Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 9

или еще древнее; вних изложены математические правила древнего местного происхождения.Мы находим эти правила среди обрядовых предписаний, некоторые изкоторых относятся к построению алтарей. Мы имеем здесь рецепты дляпостроения квадратов и прямоугольников, выражения для зависимостимежду диагональю и стороной квадрата и для равновеликости квадратов икругов.

Встречаются частные случаи теоремы Пифагора и некоторыелюбопытные приближения с помощью «основных» дробей, вроде такого (внаших обозначениях):1 1 1 1 1 12  1       ( 1.4142156);3 3 4 3 4 342111 1  41    18(3  2 2 )( 3.088) 8 8  29 8  29  6 8  29  6  8 То любопытное обстоятельство, что эти результаты «Сульвасутр» невстречаются в более поздних индийских трудах, показывает, что мы еще неможем говорить применительно к индийской математике о тойнепрерывности традиции, которая столь типична для математики Египта илиВавилона, и возможно, что в столь большой стране, как Индия, такойнепрерывности и не было.

Могли- 46 -быть различные традиции, связанные с различными школами. Мы знаем,например, что джайнизм, религия столь же древняя, как буддизм (около500г. до н. э.), поощрял математические исследования, и в священныхкнигах джайнизма обнаружено значение для ≈√10.8.

При изучении древнекитайской математики значительнымпрепятствием является отсутствие переводов, хотя мы благодаря книгамМиками и Нидхема хорошо осведомлены о положении математики вДревнем Китае. Тем, кто знает русский язык, доступен значительно большийматериал, имеется даже русский перевод классического математическогопроизведения «Девять книг (разделов) о математическом искусстве» (Цзючжан суань шу) . Как эта книга, так и «Чжоу-би» в своем нынешнем видедошли до нас от периода династии Хань (206 г. до н. э.

— 220 г. н. э.), но вних, конечно, может содержаться материал значительно более раннегопроисхождения. Книга Чжоуби только частично посвящена математике, ноинтересно, что в ней рассматривается теорема Пифагора. Напротив, «Девятькниг (разделов)»— чисго математическое произведение, которое вполнехарактерно для древнекитайской математики следующего тысячелетия, да иболее поздней.Очень стары также некоторые диаграммы из книг периода династииХань, например из «Книги перемен» (И цзинь, VIII — VII вв.

до н. э.). Вчисле их следующий, связанный со многими легендами, магической квадрат(ло шу):4 923 578 16Система счисления у китайцев всегда была десятичной, и уже во второмтысячелетии до нашей эры мы встречаемся с числами, записанными спомощью девяти символов в позиционной системе. Такой способ записиполучил права гражданства в период династии Хань или еще раньше. Девятьзнаков изображались с помощью бамбуковых палочек, поразномуразмещенных; например II = III обозначало число 6729, которое именно') Datta В. The Jaina School of Mathematics // Bull. Calcutta Math Soc — 1929.— V.21.— P. 115—146.- 47 -таким образом и записывалось. Арифметические действия выполнялись спомощью счетных досок; пропуски, т. е, пустые места, обозначали нуль(специальный знак для нуля появляется только в тринадцатом столетии н.

э.,хотя он, возможно, и старше).При календарных расчетах применялось нечто вроде шестидесятичнойсистемы, что можно сопоставить с сочетанием двух связанных друг с другомзубчаток, из которых одна имеет двенадцать зубьев, а другая — десять. Такчисло шестьдесят стало единицей высшего разряда, «периодом»(«Катэйский период» в одном из стихотворений Теннисона).Математика «Девяти книг» состоит в основном из задач и общихуказаний, как их решать. Эти задачи возникают из практическихприменений арифметики и сводятся к алгебраическим уравнениям счисловыми коэффициентами. Вычисляются и квадратные, и кубическиекорни, например число 751½ определяется как корень квадратный из 564752¼.

При вычислениях с окружностью принимается  = 3. Ряд задач сводится ксистемам линейных уравнений, например к системеЗх + 2у+ z = 39,2х + 3у+ z = 34,х + 2у + 3z = 26,которая записывается «матрицей» своих коэффициентов. Решение этойсистемы приводится в таком виде, которое мы теперь назвали бы«матричным преобразованием». Эти матрицы содержат и отрицательныечисла, здесь впервые появляющиеся в истории математики.Китайская математика занимает особое положение — практически допоследних лет мы видим в ней непрерывность традиции, так что мы можемвыяснить, каково ее место в обществе, более полно, чем в случав египетскойи вавилонской математики, принадлежащих исчезнувшим цивилизациям.Например, мы знаем, что кандидаты, подвергавшиеся экзамену, должныбыли знать «Десять классиков» в точно определенном объеме и что успех наэкзамене определяется в основном умением точно цитировать тексты напамять.

Таким образом, традиционное учение передавалось из поколения впоколение с обременительной хщательностью. В такой застойнойкультурной атмосфере но- 48 -вые открытия стали чрезвычайно редким явлением, а это опять-такиобеспечивало неизменность математической традиции. Такая традициямогла передаваться в течение тысячелетий и могла пострадать толькоиногда, при больших исторических потрясениях.В Индии существовали аналогичные условия, и там мы находим дажетакие математические тексты, которые написаны стихотворными размерамис целью облегчить запоминание.

Нет никаких особых причин считать, чтоприемы, которыми пользовались в древнем Египте и в Вавилоне, моглизначительно отличаться от практики Индии и Китая.Чтобы прервать процесс полного окостенения математики, должна былавозникнуть цивилизация совершенно другого рода. Математика достигла,наконец, уровня настоящей науки благодаря тому новому микровоззрению,которое характерно для цивилизации греков.ЛИТЕРАТУРАThe Rhind Mathematical Papyrus/Ed. T. E. Peot.—London, 1923.The Rhind Mathematical Papyrus/Ed. А. В Chance, L. Bull, H P.

Manning, R. C.Archibald. V, 1— Oberlin, Ohio 8, 1927. V. 2.— Oberlin, Ohio 8, 1929.В этом труде содержится обширная библиография по египетской ивавилонской математике. Библиография, преимущественно по древнейастрономии, имеется в книге О. Нейгебауера.Mathimatischer Papyrus des staatlichen Museums der schonon Kunste in Moscau/Изд.В. В.

Струве и В А. Тураев.— Berlin, 1930.Neugebauer O. Vorlesungen űber Geschichte der antiken mathematischenWissenschaften, I: Vorgiechische Malhematik.— Berlin, 1934').Neugebauer O. Mathematische Keilschrift — Texte.— Bd 1—3.—Berlin, 1935—1937.Neugebauer O., Sachs A. Mathematical Cuneiform Texts.— New Haven, 1945.Bruins E. M., Rutten M. Texles mathematiques de Suse.— Pans, 1961.Thureau-Dangin F. Sketch of a history of the sexagesimal system.— Osiris, 1939.— Bd7.— C.

95—141.Thureau-Dangin F. Textea mathematiques babyloniens — Leiden, 1938.Выгодский M. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.— 2е изд.— М.: Наука,1967.Вайман А. А. Шумеровавилонская математика, III—I тысячелетня до н.э.— М.,1961Экономическая документация использована как источник для историиматематики в древнем Двуречье в работах:') Русский перевод: Нейгебауер О. Лекции по истории античных математическихнаук Т.

I: Догреческая математика/ Предисловие и приложения С. Я. Лурье — М.;Л.: ОНТИ, М37.- 49 -Раздымаха Г.С. Физико-математические знания в дрепних рабовладельческихгосударствах Двуречья по документам хозяйственной отчетности / Науков!записки Кам'янецьПод1льского пед. шту.~ 1958.— Т. 6,— С. 125—191.Раздимаха Г. С. Математика Двурiччя за економичпою документален} /Тсторикоматем. збирник.— 1961.— Т. 2 — С. 128—147.Раздимаха Г. С. Проблема межувапня земл! у вавшонекщ геометра /1сторикоматем.

зборник.— 1962.— Т. 3.— С. 75—95.О. Нейгебауер и Ф. Тюро — Дагокен по ряду пунктов расходятся в истолкованиивавилонской математики. По этому вопросу см.G a n d z S. Conflicting of Babylonian Mathematics / Isis, 1940,V. 31.P. 405425.Хороший обзор догреческой в математике см. в работе Archibald R. С.Mathematics before the Greek / Science.— 1930.— V. 71.— P. 109—121, 342; см.также Science, 1930.— V. 72.—P.

36.S m e t h D. E. Algebra of 4000 Years Ago / ScpJpta maihematica.— 1936.— V. 4.— P.111—125.Vоge1 K. Vorgriechische Mathematik.— V. 1, 2,— Hannover. Paderborn, 1958—1959.Сведения об индийской математике см. в журнале Bulletin of the CalcuttaMathematical Society и в книге D a tta В., Singh A.

N. History of Hindu Mathematics.—V.1.—Lahore, 1935.— V. 2.— Lahore, 1938Рецензия О. Нейгебауера:Neugebauer O. / Quellen und Stndien.—1936.—V. 3B.— P. 263—271.G u r j a r L. V. Ancient Indian Mathematics and Vedha — Poona.—Vidwans, 1947.Кaye G. R. Indian Mathematics / Isis.—1819.—V. 2.— P. 326—356.Seidenberg T. The ritual oridgin of geometry / Arch, for hist, of exact sc.— 1962.— V.1.— P. 408—527.Műller C. Die Malhematik der Sulvasutra / Abh.

math. Sem. Univ. Hamburg.—1929.— Bd 7.— S. 173—204.О японскокитайской математике см.:S u i k a m i I. The Development of Mathematics in China and Japan.— Leipzig, 1913.Smith D. E., M i k a m i LA History of Japanese Mathematics.— Shicago, 1914.Древнекитайский трактат: Математика в девяти книгах/Перевод,вступительная статья и примечания Э.

И. Березкиной / Историкоматематическиеисследования, вып. X.— М.: Гостехиздат, 1957,— С. 425—584.Си: Раик А. Е. О вычислении некоторых объемов в древнекитайском трактате«Математика в девяти книгах» / Историкоматематические исследования, вып.XIV.— М.: Физматгиз, 1961.Книга I — Ching, И цзинь, то есть «Книга перемен», имеется в ашлийскомпереводе Р Вильгельма (R. Wilhelm) — 1950, ц в русском переводе Ю. К.

Шуцкою(Китайская классическая «Книга перемен».—М., 1960).Третий том запланированного в семи томах труда: Needham J. Science andcivilization in China.— Cambridge, 1959, посвящен точным наукам в Китае.- 50 -Некоторые соображения относительно китайской, содержатся в работеJusсhkiewitсh A.P., Rоsenfeld B.A.

Die Mathematik der Lander des Ostens imMittelalter // Beitrage zur fCeschichte der Naturwissenschaft /Hrsg. von G.Hang,— Berlin, 1960.См. также указанную на с. 74 книгу О. Нейгебауэра и литературу на с. 99.О природе восточного общества см. литературу к гл. IV, а также:Wi11fоge1 К.A. Die Theorie der orientalischen Geseus // Zeitschrift furSozialforschung—1938 Bd 7.—S.

90— 122.Также: Le mode de production asiatique / La pensee.V. 114. P. 3-73.Needham J. Science and Society in East and West //Science and Society.—1964 — V. 28,— P. 385—408.- 51 -Глава IIIГРЕЦИЯ1. В течение последних столетий второго тысячелетия до н. э. в бассейнеСредиземного моря и в прилегающих к нему областях очень многоеизменилось в экономике и в политике.Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем векомжелеза, и происходило это в смутное время переселений и войн. Лишьнемногие частности известны нам об этой революционной эпохе, но мызнаем, что к ее завершению, примерно около 900 г. до н. э., уже не былоцарства Миноса и Хеттской державы, значительно слабее стали Египет иВавилон и ча исторической сцене появились новые народы.