Лекция 10. Напряжения и деформации (Лекции по структурной геологии (Тевелев А. В.))

Структурная геология игеологическое картированиеЛекция № 10«Напряжения идеформации»Предварительные замечанияНапряжениеГорная порода находится под напряжением тогда, когда к нейприложена сила. Сила – величина векторная, т.е. имеет двехарактеристики: скалярное значение и направление приложения.Сила, как таковая, приложена к точке, однако она вызываеттрехмерные напряжения и деформации, которые принеоднородном строении геологических тел очень сложноописывать в полноте и строгости.Для «небольших» геологических тел обычно принимается допущениеоб «однородности напряжения», т.е. о том, что величина инаправление напряжения равны во всех точках тела.

Правда, этодопущение далеко не всегда приемлемо для крупных структур.Напряжение – есть сила, приложенная к единице площади(равнодействующая всех сил делится на площадь, к которой ониприложены)Σ = (F/S)zДля анализа распределения напряженийиспользуют бесконечно малыйвиртуальный куб горной породы,считая, что уж внутри-то этогомаленького куба напряжениеоднородно.Виртуальный элементарный кубмысленно располагают в определеннойсистеме координат.Очень удобно все напряжениярассматривать относительнограней этого кубаxyСоставляющие напряженийДействующая на тело (виртуальный куб) сила ( F ) вызываетнапряжение, которое можно разложить на две составляющие:σ– нормальное (σ)напряжение перпендикулярноповерхности (грани куба)– тангенциальное (τ),или касательноенапряжение выражено наповерхности (грани куба).FzτxτТангенциальное напряжениев свою очередь тоже можетбыть разложено насоставляющие τx и τyсоответственно осям х и уτyxyНапряжения σ и τ должны быть уравновешены,если тело не движется (уравновешено σ)и не вращается (уравновешено τ)Чем круче к грани куба действуют сила, тембольше нормальное напряжение именьше тангенциальное напряжение.Мы не в силах менять направлениесил, но мы можем выбрать любуюсистему координатотносительно этой силы.

В том числеи такую, в которой на всех трехвзаимно перпендикулярныхплоскостях тангенциальныенапряжения обращаются в нуль.В этом случае поле напряжений можнобудет описать только нормальныминапряжениями.zσFτxτ τyxyВ системе координат, в которой на всехтрех взаимно перпендикулярныхплоскостях тангенциальные напряженияобращаются в нуль, поле напряженийможно описать тольконормальными напряжениямиТакие напряжения называютглавныминормальныминапряжениямиσzσ3σ1σx2Их обозначают буквамиσ1, σ2 и σ3, где3σ1 – максимальное,σ2 – среднее, аσ3 – минимальное.Среднее нормальное напряжение σср = (σ1 + σ2 + σ3) / 3yНаправления действия главных сил называютсяглавными направлениями напряженияσ1Напряжения в литостатических условияхzУсловия, при которых σ1 = σ2 = σ3,называются литостатическими.Эти условия возникают при погружениитела на глубину.

Литостатическоедавление просто равно весу колоннывышележащих пород.Геологическое тело влитостатических условияхнаходится под равномернымвсесторонним и одинаковымдавлением, а потому оно (впростом случае!)не деформируется ине смещается. Среднеенормальное напряжение влитостатических условиях:σσ3σ1σy1x2σ3σср = (σ1 + σ2 + σ3) / 3 = 3σ1 / 3 = σ1Если главные напряжения не равны другдругу, но литостатическая компонентаприсутствует, то ее принято вычитать.Остаток от вычитания называютдевиаторным напряжениемσ1д = (σ1 – σл)σ2д = (σ2 – σл)σ3д = (σ3 – σл)zσσ3дσ σлσ σ1дσ2σσσ2длy3σ σ1д1Иногда, когда, условияне вполне отвечаютлитостатическим, залитостатическуюкомпоненту принимаютсреднее напряжениеσл3σσл3д1xлКристиан ОттоМор (1837-1918)τσиσ31(σ1+σ3)/2Графический расчет напряженийПри известных максимальном и минимальном главных напряженияхдля определения величины нормального и тангенциальногонапряжений в любой плоскости удобно использоватьдиаграмму Мора, или "Круг Мора", где:σ – ось абсцисс (нормальное напряжение)τ – ось ординат (тангенциальное напряжение)(σ1–σ3)/2σ1 – главное максимальное напряжениеσ3 – главное минимальное напряжение(σ1+σ3)/2 – начало радиуса-вектора(σ1–σ3)/2 – длина радиуса-вектора3α – угол между заданной плоскостью иτиσ1вектором минимального главногоσ напряжения22ασи – искомое нормальное напряжениеτи – искомое тангенциальное напряжениеВеличина напряжения плавно меняется по мере изменения угла между его вектороми вектором главного минимального напряжения.

Крайние случаи:σ32σ31) если α = 90° (2α = 180°), то σи = σ3, а τи = 0;312) если α = 2α = 0°, то σи = σ1, а τи = 0;σ13) если α = 45° (2α = 90°), то τи = (σ1–σ3)/2 (max!), а σи = (σ1+σ3)/2σσ11σ3Эллипсоид напряженийДля геометрического описания плавно изменяющегося трехмерногонапряжения используют эллипсоид напряжений.Эллипсоид напряжений однозначно определяется положением егоглавных осей. Плоскости, проходящие через две оси, и ортогональныетретьей – главные плоскости напряженийДвухмерный разрез эллипсоида представляет собой эллипс.При равенстве всех трех главных напряженийтрехосный эллипсоид превращается в шар(литостатические условия).σσ1 = σ2 = σ3σПри равенстве двух из трех напряженийтрехосный эллипсоид превращаетсяв одноосный, или эллипсоид вращения.σ1 = σ2 ≠ σ3или σ1 ≠ σ2 = σ3или σ1 = σ3 ≠ σ21σ23Стрелки всегда показывают правильное направление.Важно только знать, о чем, собственно, идет речь!ДеформацииОбщая деформация геологических объектов это изменениево-первых – местоположения (перемещение, трансляция);во-вторых – ориентировки (вращение);в-третьих – объема и формы:дилатация – изменение объема при сохранении формыдисторсия – искажение формыПростейшие примеры:перемещения – смещения блоков по разрывам;вращения – поворот крыльев складки при поперечном изгибе;дилатации – уплотнение нелитифицированных осадков;дисторсии – раздавливание, складчатость, рассланцевание и пр.ДисторсияОбщая деформация геологических объектов происходит в результатеприложения самых разных напряжений, что чаще всего приводит кизменению формы объектов.

Для простоты принимается допущение ободнородности деформаций, при которой все материальные прямые линиии после деформации остаются прямыми.Простые типы изменения формы объектов:1. Линейные деформации (растяжение)может оцениваться разными коэффициентами:∆L– относительное удлинениеε = (L1 – L0) / L0 = ∆L / L0– растяжениеS = L1 / L0 = (1 + ε)– квадратичное удлинениеλ = (L1 / L0)2 = (1 + ε)2L0L12. Плоские деформацииОбщая ситуация заключается в том, при растяжении физического тела водном направлении, оно неизбежно сжимается в другом.

И наоборот, присжатии в одном направлении, оно растягивается в другом. В природеобычно наблюдается (для плоских деформаций!) либо плоское растяжение(или сжатие), либо простой сдвиг. Либо, конечно, их сочетание.2.1. Чистый сдвиг (растяжение) есть деформация под действиемнормальных напряжений. Мерой деформации являются две компоненты:– продольное относительное удлинениеДеформации элементарных эллипсовεпр = (L1 – L0) / L0 = ∆L / L0при чистом сдвиге (Интернетресурс)– поперечное относительное удлинениеεпоп = (W1 – W0) / W0 = ∆W / W0σ∆LL0L1∆WNB! ε положительно при растяжении и отрицательно при сжатии!2.2. "Простой сдвиг" (скол) есть деформация под действиемтангенциальных (касательных) напряжений.

Мерой деформации является угол ϕ,на который отклоняется сторона мысленного квадрата.τϕОстатки колонны храмаАполлона. Дидим. ТурцияДеформации элементарныхэллипсов при простом сдвиге(Интернетресурс)Эллипсоид деформацийДля геометрического описания трехмерных деформаций используютэллипсоид деформаций.Эллипсоид деформаций однозначно определяется положением егоглавных осей.

Длины главных осей (точнее – полуосей) равныглавным деформациям и обычно выражаются через растяжение(1 + ε), поэтому на практике максимальными напряжениями (σ1) считаютсянапряжения растяжения, минимальными (σ3) – напряжения сжатия,а соответственно им – и деформации.σПлоскости, проходящие через две оси, и ортогональныетретьей – главные плоскости деформаций.Характерные эллипсоиды деформаций:1) при равенстве всех трех главныхдеформаций (литостатические условия)эллипсоид превращается в шар, то есть,деформаций как таковых нет;1σ22) при σ1 >> σ2 и σ1 >> σ3 в результатедеформаций возникает сигарообразное тело;3) при σ1 << σ2 и σ1 << σ3 в результатедеформаций возникает блинообразное тело1σ323Реакция материалов на напряжениеВыделяют три "идеальных модели" реакции материалов на напряжение:1 – упругая, 2 – пластическая, 3 – разрушение.

Графически связьнапряжений и деформаций изображают в виде "Диаграммы растяжения".Упругая деформация обратима, т.е. после снятия нагрузки она исчезает,но свойством упругости материалы обладают только до определенного значениянагрузки, который называют пределом упругости (точка «b»). Допредела пропорциональности (точка «а») напряжение и деформациясвязаны линейно, а на отрезке "a – b" эта связь становится нелинейной.После достижения предела упругостидаже небольшие приращениянагрузки вызовут значительныедеформации, которые хотя бычастично будут необратимыми.

Послеснятия нагрузки форма телавосстановится только на упругуючасть деформации, остальное –остаточная деформация.Теоретическая диаграмма растяжения(http://physics.ru/)Упругая деформация. Модули упругостиБытовым аналогом упругой деформации является пружина, котораядеформируется пропорционально приложенной силе (значит – напряжению),а после снятия нагрузки возвращается в исходное положение.Закон Р.

Гука: "Упругая деформация стрежня прямопропорциональна первоначальной длине (L) и приложеннойсиле (F) и обратно пропорциональна площади сечения (S)".∆L =αупр(LF/S), где αупр – коэффицинет упругости(определяется опытным путем)Для описания упругой деформации используют несколькопараметров, которые называются модулями упругости.Модуль Юнга – коэффициент, характеризующийсопротивление материала растяжению / сжатию при упругойдеформации, отношение нормального напряжения (σ)к относительному удлинению (ε).Е = (F/S) / (∆L/L) = σ/εЧем выше сопротивление, тем большее напряжениетребуется для получения нужной деформации.Томас Юнг (1773-1829)Коэффициент Пуассона отражает соотношениепоперечной (ε поп) и продольной (ε пр) деформации прирастяжении / сжатии, т.е.

показывает, насколько сжимаетсятело поперёк при растяжении вдоль. И наоборот. Зависиттолько от материалаν = εпоп / |εпр|Для абсолютно упругого материала ν = 0,5,а для абсолютно хрупкого ν = ?.0Симеон ДениПуассон(1781-1840)Модуль сдвига – характеризует сопротивление материаласдвигу при упругой деформации, определяется через модульЮнга и коэффициент Пуассона. Фактически же это отношение угласмещения (ϕ) к касательному напряжению (τ).NB! Модуль сдвига для твердых тел в 2-3G = E/2 (1+ν) = ϕ/τраза меньше модуля Юнга!Вывод – деформировать породу касательнымнапряжением легче, чем нормальным!Модуль объемного сжатия – показательотносительного сжатия, т.е.

относительного уменьшенияобъема (−∆V/V) при увеличении литостатического давления (р)K = − р / (∆V ⁄ V)Пластическая деформацияПластическая деформация – это деформация без разрушения, которая неисчезает после прекращения действия внешних сил. Частичное восстановлениеформы Идеально пластическое тело после достижения предела упругости (точка«b») деформируется без увеличения нагрузки, оно просто течет до достиженияпредела текучести (точка «с»). Отрезок "b – c" называют "площадкой текучести".Далее сопротивление (и напряжение!) опять медленно возрастает до пределапрочности (точка «d»). Отрезок "c – d" – "зона упрочнения". Но в природе "идеальнопластичные тела" практически не встречаются. Характер протекания пластическойдеформации зависит от свойств материала и времени.Релаксация – свойство материалаувеличивать размер деформации припостоянном напряжении.