balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (Л.И. Балабух, Н.А. Алфутов, В.И. Усюкин - Строительная механика ракет), страница 5

В соответствии с зависимостями (1.17) и (1.43) имеем Йи 1 ах= — 1(~о = — Еах Йх 2 Потенциал действующих на стержень внешних снл П= —.~ ди Йх — Ри (1). о Таким образом, полная потенциальная энергия рассматриваемой системы 1 Э= — ~ Е$ (и')'дх — ди дх — Еи (1), 2 ) И где штрихом обозначена производная ло х. Варпациоиное уравнение Лагранжа (1.61) в данном случае имеет вид 1 1 63 = ~ ЕЯи' би' йх — ~ даби с[х — Р би (1) =О. о о Интегрируя по частям и группируя слагаемые, иолучасм 63=(ЕБи' — Е) би[„1 — (ЕБи') би[, Р— ~ [(ЕБи')'+д) би дх=О. о По длине стержня вариация би произвольна и необходимым условием обращения в нуль вариации 63 является равенство нулю выражения в квадратных скобках под знаком интеграла: (ЕБи')' + ~~ =- О.

(1.64) При х = 0 по условию задачи и = 0 и, следовательно, би (0) = О; при х = 1 величина 6 и(1) произвольна, и должно выполняться условие РЯи' — Р = О. Итак, в данной задаче граничные условия полученного дифференциального уравнения (1.Б4) следующие: 1) и (0) = 0; 2) Е5и' (1) — Р = О, т.е. У(1) = Р. Дифференциальное уравнение (1.64) и его граничные условия мож« но получить, не используя принцип минимума полной потенциальной энергии, а непосредственно рассматривая условия равновесия стержня (рис. 1.11, б).

Проецируя на а) г ось х все действующие на элемент силы, получаем л'+ ~= о. Учитывая, что осевая си- Ч ла Ф =о5, и используя за— — — — — э1 висимость з = — и' и закон Гука а = Ее, снова приход дим к уравнению (1.б4). Гра- ц ~~ Я+И ничные условия тоже можно и получить, минуя условие стал ~ ~ --- ~ и бМ ционарности полной энергии: первое из них очевидно, а Ч второе вытекает из условия равновесия элемента стержня, примыкающего к нагруженному торцу. В качестве второго.

примера выведем уравнение поперечного изгиба прямого стержня, нагруженного распределенной нагрузкой, д = д (х), как показано на рис. 1.12, а. В рассматриваемой задаче потенциал внешних сил П= — ~ дв йх, о где в = в (х) — поперечный прогиб стержня.

Для подсчета потенциальной энергии деформации- стержня воспользуемся известными из сопротивления материалов гипотезами плоских сечений и ненадавливания слоев. По первой из этих гипотез поперечные сечения стержня, до изгиба нормальные к его оси, после изгиба остаются плоскими и нормальными к искривленной оси стержня. Поворот поперечных сечений на малый угол д приводит к продольным перемещениям и = =- — гб (рис.

1.12, б), где г — координата, отсчитываемая от нейтральной оси стержня. Тогда из общих зависимостей (1.17) находим ди з = — = — Н х . в где штрихом обозначено дифференцирование по х. Поскольку поперечные сечения остаются нормальными к искривленной оси стержня, то при малых прогибах д =- в', и окончательно можно записать ~6 ' н„= — аг", В силу второй гипотезы напряженное состояние стержня .

считается одноосным и потенциальная энергия деформации у= — ~ь'Иду= — ~ е(шт [1 лая~ дх. У о Здесь стоящий в квадратных скобках интеграл берется по площади попереченого сечения стержня и равен моменту инерции поперечного ' сечения 1; тогда У= — ~ Е,7(и")' с1х.

2 (1.65) 0 Полная потенциальная энергия изогнутого стержня Э.= ( 1 — Е1(и")' — ды дх. (1.66) ~~2 0 Из вариациониого уравнения Лагранжа следует, что 69 = (ЕЗм" бщ" — уби) дх =О. Двукратным интегрированием по частям преобразуем определенный интеграл и получаем ЬЭ= (П~') 6п'~',— (ЕЛ~")' Ып ~ю, +~((ЕЛ')' — ц) бп )х=О. 0 В положении равновесия первая вариация полной потенциальной энергии должна обращаться в нуль при любых допустимых вариациях поперечного прогиба.

Отсюда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба стержня (Е Ув")" — д = О, (1.67) а также граничные условия, которые могут быть заданы иа торцах стержня: 1) ЕЛг" = О либо бв' = О, т. е. и' =- м'; 2) (ЕУи")' =-- О либо бэ =- О, т. е. ы = ы, где ы~ и в' — заданные значения прогиба и угла поворота.

Поскольку ЕЛи" =- М и (ЕУв")' = Я, где М вЂ” изгибающий мо-- мент; Я вЂ” поперечная сила, граничные условия имеют следующий смысл: 1) М = О, либо и~' =- ю'; 2) Я = О, либо и = ы. Заметим еще, что если к торцу стержня приложена сосредоточенная поперечная сила Я или изгибающий момент М, то их следует включить в потенциал внешних сил, как это было сделано в предыдущем примере. Тогда Я и М автоматически войдут и в граничные условия. Как и в первом примере, уравнение поперечного изгиба стержня можно получить, рассмотрев условия равновесия отдельно взятого элемента стержня (рис. 1.12, в): (1.68) Учитывая зависимость М =- ЕЛо" (которую тоже можно получить из уравнений статики), снова приходим к уравнению (1.67). $ 1.6.

Устойчивое и неустойчивое равновесие деформированного тепа Общий подход к исследованшо устойчивости равновесия консервативных систем основан на принципе минимума полной потенциальной энергии. Наглядной иллюстрацией такого подхода служит описание поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.13). Потенциальная энергия такого шарика изменяется пропорционально его вертикальному смещению.

Она уменьшается с опусканием шарика и увеличивается, когда шарик поднимается. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности (а) соответствует минимуму потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина вьпуклой поверхности (б) соответствует стационарному, но не минимальному, а максимальному значению потенциальной энергии, и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Другими словами, помещенный в нижнюю точку вогнутой поверхности шарик останется Рис. 1.13 на месте, а с вершнины выпуклой поверхности он непременно скатится. Стационарная точка на седлообразной поверхности (в) тоже не соответствует минимуму потенциальной энергии.

Это так называемая точка минимакса, и положение шарика в ией неустойчиво, На последний случай следует обратить особое внимание: в неустойчивом положении равновесия полная потенциальная энергия совсем необязательно должна быть максимальной. Положение равновесия не буде~п устойчивым во всех случаях, когда полная потенциальная энергия имеет стационарное, но не минимальное значение. Аналогично можно интерпретировать и исследование устойчивости нагруженного упругого тела, только в этом случае полная потенциальная энергия складывается из энергии деформации и потенциала внешних сил [см.

формулу (1.55)1: В дальнейшем для определенности будем считать, что закрепление тела исключает его переме- ; Кения как жесткого целого, а все внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру Р, При малых отклонениях тела от рассматриваемого положения пол, ная энергия получает некоторое приращение ЛЗ. В положении равно-весия (не обязательно устойчивого) полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Условие стационарности — необходимое условие минимума — приводит к вариационному уравнению (1.61). Для того чтобы положение.

равновесия было устойчивым, должно выполняться необходимое и достаточное условие минимума, т. е. условие ЛЗ: О при любых достаточно малых отклонениях от положения равновесия. Если же при заданных нагрузках и условиях закрепления тела возможны такие малые отклонения от положения равновесия, при которых ЛЭ.~ О, то положение равновесия не будет устойчивым.

В силу положительной определенности удельной потенциальной энергии деформации состояние равновесия ненапряженного тела— устойчиво. При достаточно малых значениях параметра нагрузки Р напряженно-деформированное состояние упругого тела может быть описано уравнениями линейной теории упругости; это состояние равновесия будем называть начальным. В окрестности точки Р =- О начальное состояние равновесия, как нетрудно показать, остается устойчивым.

Начальное состояние равновесия -нагруженного тела может перестать быть устойчивым только тогда, когда параметр Р превысит некоторое критическое значение Р„р, т. е. при Р) Р„р становятся возможными такие отклонения от начального состояния равновесия, при которых ЛЭ ~ О. А поскольку при Р с. Р,ч, начальное состояние остается устойчивым и любые возможные малые отклонения приводят к увеличению полной потенциальной энергии, то естественно так определить критическое значение параметра нагрузки: Р„р — это нижняя граница тех значений Р, при которых возможна малые отклонения системы от начального состояния равновесия, приводящие к ЛЭ =- О.

Данное определение позволяет аналитически сформулировать энергетический критерий устойчивости начального состояния равновесия упругих систем. Наметим в общем виде вывод этого критерия. Предположим, что начальное состояние равновесия, описываемое уравнениями линейной теории упругости, известно. Рассмотрим смежное с ним состояние, переход к которому задается перемещениями первого порядка малости. Изменение ЛЗ полной потенциальной энергии при переходек смежномусостоянию подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений. Величину ЛЭ представим в виде двух слагаемых, одно из которых не зависит от внешних нагрузок, а другое пропорционально параметру нагрузки Р; В тех случаях, когда при' переходе к смежному состоянию ЛЗ = О, можно записать 6 (ЛЗ):= О.

(1.69) Последнее условие называют энергетическим критерием (энергетическим принципом) упругой устойчивости. Зтот критерий имеет простой механический смысл, Действительно, обозначив полную потенциальную энергию в начальном н смежном с ннм состояниях соответственно через Э и 31, запишем 3,=3+ ЛЗ. Тогда учитывая, что начальное состояние равновесно и 63 = О, получим 63, = 6 (ЛЭ). Следовательно, энергетический критерий устойчивости (1.69) можно трактовать и как условие 631 = О, т. е. как условие равновесия системы в состоянии, смежном с начальным.