Новая философская энциклопедия В 4 томах. Том 1 (Новая философская энциклопедия В 4 томах. Том 1.pdf), страница 10

Я., Шрейдер Ю. А. Понятие математики и объектов науки.—нее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении«ВД», 1974, № 2; Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очеркистории и теории. М., 1984; Новосёлов Μ. Μ. Об абстракциях не­ о множествах). Согласно этой программе, получившей вразличимости, индивидуации и постоянства. — В кн.: Творческая математике самое широкое распространение, всякий ма­тематический объект рассматривается как множество,природа научного познания, М., 1984; Он же. Абстракция инаучный метод. — В кн.: Актуальные вопросы логики научногоудовлетворяющее определенному условию, и это обстоя­познания.

М., 1987; Schneider Η. J. Historische und systematischeтельство делает абстракцию актуальной бесконечностиUnteisuchungenz ur Abstraction. Erlangen, 1970; VuilkminJ. Lalogiqueосновным в рамках данного подхода объекгообразуюet le monde sensiable. Etude sur les theories contemporaines deщим фактором. Однако в связи с упоминавшимися вышеl'abstraction. P., 1971; Logic and abstraction. Goteborg, 1986;труд-ностями неограниченное ее применение в качествеPollard St.

What is abstraction? - «Nous», 1987, vol. 21, N 2; Roeper P.право-мерного средства образования математических по­Principles of abstraction for events and processes. - «J. of philos. Logic»,нятий неоднократно вызывало возражения со стороны1987, vol. 16, N3.ряда выдающихся математиков (К. Ф.

Гаусс, Л. Кронекер,Μ. Μ. Новосёлов Д. Гильберт, Г. Вейль и др.). Альтернативные по отношениюк канторовской программы построения математики наАБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ базе использования одной лишь абстракции потенциаль­основанный на акте творческого воображения способной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэромобразования абстрактных понятий, лежащий в основе(см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см. Конструктив­формирования одной из наиболее сложных разновид­ное направление). Без использования абстракции акту­ностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконеч­альной бесконечности обходится также и доказательствности. В простейшем случае — при рассмотрении какоготеория Д.

Гильберта.либо необрывающегося конструктивного процесса, порож­дающего объекты определенного типа, — абстракция акту­Лит.: Бесконечность в математике (А. Н. Колмогоров). - БСЭ, т. 3.альной бесконечности состоит в отвлечении от принципи­М., 1970; Рейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Мар­ков А. А. О конструктивной математике. - Труды математическогоальной незавершаемости этого процесса. Представив егоинститута им. В. А. Стеклова, т.

67. М,—Л., 1962; Кантор Г. О раз­как бы «продолженным до конца» и тем самым завершив­личных точках зрения на актуально бесконечное. — В кн.: Он же.шимся, вводят в рассмотрение его воображаемый резуль­Труды по теории множеств. М., 1985.тат —множество (совокупность) всех порожденных имобъектов. При этом возникшее таким образом множествоН. М. Нагорный19АБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИАБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ - абстракция,принятая в рамках интервального анализа, с целью уточ­нения понятий о тождестве и различии в ситуациях, когдаотсутствует априорная информация об индивидуации объе­ктов универсума (предметной области), а процессы ихотождествления или различения определяются конечнойинформацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно этоозначает зависимость суждений о тождестве и различииот информационных условий познания — разрешающейспособности актов восприятия, свойственных наблюда­телю или какой-либо иной информационной системе.При этом тождество по неразличимости, принимая вовнимание неизбежную «энтропию опыта», естественно,не является инвариантной величиной.

К примеру, чело­веческий глаз воспринимает и различает только конеч­ное число градаций яркости, не замечая тех объективноразличных градаций, которые заключены в пространствеменьшем, чем пространственный порог разрешения дляглаза. Ситуация такого рода является основной гносе­ологической ситуацией в любых познавательных актах,в которых исследуемый объект представлен не «сам посебе», а некоторым конечным вектором его измеримыхпризнаков.

В этом смысле (с учетом квантовых эффек­тов) абстракция неразличимости служит обобщениемклассической философской (логической) идеи о тождес­тве неразличимых (принципа тождества неразличимых)на эмпирические условия познания, чем и оправдываетсявведение специального термина «абстракция неразличи­мости» (М.М.

Новосёлов, 1970).Во многих важных случаях отношения неразличимостиможно определять через функции расстояний, что согла­суется с практикой приближенных методов вычислений,когда неразличимость задается интервалом неопределен­ности, который — в качестве условия на отождествление —выражает меру неразличимости объектов: «внутри» ин­тервала неопределенности допустимо абстрагироваться отвозможного различия объектов, рассматривая просто парынеразличимых, наделенные точностью. Опираясь на прин­цип замены равного равным в интервале неопреде­ленности, этот интервал можно рассматривать как адекват­ное выражение идеи тождества ε-неразличимых, связываяс этим понятием и понятие о соответствующей абстракцииε-неразличимости.Дальнейший анализ этой абстракции позволяет, с однойстороны, ввести методологически важное понятие о гно­сеологической точности научных теорий, основанных наданных опыта, с другой — представить совокупность от­ношений эмпирических неразличимостий (ε-неразличимостей) как модель псевдобулевой алгебры, или, иначе, ввиде импликативной (скулемовской) структуры с относи­тельным псевдодополнением, или, что то же, как одну из«космоса» промежуточных (между классической и инту­иционистской) логик с минимальным отрицанием.АБСТРАКЦИЯ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ - способ фор­мирования общих абстрактных понятий, состоящий в том,что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемыхисходных объектов принимаются во внимание лишь теих различия, которые по тем или иным причинам оказы­ваются для нас существенными, и игнорируются другие несущественные.

Объекты, различающиеся лишь несу­щественным образом, начинают считать одинаковыми.В речевом аспекте абстракция отождествления проявляет­ся в том, что о двух одинаковых реальных объектах, отожде­ствляя их, мы начинаем говорить как об одном и том жеабстрактном объекте, закрепив за ним соответствующийтермин. Так, напр., отождествляя одинаковые реальныебуквы (слова, алфавиты), мы приходим к понятию абс­трактной буквы (абстрактного слова, абстрактного алфа­вита). В связи с этим в гносеологическом плане абстракцияотождествления оказывается важнейшим объектообразуюшим фактором. Особенно интересен случай, когда, при­меняя абстракцию отождествления к реальным объектам,отвлекаются от временной их изменчивости, создавая темсамым устойчивые, как бы «вечные», «неразрушимые»абстрактные объекты. Такого рода применения абстрак­ций отождествления особенно типичны для математики,объекты рассмотрения которой в известном смысле «веч­ны» и «неразрушимы», в отличие от объектов реальных:конкретный реальный объект (напр., стол) можно разру­шить, в то время как натуральное число разрушить нельзя.С лингвистической стороны это находит выражение в том,что в «сверхточных» математических языках (напр., в фор­мализованных языках с их точным синтаксисом и семанти­кой) временной аспект отсутствует вообще, а в привычныхдля математика фрагментах «обиходного» языка глаголы,применяемые, напр., в прикладной деятельности либо впреподавании, как правило, употребляются в настоящемвремени: о числе «нуль» невозможно сказать, что оно «су­ществовало» или же «будет существовать»; приемлемымобразом звучит лишь утверждение, что оно «существует».Но это существование на самом деле «длящееся»: числоэто существует «сегодня и всегда».

Обсуждение данногофеномена тесно связано с рядом важнейших общих фило­софских проблем, напр. с проблемой понимания самогофеноменавремени(азначит,иприродыпричинно-следственных связей).Н.М. НагорныйАБСТРАКЦИЯПОТЕНЦИАЛЬНОЙОСУЩЕ­СТВИМОСТИ — метод мысленного отвлечения, лежа­щий в основе идеи т.

н. потенциальной бесконечности.Представление о неограниченном развитии какого-либоконструктивного процесса, являющееся конкретным воп­лощением этой идеи, требует совершения всевозрастаю­щего количества конструктивных актов, и попытки реаль­ного их осуществления, даже в том случае, когда начальныеЛит.: Новосёлов Μ. Μ.

Об абстракциях неразличимости, индивиду­ шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздносталкиваются с препятствиями чисто материального ха­ации и постоянства. - В кн.: Творческая природа научного позна­рактера: для совершения очередного акта недостает вре­ния. М., 1984; Он же. О гносеологической точности.