уравнения§ 0. Введение2.0.1. Определение. Примеры (105). 2.0.2.

Классификацияинтегральных уравнений (107). 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега(108). 2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функций(112).§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра2.1.1. Теоремы существования и единственности (114). 2.1.2. Методпоследовательных приближений (114). 2.1.3. Связь уравненияВольтерра с дифференциальными уравнениями (116). 2.1.4.Уравнения Вольтерра первого рода (116).§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода2.2.1. Теоремы существования и единственности решения (117).

2.2.2.Метод последовательных приближений (118). 2.2.3. УравненияФредгольма с вырожденным ядром (119). 2.2.4. Аппроксимацияневырожденного ядра вырожденным (120). 2.2.5. ТеоремыФредгольма (122).§ 3. Симметричные интегральные уравнения2.3.1. Существование характеристического числа ( 1 23). 2.3.2.Ортогональность собственных функций (123). 2.3.3. Действительностьхарактеристических чисел (124). 2.3.4. Ортогонализация собственныхфункций (125). 2.3.5. Количество собственных функций,889197105105114117123соответствующих характеристическому числу, и распределениехарактеристических чисел (126). 2.3.6. Билинейная формула (127).2.3.7.