Учебник - Вариационное исчисление и интегральные уравнения - Цлаф Л.Я. (1238785), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Теорема Гильберта— Шмидта (129). 2.3.8.Билинейные рядыитерированных ядер (129). 2.3.9. Решение неоднородного уравнения(130). 2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричныхинтегральных уравнений (131). 2.3.11. Экстремальные свойствахарактеристических чисел и собственных функций (131).§ 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения2.4.1. Преобразование Фурье (133). 2.4.2. Преобразование Лапласа(136).§ 5.
Уравнения Фредгольма первого рода2.5.1. Теорема Пикара (138). 2.5.2. Метод последовательныхприближений (138). 2.5.3. Решение некоторых интегральныхуравнений первого рода (139).§ 6. Приближенные методы решения интегральных уравнений2.6.1. Метод последовательных приближений решения уравненияФредгольма второго рода (140).
2.6.2. Метод механических квадратур(140). 2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галёркина (141).2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел (142).§ 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра (143). 2.7.2. Уравнения типаГаммерштейна (143). 2.7.3. Бифуркация решений (144).§ 8. Сингулярные интегральные уравнения2.8.1. Главное значение несобственного интеграла (145). 2.8.2.Преобразование Гильберта — М. Рисса (146). 2.8.3.
Сингулярноеинтегральное уравнение Гильберта (147). 2.8.4. Сингулярноеинтегральное уравнение с ядром Коши (148).Глава III. Некоторые приложения вариационного исчисления иинтегральных уравнений§ 0. Введение3.0.1. Содержание главы (149).§ 1. Задачи о геодезических3.1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом пространстве(149). 3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхностьзадана параметрическими уравнениями (151).
3.1.3. Отысканиегеодезических на римановых многообразиях (152).§ 2. Вариационнные принципы механики3.2.1. Принцип Гамильтона— Остроградского (153). 3.2.2. Принципнаименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби (156). 3.2.3.Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических(157). 3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны (157). 3.2.5.Вывод уравнения колебаний мембраны (159). 3.2.6. Вывод уравненияколебаний стержня, заделанного на концах (160).133138140143145149149149153§ 3. Задача Штурма — Лиувилля1613.3.1. Постановка задачи (161). 3.3.2.
Задача Штурма — Лиувилля(162). 3.3.3. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи (163).3.3.4, Функция Грина самосопряженной краевой задачи Штурма —Лиувилля (164). 3.3.5. Теорема Гильберта (167). 3.3.6.Эквивалентность самосопряженной задачи Штурма— Лиувиллясимметричному интегральному уравнению (167). 8.3.7. Свойствасобственных значений и собственных функций самосопряженнойзадачи Штурма — Лиувилля (168).
3.3.8. Знак собственных значений(169). 3.3.9. Неоднородная краевая задача (170). 3.3.10. Обобщеннаяфункция Грина (170). 3.3.11. Экстремальные свойства собственныхзначений и собственных функций (173). 3.3.12. Метод Ритца (176).3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задачевариационного исчисления (179).Литература181Предметный указатель185ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ— — первая 15Абеля задача 106— — с переменной областью— интегральное уравнение 107интегрирования 60Альтернатива Фредгольма 123Вейерштрасса условие экстремума——длясимметричныхдостаточное 53интегральных уравнений 131— — — необходимое 19, 25, 32, 76Банаха пространство 97Вейерштрасса условие экстремумаБеллмана принцип оптимальности 85усиленное 69Бесселя неравенство 113— форма уравнений Эйлера—Билинейная формула 127Лагранжа 31Билинейные ряды 129— формула 32Билинейный функционал 99— функция 19, 32Бифуркация решений 144Вейерштрасса—Эрдмана условия 18,Больца задача 71—7464Вариационнаязадачав(аналог) Вольтерра уравнение 108 :параметрической форме 29, 52,57— — второго рода 114, 115— — инвариантная 62— — нелинейное 143— — линейная 93— — первого рода 116— — на условный экстремум 64Галеркина метод решения уравнения— — простейшая 14Фредгольма второго рода 142— — с подвижными концами 20—23Гамильтона—ОстроградскогоВариационное исчисление 11, 12, 83,принцип 154, 15585Гамильтона—Якоби уравнение 44— — , прямые методы 92Гамильтониан 41Вариация функционала вторая 15,Гамильтонова система уравнений179Эйлера—Лагранжа 41—форма уравнений Эйлера—Лагранжа 41Гаммерштейна теорема 129Гато дифференциал функционала 100Геодезическая линия 152— экстремаль 151Геодезическое расстояние междуточками 46— — от точки до поверхности 47Гильберта инвариантный интеграл 49—сингулярноеинтегральноеуравнение 147— теорема 167Гильберта—М.
Рисса преобразование146—Гильберта—Шмидта теорема 129Голокомная связь 70Грина формула 163—функциясамосопряженнойкраевойзадачиШтурма—Лиувилля 164, 166, 171Данцига симплекс-метод 89—90Дарбу сумма верхняя, нижняя 109Действие по Гамильтону 154— по Лагранжу 156— по Якоби 157Дифференциал Гато функционала100— Фреше функции 104— — функционала 99— функционала второй 101— — сильный 99, 101, 104— — слабый 100Задача Абеля 106— Больца 71—74— — акцессорная 77— — , вторая вариация 77— — присоединенная 77— — , условия трансверсальности 76—вариационногоисчисленияпростейшая 14— изопериметрическая 73— Лагранжа 69, 72—74— линейного программирования 88,89— Майера 70, 73, 74— на условный экстремум общая 103— о брахистохроне 11— о геодезических 149, 151, 152— о малых колебаниях струны 105— об оптимальном быстродействии80, 82, 87— разрывная второго рода 34— — для функционала, зависящегоот нескольких функций 36— — первого рода 34, 62— — с подвижными концами впространстве 37—сподвижнымиконцами,достаточные условия сильногоэкстремума 55—56— транспортная 90— Чаплыгина 72, 75— Штурма—Лиувилля 162, 163Изопериметрическая задача 64, 66, 73— — , достаточные условияэкстремума 69— — , необходимое условие Клебша67— — , — — Якоби 67— — , правило множителейЛагранжа 103— — , условия трансверсальности 66Импульс 87Инвариантность уравнения Эйлера—Остроградского 59Интеграл — см.
соответствующееназваниеИнтегральное уравнение 105— — Абеля 107— — Вольтерра — см. УравнениеВольтерра— — неоднородное 107,122,130— — однородное 107, 122— — особое 146— — , приближенные методырешения 140—142— — симметричное 108, 123— — сингулярное 146— — союзное (сопряженное) 122— — типа Гаммерштейна 143— — Фредгольма—см. УравнениеФредгольмаИнтегрируемостьпоРиману,необходимое и достаточноеусловие 109Итерированное ядро, билинейныеряды 129J-длина линии 46J-прямая 46J-расстояние 46Каноническая система уравненийЭйлера—Лагранжа 41— форма уравнений Эйлера—Лагранжа 41Канонические переменные 41Каноническое преобразование 46Квадратический функционал 99Квадратурная формула Чебышева141Кинетический потенциал 154Класс измеримых функций 110Классы функций 12Клебшаусловиеэкстремуманеобходимое 67, 76— — — усиленное 69Колебание функции 109Координатные функции 92Координаты Лагранжа обобщенные155Косинус-преобразование Фурье 134Коэффициенты Фурье 112Кратность собственного значения 68Кристоффеля символы первого рода153Критерий 84Лагранжа задача 69, 72—74— обобщенные координаты 155—правиломножителейдляизопериметрической задачи 103— принцип наименьшего действия156— скобка 50— функция 154Лапласа преобразование 137— — обратное 137Лебега интеграл 110, 111Лежандра условие включенияэкстремали в поле усиленное 50— — экстремума необходимое 19, 24Линейноенормированноепространство 97—программирование $8Линии сравнения "12 , лМайера задача 70, 73, 74— семейство экстремалей 50Максимум функционала слабый,сильный 12Мерсера теорема 128Метод конечных разностей 96— разделения переменных 161— Ритца 92, 176— — , модификация 94— следов 142— Фурье 161Минимум функционала слабый,сильный 12Многогранник решений 90Многоугольник решений 88Множество меры нуль 109Морса теорема 69Наклон поля экстремалей 48, 52Неголономная связь 70Неймана ряд 118Неравенство Бесселя 113Несобственный интеграл, главноезначение 145Нётер теорема 43, 62Норма 97— функции 112— ядра 117Нуль-элемент 97Окрестность линии сильная, слабая12, 30— нулевого порядка 12— первого порядка 12Определенный интеграл Римана108—110Оптимальная, политика 84— траектория 80Оптимальное управление 80Ортогонализация собственныхфункций 125, 126Ортогональность собственныхфункций симметричного ядра123Особый интеграл 145Параметр интегрального уравнения107Параметрическое задание линий 29Парсеваля равенство ИЗПервыйинтегралканоническойсистемы 42Пикара теорема 138Поле 78— функционала 50, 52— экстремалей для вариационныхзадач с подвижными концами,примеры построений 51—52— — собственное (общее) 48— — центральное 48Политика 84Полный интеграл уравнения вчастных производных 44Понтрягина принцип максимума 79,81—83Последовательность ортогональная112—ортонормированная,ортонормальная 112— , сходящаяся в себе 97— , — в среднем 111Правило множителей 65— — для задач Больца, Лагранжа,Майера 74— — для изопериметрической задачи103Преобразование Гильберта—М.Рисса 146— Лапласа 137— — обратное 137— Фурье 133— — , применение к решениюинтегральных уравнений 134—136Преобразования Фурье взаимные 133ПринципГамильтона—Остроградского 154, 155— максимума Понтрягина 79, 81—83— наименьшего действия, связь стеорией геодезических 157— — —, форма Лагранжа 156— — — , — Якоби 157— оптимальности 84, 85Производная сильная функции 104— Фреше функции 104Производящая функцияканонического преобразования46Пространство Банаха 97— полное 97— типа В 97Процесс N-шаговый 84Прямые методы вариационногоисчисления 92Пуассона скобка 43Равенство Парсеваля 113Разрывная задача — см.
ЗадачаразрывнаяРаспределение собственных чисел127Расстояние 97Регуляризациясингулярногоуравнения 148— — — равносильная 148Решение 84— опорное 89Римана интеграл 108—110— пространство 152Ритца метод 92, 176Ряд Неймана 118— Фурье 112Самосопряженная краевая задачаШтурма—Лиувилля 164, 167,168, 170СамосопряженностьоператораШтурма—Лиувилля 164Свободныйчленинтегральногоуравнения 107Связь голономная, неголономная 70Силовая функция 153Символы Кристоффеля первого рода153Симплекс-метод Данцига 89, 90Сингулярноеинтегральноеуравнение Гильберта 147— — — с ядром Коши 148Сингулярный интеграл 145Синус-преобразование Фурье 134Система уравнений Якоби 25— функций полная 113Скалярное произведение функций112Скобка Лагранжа 50— Пуассона 43След m-й 142Собственная функция 122— — задачи Штурма—Лиувилля 163— — симметричного ядра 123— — , экстремальные свойства 132Собственное значение задачиШтурма—Лиувилля 163— — функционала 68Сопряженное значение 68, 77Спектральная функция 133Стратегия 84Сумма Дарбу верхняя, нижняя 109Сходимость 97— последовательности в среднем 111Теорема Гаммерштейна 129— Гильберта 167— Гильберта—Шмидта 129— Мерсера 128— Морса 69— Нётер 43, 62— Пикара 138— Фишера—Рисса 112— Фредгольма вторая 122— — первая 122— — третья 122— — четвертая 122— Якоби 45Точка бифуркации 145— максимума абсолютного 101— — относительного 101— — условного 103— минимума абсолютного 10— — относительного 101— — условного 103— многообразия правильная 104Точки сопряженные 19, 25, 33— экстремали регулярные 17Трансверсальность 23Уклонение точки от прямой 88Уравнение Вольтерра 108——второгорода,методпоследовательныхприближений 114————,связьсдифференциальнымуравнением 116— — — — , теорема существованияи единственности решения 114— — нелинейное 143— — первого рода 116— Гамильтона—Якоби 44— замкнутости 113— колебаний мембраны 160— — стержня 161— малых колебаний струны 158, 161— Фредгольма второго рода 107—,— — — метод Галеркина 142— — — — механических квадратур141— — — — наименьших квадратов142— — — — , — последовательныхприближений 118, 140— — — — , теоремы существованияи единственности решения 117— — — — , формулы для отысканияхарактеристических чисел исобственных функций 142— — первого рода 108,138, 139— — — — метод последовательныхприближений 138— — с вырожденным ядром 119— Эйлера—Лагранжа 15—17, 20, 24,30— — — в дифференциальной форме15, 31— — — — интегральной форме 15,31———,каноническая(гамильтонова) форма 41— — — , свойство инвариантности20— — — , случаи понижения порядка17Уравнение Эйлера—Остроградского58— Эйлера—Пуассона 27— — — случаи понижения порядка27— Якоби 19Уравнения движения в формеЛагранжа 155Условие Вейерштрасса достаточное53— — необходимое 19, 25, 32, 76— — усиленное 69— Клебша необходимое 67, 76— — усиленное 69— Лежандра необходимое 19, 24——усиленное,включениеэкстремали в поле 50— некасания 67, 70— Якоби включение экстремали вполе усиленное 51——положительнойопределенностивторойвариации 79— — экстремума необходимое 19,25, 33, 67— — — усиленное 69Условия Вейерштрасса—Эрдмана 18,24, 31— сильного минимума достаточные69— — относительного минимумадостаточные 78— трансверсальности 22, 25, 26, 28,33, 66— — для задачи Больца 76— экстремума достаточные 69, 78— — необходимые 14, 18, 19, 24—27, 30, 32, 67, 76Фазовые переменные 84Фактор-пространство 98Фишера—Рисса теорема 112Формула Вейерштрасса 32— Грина 163— обращения Фурье 133— Фурье интегральная 133— — — в комплексной форме 133Фредгольма альтернатива 123, 131— теоремы 122— уравнение второго рода 107, 117—123— — первого рода 108, 138, 139Фреше дифференциал функционала99Функции координатные 92— , равные почти всюду 111Функционал 11, 98— билинейный 99— , зависящий от несколькихфункций, достаточные условияслабого экстремума 56— , инвариантный относительнопреобразования 43— квадратичный 99— линейный 98— , максимальное значение 101— , минимальное значение 101— от линии 30— положительный 99— простейший 34— сильно положительный 99— , собственные значения 68Функционалы линейно независимые98Функциональный множитель 87Функция Вейерштрасса 19, 32— влияния 106— Грина самосопряженной краевойзадачи Штурма— Лиувилля164, 166, 171— дохода 84— класса C [a, b] 12— — C1 [a, b] 12— — Cm [a, b] 12— — D1 [a, b] 12— Лагранжа 154— сравнения 12— суммируемая 110— , — вместе со своим квадратом111— целевая 88Фурье косинус—преобразование 134— коэффициенты 112— метод 161— преобразование 133Фурье преобразования взаимные 133— ряд 112— синус-преобразование 134— формула интегральная 133— — обращения 133Характеристическое число 122— — симметричного ядра 124— — , экстремальные свойства 132Чаплыгина задача 72, 75Чебышева квадратурная формула 141Штурма—Лиувилля задача 162, 163— — самосопряженная краеваязадача 164, 167, 168, 170Эйлера—Лагранжаканоническаясистема уравнений 41— — уравнение 15—17, 20, 24, 27, 30Эйлера—Остроградского уравнение58Экстремаль 16, 24, 32— геодезическая 151— ломаная 18, 24— неособенная 17— присоединенная 77— регулярная 17Экстремум двойного интеграла,необходимые условия 58, 59— функционала абсолютный 12— — , аналог необходимого условияЛежандра 32— — , достаточное условиеВейерштрасса 53— — , достаточные условия 53, 55—57, 101— — , зависящего от несколькихфункций 23—26— — , необходимое условиеВейерштрасса 19, 25, 32Экстремумфункционала,необходимое условие Лежандра19, 24, 25— — , — — Якоби 19, 25, 33— — , необходимые условия 15, 19,24—26, 30, 32, 33, 101— — односторонний 39— — относительный 12— — сильный 12—- — — , упрощенное достаточноеусловие 55— — слабый 12— — , содержащего производныевысших порядков 26—29— — условный, необходимоеусловиеВейерштрасса—Клебша 76, 83Элемент противоположный 97Элементы эквивалентные 98Энергия кинетическая 153— полная 156— потенциальная 154Ядро интегрального уравнения 107— — — вырожденное 119— — — итерированное 115———невырожденное,аппроксимацияядромвырожденным 120— — — отрицательно определенное128— — — повторное 115— — — положительно определенное128— — — разрешающее 115— — — резольвентное 115Якоби принцип наименьшегодействия 157— система уравнений 25— теорема 45— уравнение 19— условие включения экстремали вполе усиленное 51——положительнойопределенностивторойвариации 79— — усиленное 69— — экстремума необходимое 19,25, 33, 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
