7.8 Анизотропия (Ещё один учебник Феодосьева)

7.8. Анизотррпии Все сказанное по поводу обобщенного закона Гука и вытекающих из него следствий относилось к изотропным средам. Теперь остановимся на упругих свойствах анизотропных материалов. По недавнего времени в практических задачах инженерной механики этн вопросы на передний край не выдвигались. Это не значит, что анизотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бы резннокорднузэ конструкцию автомобильных и авиационных шин, где.резиновая оболочка армирована стальными илн нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку, Можно всномннть н фанерные анизотропные панели, применявшиеся в прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует 336 как важный фактор расчетной схемы.

И все же, несмотря на несомненную важность и даже засяуженностыюдобных прикладных задач, следует признать, что все они узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатству' структурных схем, которое раскрывается перед нами в связи с применением композипионных материалов. Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую технику без применения композитов. Композидионные материалы уже охватили многие отрасли промышленности, в том числе производство предметов домашнего обихода. Композиционные материалы могут иметь различную структуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов — наполнителя и связующего. Последнее обычно называют матрицей. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей или нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойства анизотропии, и модули упругости в различных направлениях могут различаться в несколъко крат.

Не касалсь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композита как сплошную и однородную среду с соответствующими упругими константами, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линейных зависимостей между компонентами напряженного и деформированного состояний. И обобщение в этом случае достаточно очевидно: каждая компонента деформированного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем следующие соотношения: бх = Б11 ох+ 51 2тту+ 51 3ттз+ 5147уз+ Бз3тзз+ 51 бтху ~ бу = 521 ох+ 522 тту+ 523 оз+ 524 туз+ 5237зх+ Бзбтху ~ Ез = 531Ох+532тту+Бззттз+5347уз+536 тзх+ Бзбтхуз (7.30) 7 уз = 541 1тх + 542 оу + Б43 ттз + 544 туз + 54 6 тз з + 5467х у ! 7зх = 531 (7х+ 562 тту+ БЬЗ <~з+ 5347уз+ Бббтзх+ Бббтз61 7ху = 561Ох+ 562тту+ 563пз+ 5647уз+ Бббтхх+ Бббтху~ где Б;ь — коэффициенты податливости, которые определяются свойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентаций выбраююй системы осей хз у~ х.

237 Как напряженное и деформкрованное состояния являются тензорами, так и система коэффипиентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга). Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. Б;Ь = БЫ. Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. 3 5.0). Работа, например, силы зту Иу бх на перемещении 512оу Нх, вызванном силой о Их Их, равна работе СИЛЫ Зту НХ НХ На ПЕРЕМЕЩЕНИИ 521Ох АЗУ: ~хбубх 512оубх = оубхбх 521охбу, откуда следует, что Бш = 521.

Если оси *, у, х являются главными осими напряженно- Х 1 го состокнилз то туз = гзх .г ~Ь~ = тху — — О. При этом угловые дефоРмации 7ух1 7хх 7зу в нУль не обращаются. Следовательно, | | ф в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не | совпадатот.

Это иллюстрирует I / простой пример, показанный на l рис. 7.32. деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не толыю удлинение, но и перекос. В данном случае касательные напряжеРнс. 7.32 ННЯ гху РаВНЫ НУЛЮ И, СЛЕДОВательно, оси х и у — главные оси напРЯженного состонниЯ. ЛефоРмацик же Тху в нУль не обРашается. Следовательно, для деформированного состояния оси х и у — не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растяжении по оси х никаких перекосов не возникало бы, и главные оси напряженного и деформированного состояний совпадалн бы.

А это означает, что некоторые из козффипиентов податливости при 'таком выборе осей обращаются в нуль. Значит, прн определении коэффициентов ззв податливости в целях простоты следует сообразовыватъся с осями анизотропии среды. Наиболее простой вид матрица податливости приобретает, естественно, в случае полной изотропни (см. (Т.20) и (Т.21)): 1,и Е Е ~и 1 Е Е И И Е Е вЂ” 0 тз Е и — — 0 Е 1 0 Е 0 0 0 0 0 0 1 — 0 0 С 0 0 0 1 — 0 0 1 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 Несколько сложнее выглядит матрица податливости в случае монотпронии, илн, как ее часто называют, тпрансеерсалъноб иэотпронии, которзл свойственна композитам с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя (рис. 7.33).

Рис. 7.33 Обратимся к первому выражению (7.21) н, сохраняя обозначения для модуля и коэффициента Пуассона, снабдим их соответствующими индексами. Пусть по оси х модуль будет Е1, а по равноправным осям у и х — Е2. Тогда 021 021 бх = — Зтх — — Оу — — О,. Е1 Е2 Е2 369 Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй — тои оси, по которой происходит сужение.

Лля монотропной среды, естественно, 3421 = р31. Написав аналогичные выражения и для остальных компонент 'деформированного состояния, получаем матрицу податливости монотропного материала в следующем виде: 1 Е1 Р12 Е1 012 Е1 т"21 Е2 т" 32 Е2 1 Е2 з'21 Ез 1 Ез /~32 Е2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — 0 0 023 1 0 — 0 012 0 0 0 Р21 012 Здесь по свойству симметрии — = —, а кроме того, поЕ2 Е1 ' скольку в плоскости уОх среда изотропна, для нее сохраняется Ез хорошо известное соотношение 623 = . Таким обра- 2 (1+ тзз2) зом упругие свойства монотропной средй определяются пятью независимыми константами. И, наконец, еще один вид анизотропии, характерный для композитов — ортнонтрония, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 7.34).

Здесь, в отличие от монотропии, оси у и х неравноправны. В частности, ортотропной является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными: 340 Рнс. 7.36 Рнс. 7.34 1 Е1 012 Е1 тз13 Е1 т"31 ЕЗ т" 32 Ез 1 Ез И21 Е2 1 Е2 И32 Ез 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — 0 0 а23 1 0 — 0 а31 1 0 0 а12 0 0 где, конечно, по свойству симметрии ~~21 И12 И31 . Ф13 Р32 И23 Е2 Е1 ' Ез Е1 ' Ез Е2 Упругие постоянные Е1, Е2, ...

для композита можно определять не только путем испытзлия образцов. Если известны модули нитей и связующего, можно с достаточной точностью рассчитать упругие постоянные создаваемого композита. В частности, особенно просто определить модуль упругости Е1 для монотропного комдозита (рис. 7.35). Достаточно очевидно, 341 что в случае длинных нитей Е1 = Екав+ Ес1Гсз Табзинх 7.1. Механические свойства однонаправленных номпознтов с эпоксидной матрицей Стекло- нззстнх Угле- хлхстхх Оргахоялхстях (1т, =6,64 Боро- явастях (1т. =6,3) Характеристика (~.

= 6,66) (~, = 6,7) Еь ГПа Ез, ГПх 62,1 201,3 161,4 10,3 6,9 0,016 0,26 17,6 64,З 14,0 6,3 4,6 21,7 С1з, ГПа 2,9 3,4 0,016 6,32 17,6 29,1 0,636 0,616 6,17 6,21 Фз1 Е1 /Ез Е11С1з 3,7 9,3 6,3 26,3 37,3 З42 Онхнчаних нтахз. 7.1. Спхзтз- Утзх- (зз хз 6,7) Орханонлзстяя (У = 0,64 Ххрахтхрхстнха нзхсзхх (зз = 0,66) иззстнх (~ =О,Ь) И+, МПх И+, МПх И,-, МПх И„-МПх И~з, МП и+!и+ и,7п 77,-!Л,- ПОЬ 1166 1373 7,6 46,6 1762 10,9 269 63,6 636 76,6 22,4 246,1 67,6 37,3 64,6 27,6 123,4 63,6 24,6 146 106,6 49,3 22,1 6,9 43,0 Ш,б 6,6 4,6 1З,О П р х к х ч ах не. У, — обынназ яхзз ианознатезз. Через П+, П х П1з язз хатхзяностн абознвчххм соответственно нрхяхзм прочности нх растяжение, ха сматнх н на сдвиг.

В табл. 7.2 дблы значения модулей упругости и пределов прочности перекрестно армированных композитов. Таблица 7.Я. Мехаиичесюзе свойства ортотоиалъио архнренаннъпс в перекрестию армиревзззных композитов Харххт- хрхстхх Стехзонзхстнх Угххяхастнх Бороизаст ни О'/90 х46 0~/90~ Г П Ез, ГПа 2,6 176 66.==6 70,2 22,6 6,16 17,0 7,6 0,034 0,89 0,16 9,4 407 о,озь 3,1 С1», ГПа П+, МПа Из+, МПх П,, МПа а,, МПх 0,67 20,0 О,ОЬ 12,6 630 291 66,6 407 63,7 320 где Е„и Е, — модули упругости нитей и связующего; К, и К, — соответственно их объемные долм в композите.

Если наполнитель состоит из коротких нитевидных кристаллов, формула дает завышенные значения Е1. Возникает также погрешность вследствие различия коэффициентов Пуассона для нитей и матрицы, но она незначительна. Формулы для определения других упругих констант композита существенно сложнее только что приведенной, но не настолько, чтобы это серьезно затрудняло вычисления. В практике расчетов н упругих констант, и предела прочности композита широко используют понятие монослоя — как основного составляющего элемента слоистых структур. Монослой — это скорее двойной слой (см. рис.

7.33), содержащий два семейства нитей, направленных соответственно под углами +<р, — 6т или 0", 90е к оси х. Если ~р = Ое, получается однонаправленный монослой. Значения модулей упругости и пределов прочности такого монослоя даны в табл.

7.1. Приведенные данные заметно изменяются в зависимости от рецептуры связующего и от методов изготовления композита. .