Лекции Дымарский 4 семестр, страница 7

Первый: существует такоеn ∈ Z, что nT 6 x1 < x2 6 (n + 1)T . Тогда 0 6 x1 − nT < x2 − nT 6 T и, в силупериодичности,|f (x2 ) − f (x1 )| = |f (x2 − nT ) − f (x1 − nT )| <ε.2Второй случай: существует такое n ∈ Z, что nT 6 x1 < (n + 1)T < x2 6(n + 2)T .

Тогда, в силу первого случая,|f (x2 ) − f (x1 )| 6 |f (x2 ) − f (n + 1)T )| + |f (n + 1)T ) − f (x1 )| 6 ε. Теорема 4.1. (Фейера об аппроксимации) Непрерывная 2π-периодическаяфункция f аппроксимируется своими суммами Фейера равномерно на всейоси:Σn (f, x) ⇒ f (x) на R при n → ∞.Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2 Дини. Воспользуемся свойством нормировки, неотрицательностью ядра Фейера (пп. 1 и 3леммы 4.2) и интегральным представлением (4.1) сумм Фейера, чтобы оценитьразность суммы Фейера и значение функции:ˆ1 π∆n (x) := |Σn (f, x) − f (x)| = (f (x + t) + f (x − t) − 2f (x))Φn (t) dt 6π 030Я.

М. ДЫМАРСКИЙ1πˆπ|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|Φn (t) dt.0Пусть δ ∈ (0, π). Введем в рассмотрение интегралыˆ1 δInt<δ :=|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|Φn (t)dt,π 0ˆ1 πInt>δ :=|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|Φn (t)dt.π δТогда ∆n = Int<δ + Int>δ . Параметр δ имеет техническое назначение. Нампредстоит так подобрать номер n, чтобы получить оценку малости разности∆n не взирая на δ.Обозначим супремум колебания функции на δ-отрезке черезω(δ) :=sup|x1 −x2 |6δ|f (x2 ) − f (x1 )|, где x1 , x2 ∈ R.В силу леммы 4.4, limδ→0 ω(δ) = 0. Возьмем произвольное ε > 0.

ОценимInt<δ , сравнив значение функции f (x) с отклонениями f (x ± t):ˆ1 δInt<δ =|(f (x + t) − f (x)) + (f (x − t) − f (x))|Φn (t)dt 6π 0ˆ1 δ(|f (x + t) − f (x)| + |f (x − t) − f (x)|)Φn (t)dt 6π 0ˆˆ2ω(δ) δ2ω(δ) πεΦn (t) dt 6Φn (t) dt 6 ω(δ) < ,ππ200если δ = δ(ε) достаточно мало. (Мы еще раз воспользовались неотрицательностью и свойством нормировки ядра Фейера.)Чтобы оценить Int>δ , воспользуемся 2π-периодичностью и непрерывностьюфункции f и введем M := max |f (x)| = max |f (x)|.

ТогдаRInt>δ 61πˆ[−π,π]π|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|Φn (t)dt 6δε4M· max Φn (t) · π 6π t∈[δ,π]2для уже выбранного δ, если n = n(δ(ε)) = n(ε) достаточно велико (в силу п. 4леммы 4.2).Мы показали, что ∆n (x) < ε для всех достаточно больших n равномернодля всех x ∈ R. Обсуждение 4.2. Еще раз обращаем внимание, что доказательство теоремы Фейера опирается на специфические свойства ядра: неограниченно растущий максимум в окрестности нуля, “почти обнуление” вне малой окрестностинуля и неизменность нормировки при всех n.

Именно эти свойства лежат воснове понятия δ-функции Дирака, которую мы рассмотрим позже. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР314.3. Аппроксимация непрерывных функций многочленами. В качестве следствия теоремы Фейера мы докажем аппроксимационные теоремыВейерштрасса.Определение 4.2. Тригонометрическим многочленом (ТМ) степени n называют суммуn∑Ak cos kx + Bk sin kxTn (x) := A0 +k=1при условии A2n + Bn2 > 0.

Теорема 4.2. (Первая теорема Вейерштрасса об аппроксимации ТМ)Пусть функция f ∈ C 0 [−π, π] и удовлетворяет условию периодичностиf (−π) = f (π). Тогда для любого ε > 0 найдется такой ТМ Tn (x), которыйравномерно на отрезке [−π, π] аппроксимирует f (x) с точностью до ε, т.е.max |f (x) − Tn (x)| < ε.x∈[−π,π]Доказательство. Благодаря условию периодичности функцию f можнонепрерывно доопределить на всю числовую ось Теперь в качестве искомогомногочлена можно взять сумму Фейера Σn (f, x) функции f с достаточно большим n. В самом деле, сумма Фейера является линейной комбинацией суммФурье, значит это ТМ.

А из теоремы 4.1 Фейера следует, что с помощью номера n можно добиться произвольной ε-аппроксимации. Теорема 4.3. (Вторая теорема Вейерштрасса об аппроксимации многочленами) Пусть функция f ∈ C 0 [a, b]. Тогда для любого ε > 0 найдется такоймногочлен Pn (x) = a0 + a1 x + ... + an xn , который равномерно на отрезке [a, b]аппроксимирует f (x) с точностью до ε, т.е.max |f (x) − Pn (x)| < ε.x∈[a,b]Доказательство. Замена независимой переменнойx=a+b−at, t ∈ [0, π], x ∈ [a, b]πпреобразует данную функцию в функцию φ(t) := f (x(t)), которая определенаи непрерывна на [0, π]. Продолжим функцию φ на [−π, 0] четным образом –получим функцию φ(t) непрерывную на [−π, π] и удовлетворяющую условиюпериодичности φ(−π) = φ(π). В силу первой теоремы Вейерштрасса, существует такой ТМ Tm (t), чтоmax |φ(t) − Tm (t)| <t∈[−π,π]ε.2ТМ Tm (t) есть конечная линейная комбинация косинусов и синусов.

Каждое из слагаемых ТМ раскладывается равномерно на [−π, π] в ряд Маклорена(это следует из теоремы Абеля о равномерной сходимости степенного ряда).32Я. М. ДЫМАРСКИЙПоэтому весь ТМ Tm (t) аппроксимируется равномерно на [−π, π] частичнымисуммами Qn (t) указанного ряда Маклорена с любой точностью:max |Qn (t) − Tm (t)| <t∈[−π,π]ε.2Следовательно,max |φ(t) − Qn (t)| < ε.t∈[−π,π]Осуществляя обратную замену t = π(x − a)/(b − a), получаем()π(x − a)max |f (x) − Qn| < ε.b−ax∈[a,b]Но Pn (x) := Qn (π(x − a)/(b − a)) – это многочлен той же степени n.

Он даетнам искомую аппроксимацию. Подводя итоги изучению рядов Фурье методами классического анализа, отметим, что:1. всякой 2π-периодической абсолютно интегрируемой на периоде функцииf можно сопоставить формальный ряд Фурье, коэффициенты которого,в силу теоремы Римана об осцилляции, стремятся к нулю с ростом номера;2. если в точке x функция f регулярна по Липшицу-Гельдеру, то ее рядФурье сходится в этой точке к значению функции f (x);3. если 2π-периодическая функция кусочно-гладкая, то ряд Фурье сходитсяк ней равномерно на всей оси;4. чем глаже функция, тем быстрее убывают ее коэффициенты Фурье: если q-я и (q + 1)-я производные кусочно-непрерывны, а все предыдущиепроизводные непрерывны, то коэффициенты Фурье убывают обратнопропорционально номеру в степени q + 1;5.

для непрерывной 2π-периодической функции усреднение методом Фейера частичных сумм ее ряда Фурье порождает последовательность тригонометрических полиномов, которая сходится к функции равномернона всей оси.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР33§ 5. Метрические и нормированные пространстваПроисхождение рядов Фурье связано с разложением вектора в конечномерном евклидовом пространстве. Ортогональную систему тригонометрическихфункций мы обнаружили в функциональном пространстве L2R (−π, π). Разложение в ряд Фурье мы применяли к функциям, обладающим разными свойствами: абсолютно интегрируемым, непрерывным, кусочно-гладким, разрывнокусочно-гладким и др.

Сейчас мы переходим к изучению рядов Фурье с точки зрения функциональных пространств. Т.е. мы применим к ним методыфункционального анализа. Лекция имеет обзорный характер. Доказательствалишь намечены, многие даны в виде задач. Ее цель – ознакомить с первоначальными многочисленными понятиями и утверждениями, лежащими в основефункционального анализа.5.1. Метрические пространства. Начнем с обсуждения одной из самыхпростых структур.Определение 5.1. Метрическим пространством называется множествоM , на котором определена метрика, т.е.

функция, сопоставляющая произвольной паре элементов (x, y) ∈ M × M неотрицательное число ρ(x, y) > 0 иудовлетворяющая для любых x, y, z ∈ M аксиомам:1. тождественности: ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;2. симметричности: ρ(x, y) = ρ(y, x)3. неравенству треугольника: ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).Значение ρ(x, y) называется расстоянием между элементами. Обозначение. Если важно напомнить, в какой метрике рассматриваетсямножество M , метрическое пространство обозначают (M, ρ).Примеры 5.1. метрических пространств:числовая прямая R с ρ(x, y) = |x − y|;множество Q всех рациональных чисел с ρ(x, y) = |x − y|;комплексная прямая C с ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 |;евклидова плоскость, на которой расстояние между точками A и B равнодлине соединяющего их отрезка: ρ(A, B) = |AB|;5.

окружность, на которой расстояние между точками равно длине соединяющего их отрезка (хорды): ρ1 (A, B) = |AB|;6. окружность, на которой расстояние между точками равно длине меньgшей дуги окружности, соединяющей точки: ρ2 (A, B) = |AB|.1.2.3.4.Поскольку в примерах 5 и 6метрика определяется по-разному,это разные метрические пространства: (S 1 , ρ1 ) ̸= (S 1 , ρ2 ) (рис. 5.1).A·A·r1 ( A, B) · B¹r 2 ( A, B) · BРис. 5.134Я. М. ДЫМАРСКИЙЗадача 5.1. Во всех примерах проверьте выполнение аксиом метрическогопространства.В метрическом пространстве вводятся понятия шара и сферы.Задача 5.2.

Самостоятельно дайте определения открытого (замкнутого)шара Ball(x, R) (Ball(x, R)) с центром в точке x радиуса R и сферы S(x, R).Опишите и изобразите шар и сферу в приведенных примерах 1-6.Открытый шар Ball(x, ε) = Uε (x) мы традиционно называем ε-окрестностью◦точки x, а шар без центра Ball(x, R) \ {x} = U ε (x) – проколотой окрестностью точки x.Пусть X ⊂ M – подмножество метрического пространства M . Как и втеории арифметических n-мерных пространств (п.