МУ по решению задач экзаменационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения

Московский физико-технический институт(государственный университет)Ипатова В.М.Методические указания по решению задачэкзаменационной контрольной работы по курсуДифференциальные уравнения 2013-2014 уч. г.Долгопрудный20141СодержаниеПредисловие…………………………………………………………..…………………3Условия задач…………………………………………………………………………...4Методические указания и решения задач………………………………………81. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………..82.

Линейные системы с постоянными коэффициентами………………………………143. Положения равновесия автономных систем………………………………………...204. Линейные уравнения с переменными коэффициентами……………………………255. Экстремум функционала……………………………………………………………...296. Задача Коши для уравнений, допускающих понижение порядка………………….347. Уравнения, не разрешенные относительно производной…………………………..388.

Уравнения в частных производных первого порядка………………………………429. Задачи повышенного уровня………………………………………………………….47Ответы…………………………………………………………………………………....502ПредисловиеВ данном методическом пособии представлена письменная экзаменационная работапо годовому курсу «Дифференциальные уравнения», которая давалась в Московскомфизико-техническом институте в весеннем семестре 2014 года. Контрольная работасоставлена в четырёх вариантах. В пособии содержатся условия всехэкзаменационных задач и ответы к ним. По каждой теме письменного экзаменаразъясняются основные методы, необходимые для решения задач, даютсярекомендации по выбору способов решения. В качестве примера детальноразбираются задачи двух вариантов (41 и 42) контрольной работы. Маркировка вида:задача 42-5 означает задачу № 5 из варианта 42.

Порядок следования тем согласован срасположением задач в экзаменационной работе:1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.2. Линейные однородные системы третьего порядка с постоянными коэффициентами.3. Положения равновесия нормальных автономных систем второго порядка.4. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.5. Исследование функционала экстремум (простейшая задача вариационногоисчисления).6. Задача Коши для уравнений, допускающих понижение порядка.7.

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особыерешения.8. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.9. Задачи повышенного уровня.На выполнение экзаменационной работы отводилось 4 часа.Авторами задач, включенных в письменную экзаменационную работу, являютсясотрудники кафедры высшей математики МФТИ: С.С. Самарова (№ 1), И.Ю.Ждановский (№ 2), А.Е. Умнов (№ 3), В.М. Ипатова (№ 4,8,9), А.Ю.

Петрович (№ 5),С.В. Иванова (№ 6), А.Ю. Семенов (№ 7), А.М. Бишаев (№ 10). Автор данногопособия была составителем письменной экзаменационной работы и выражает своюискреннюю благодарность коллегам, написавшим для контрольной новыеоригинальные задачи.Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить О.А.

Пыркову,которая внимательно прочла пособие и высказала ряд полезных замечаний.3Условия задачВариант 41 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияxx 2y  8 y''  9 y  5  sin  cos   4e x .222.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  x  4 y  3z,(1,2  2, 3  3) y  2 x  4 y  2 z, z  2 x  3 y  4 z.IV3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x  arctg (1  2 x  y ),2 y  2 x  x  y.4.(5) Найти все решения уравненияx2 ( x  2)2 y''  x( x 2  4) y'  x( x  2) y  5( x  2)3 ln3 x.5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияJ ( y) 11 /62  y'  tg x dx,7 /47y     ln 2, 4 11 y   2ln 2. 6 6.(5) Решить задачу Кошиx2 2 x yy"   3x  4  yy'  x x 2  3x  2  y'   0 , y (3) 21, y' (3) 31.3 37.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые43  y'   4 ( y' )3  y  x   0 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuu z ux   x( y  5 z )2  z   0 , u  xz 5 при y  5z  1, x  0 .xy 5 zПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C единственно( x  1) y'''  y' sin x  0, 0  x  1,решение краевой задачи существует иy(0)  3 y' (0)  A,y(1)  B,y' (1)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыw( w  1)v( w  1)x  u , r  v , u  v  2 x , v  u  1 , w.2r  3wr  3w24Вариант 42 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравнения2y IV  2 y'''  2 y''  6 x  e x .2.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  6 x  4 y  10 z,(1  2, 2,3  2i) y  14 x  12 y  27 z, z  4 x  4 y  8 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x   x  2 y  xy, y  ln 1  4 x  3 y  xy  .4.(5) Найти все решения уравненияx2 y''  x(8x  1) y'  4 x(4 x  1) y  (4  x)e4 x , x  0 .5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияJ ( y) 3 /22  y'  sin x dx,4 /34y    ln 3, 3 3y    0. 2 6.(5) Решить задачу Коши2  y  2  y''   2 y  1 y'    y'  ,42y  5  7, y'  5 12.7.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые2 y'  2ln y'  y  x  0 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuuu2 xy 2  7 xz 3 yz 3 2 y2z 0 , u  xy 6 при z  1, y  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственноxy'''  y' cos2 x  0, 2  x  3,y(2)  A,y' (2)  B,y(3)  y' (3)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системы w 1 w 1x  u , r  v , u  r , v   x  w  2  , w  v  2 . r r5Вариант 43 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияy IV  3 y''  4 y   sin x  cos x   8 e2 x .22.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  10 x  y  8 z,(1  2, 2,3  3) y  9 x  4 y  10 z, z  8 x  y  6 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x  8 x  2 y  7  1,2 y  x  4 x  y.4.(5) Найти все решения уравнения( x  1)3, x  1.x ln 2 x5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияx( x  1)2 y''  ( x 2  1) y'  ( x  1) y J ( y) 5 /62  y'  ctg x dx,2 /36.(5) Решить задачу Кошиx32y    0, 3 5y    ln 3. 6  3x yy"  3 x 2  1 yy'  x3  x  y'   0 , y(1)  e , y' (1)  4 e .27.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые65  y'   6 ( y' )5  y  x  .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиu  2uux2  x  2( x  y ) z   z 2  1 0 , u  x  y при z  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственноx y'''  e x y'  0, 1  x  5,y(1)  y' (1)  A,y(5)  B,y' (5)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыw(1  2rw)v(1  2rw)x  u , r  v , u  v  1, v  2r  u , w.2rr26Вариант 44 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияy IV  2 y'''  5 y''  3 5 x  2e x.22.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x   x  2 y  2 z,(1  3, 2,3  i) y  7 x  9 y  6 z, z  6 x  8 y  5 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия2 x  sh 3 y  3 y , y  3xy  2 x  4 y  4.4.(5) Найти все решения уравнения2 x 4 ln( x  1)x ( x  1) y''  x(3x  4) y'  2(2 x  3) y , x  0.x 15.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращения22J ( y) 11  1y   ln 3, 6  22  y'  cos x dx,11 /6y  2   0.6.(5) Решить задачу Коши2 y 2  y y''   y'   y 2  8  y'   0, y 10   1, y' 10   .24137.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривыеy'  y  x  ln y'   1 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuuu2 y2 ye x z e x  4 y 2 0 , u  yz при y 2e x  1, y  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственно( x  2) y'''  y' ch x  0,  1  x  0,y(1)  A, y' (1)  B, y(0)  2 y' (0)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыx  u , r  v , u  2rx , v   x 2 3w2 r 23vwr 2,.wr3  1r3  17Методические указания и решения задач1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиПусть требуется найти все действительные решения линейного уравнения порядка nnn1a0 y   a1 y   ...  an1 y  an y  f  x  ,где x (1)– независимая переменная; y  x  – искомая функция; a0 , a1,, an – заданныедействительные числа, причем a0  0 ; f  x  – заданная функция.Соответствующее линейное однородное уравнениеnn1a0 y   a1 y   ...

 an1 y  an y  0 .(2)Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения (2) илюбого частного решения (1): y  x   yo  x   yч  x  .Общее решение уравнения (1) всегда зависит ровно от n произвольных постоянных.Построение общего решения однородного уравненияНайдём корни характеристического уравнения (2), то есть алгебраического уравненияa0 n  a1 n1  ...  an1  an  0 .(3)Обозначим через 1, 2 , ... , s различные корни (3), вообще говоря, комплексные.